3.2 边际分布与条件分布

盐城工学院概率论与数理统计课题组
§3.2
边际分布与条件分布
一、二维离散型随机变量的边际分布 二、二维连续型随机变量的边际分布 三、条件分布*
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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对于二维随机变量 ( , ) ,我们可以对其中的任何
一个变量 或 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为 ( , ) 的边际概率分布.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x

y y
0

y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，

0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x

p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：


0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )
1/ 3
5 /12
3/ 4
1
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例2.
求出3.1节中的例2的两个边际分布。 解：(1)有放回地抽取的联合分布表为右表
p 1 p , 1 1 2 1 2 p 1
解：由条件概率公式知，
1 3 x y dxdy 7 1 2 1 0 1 3 x y dxdy 16
1 2 2 0 1
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P( xi , y j )
j 1


p( xi , y j ),
j 1
i 1, 2, , m, .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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于是 的边缘分布表为：

P( xi )
x1 p ( x1 )
x2
p ( x2 )

则边际分布分别为：


0
4 25 6 25
1
6 25 9 25

p
0
1
3 5
0
2 5
0 1

p
1
3 5
2 5
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（2） 不放回地抽取的 , 联合分布表为


0
2 20
6 20
1
6 20
0
1
则边际分布分别为：

p
0
2 5
6 20
1
3 5

p
0
2 5
1
3 5
§2.10 二维随机变量的边缘分布
fY ( y) f ( x, y)d x 0;


1
yx
y y
当0 y 1 时,

1
fY ( y) f ( x, y)d x f ( x, y )d x
4.8 y (2 x)d x
y
O
1
x
1
y
2.4 y(3 4 y y 2 ).
f x, y

1

1 0, 2 0, 这里 1, 2 ,1, 2 , 为常数，
1
，称为二元
正态分布密度函数,求出它的两个边际分布。 解：f x f x, y dy
x 1 y 2 , 1 21 1
2

1
的分布函数为F x ， 设 , 的分布函数 F x, y ，
的分布函数为F y ，则
F x lim F x, y
y
F y lim F x, y
x
问题：已知联合分布,求边际分布.
§2.10 二维随机变量的边缘分布
[ 的边缘概率密度]
dx f ( x, y) d y.


d F ( x ) f ( x) f dx

( x, y ) d y.
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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同理可得,
[ 的边缘分布函数]
F ( y) F (, y ) d y f ( x, y) d x.
f y
当 f x 0 时，

f x, y x f x
其中 f x , f y 分别是 , 的边际概率密度。
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f x


f x, y dy
4 x 3x 2 , 0 x 1 f x 其它 0,
，则称

i 1, 2,
为在条件 y j 下 的条件概率分布。 同理，对固定的 则称
i，若 p x 0
i
p y j xi


p xi , y j p xi

pij pi.
j 1, 2,
为在条件 xi 下 的条件概率分布。
f x


f x, y dx
4 y 3 y 2 , 0 y 1 f y 0, 其它
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所以，当 0 y 1 时，f y 0
6x 2 x y ,0 x 1 f x, y f x 4 3 y y f y 0, 其它
例7.
已知 , 的概率密度为
6 xy 2 x y , 0 x 1, 0 y 1 f x, y 0, 其它
试求
f x
y 与 x
f y
解： 由条件密度公式知，当f y 0 时，
f x

f x, y y f y
~ N (2 , 2 ).
因此二元正态分布的边际分布仍为正态分布。
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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例 5 设二维随机变量( X , Y ) 的联合概率密度为:
e y , f ( x, y ) 0, 求 f X ( x), fY ( y) .
0
x
1
x
4.8 y (2 x)d y 2.4 x2 (2 x). 0
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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从而
2.4 x 2 (2 x), 0 x 1; f X ( x) 其它 . 0,
y
( 2) 当 y 0 或 y 1 时,
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若对于连续型随机变量，f x, y , f x 及 f y 分别是
, , 及 的密度函数，若 f x, y 在点 x, y 处连续，
且 f x 0, f y 0 ，则分别称
f y f x
xm
p ( xm )

类似可得,
[ 的边缘概率函数]
p ( y j ) P( y j ) p( xi , y j ).
i 1
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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例 1 已知 ( , ) 的联合分布表为

0 1

0 1/ 12
1/ 3
F y

f x, y 为在条件 x f x
x 下 的条件密度；

x
f x, y y f y
为在条件 y下 的条件密度；

y

f x, v dv
x 为在条件 的条件分布函数； 下 f x
为在条件 y下 的条件分布函数。
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二、二维连续随机变量的边际分布
设二维连续随机变量 ( , ) 的联合分布函数为
F ( x, y ), 联合密度函数为 f ( x, y ) .
[ 的边缘分布函数]
F ( x) P( x) P( x, )
F ( x,)
x
2


1 2 1
2
2 v u
2 1 2





dv

1 e 2 1
u2 2
1 e 2 1
x 1 2
212
， 即
~ N (1 , 1 ).
同理
f y 1 2 2 e

y 2 2
2 22
，即
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三、条件分布*
设二维离散型随机变量 , 的概率分布为
p xi , y j pij i, j 1, 2,

pij p. j
j 对于固定的 ，若
p y j 0
p xi y j
p xi , y j p y j
1
1/ 6
求 与 的边际分布.
5 /12
1 1 1 1 5 3 解：P( 0) ; P( 1) . 3 12 4 12 6 4
则 的边缘分布表为：

p ( xi )
0 14
1 34
§2.10 二维随机变量的边缘分布
类似可得 的边际分布表为：
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F x
y

x

f u, y du f y
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例6. 设 , 的联合密度为
1 x y , 0 x 1, 0 y 2 f x, y 3 0, 其它
求
1 p 1 2
y
[ 的边缘概率密度]
d f ( y) F ( y) f ( x, y) d x. dy
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
例 3 设二维随机变量( X , Y ) 的联合概率密度为:
4.8 y (2 x), f ( x, y ) 0, 求 f X ( x), fY ( y) .
0 x y； 其它.
y
x x
yx
解： (1) 当 x 0 时, f X ( x) 0;
O
x
当 x 0 时， f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y

y
x
x
x e dy e .
从而
e x , f X ( x) 0,
2




e
2 1

1
2

u 2 2 ruv v2
dv
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1 e 2 1

u2 2


1 2 1
2



e
e
2 1

1
2

2u 2 2 uv v 2
dv
u 1 e 2 2 1
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
从而
2.4 y (3 4 y y 2 ), 0 y 1; fY ( y ) 其它 . 0,
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例4.
二元正态分布函数
1 2 1 2 1 2 e
2 x 2 x 1 y 2 y 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2
盐城工学院概率论与数理统计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题组
一、二维离散型随机变量的边际分布
设 ( , ) 表示二维离散随机变量.联合发布为：
1, 2, , m, ; p ( xi , y j ) P( xi , y j ), i j 1, 2, , n, .
[ X ]的边际概率函数
p ( xi ) P( xi ) P ( xi , y j ) j 1
盐城工学院概率论与数理统计课题组设二维连续随机变量210二维随机变量的边缘分布盐城工学院概率论与数理统计课题组同理可得210二维随机变量的边缘分布盐城工学院概率论与数理统计课题组210二维随机变量的边缘分布从而盐城工学院概率论与数理统计课题组210二维随机变量的边缘分布从而盐城工学院概率论与数理统计课题组二元正态分布函数这里为常数称为二元正态分布密度函数求出它的两个边际分布