山东省德州市乐陵一中2014-2015学年高一数学下学期4月期中试题

2014-2015学年第二学期期中高一〔数学〕检测题
一、选择题：〔每个5分，共10个〕
1、如下四个式子中，不能化简为AD 的是〔 〕 A ．BC CD AB ++)( B ．)()(CM BC MB AD +++
C ．BM A
D MB -+
D ．CD OA OC +-
2、sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为〔 〕
A ．21
B ．22
C ．-21
D ．-22
3、在△ABC 中，ab b c a =+-2
2
2
，如此C=〔 〕 A
120 B ．
60
C ． 60或 120
D ．
45
4、假设cos α＝－45，α是第三象限的角，如此sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4等于( )．
A ．－7210B.7210C ．－210D.2
10
5、在△ABC 中，D 是AB 边上一点，假设CB
CA CD DB AD λ+==31
,2，如此λ=〔 〕 A ．32
B ．31
C ．-31
D ．-32
6、在△ABC 中,sinB=2cosA ·sinC,如此△ABC 的形状是〔 〕
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ． 不确定 7、在△ABC 中,内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c,8b=5c,C=2B,如此cosB=〔 〕
A ．53
B ．54
C ．257
D ．53±
8、假设π
απ
<<2
，如此
2cos 1sin 1αα--
-=〔 〕
A ．
2cos
2
sin
2α
α
-
B ．
2cos
α
C ．
2sin
22
cos
α
α
- D ．-
2cos
α
9、在△ABC 中，C=45°，如此(1-tanA)(1-tanB)等于〔 〕
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
10、如下判断正确的答案是：〔 〕
①在ABC ∆中，0<⋅BC AB ,如此ABC ∆一定是钝角三角形。

②0a 与a =〔3，4〕垂直，且0a 是单位向量，如此0a 的坐标一定是43
(,)
55-.
③12a b ⋅=-,
6
b =,如此向量a 在b 上正射影的数量是2.
④假设向量a =(sin θ，1)b =〔1，5sin θ〕，且a //b ，如此cos2θ=53
A ．②④
B ．④
C ．①④
D ．以上都正确 二、填空〔每个5分，共4个〕
11、假设α是第三象限的角，cos α=45-
，如此
tan 2α
=。

12、正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，如此CB DE ⋅的值为 。

13、△ABC 中，AB=3，AC=1，∠B=30°，如此角C= 。

14、在△ABC 中，AB=2，AC=6，BC=1+3，AD 为BC 上的高，如此AD 的长是 。

15、假设
2
1
)
4
sin(2cos =+
π
αα
，如此sin2α的值为 。

三、解答题〔共六个题，16、17、18、19每个12分，20题13分，21题14分〕 16、|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a ·b 与a 与b 的夹角θ；(2)求|a －b |.
17、向量a =
)
21
,(cos -x ，b =〔)2cos ,sin 3x x ，x ∈R ，设函数f(x)=a ·b 。

〔1〕求f(x)的最小正周期；
〔2〕求f(x)在[0，2
]上的最大值和最小值。

18、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝4
5，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；
(2)当△ABC 的面积为3时，求△ABC 的周长．
19、cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.
20．函数
)
0)(4
sin(cos 4)(>+
⋅=ωπ
ωωx x x f 的最小正周期为π。

〔1〕求ω的值；〔2〕讨论f(x)在区间[0，2π
]上的单调性。

21．向量
)
4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x
x n x m ==. 〔1〕假设1=⋅n m ，求
)
3cos π
+
x （的值；
〔2〕记n m x f ⋅=)(，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a-c)cosB=bcosC ，f(A)≤k 恒成立，求B,并确定k 的取值范围。

2014-2015学年第二学期期中高一〔数学〕检测题答案 一、选择题：
1、C
2、D
3、B 、
4、A
5、A
6、A 、
7、B
8、D
9、C 10、B 二、填空题：
11、-3。

因为α是第三象限的角，所以2α是二、四象限，所以
tan 2α
=
-3. 12、1 解析：解法一：根据平面向量的数量积公式θcos ||||DA DE DA DE CB DE =⋅=⋅，
由图可知，||cos ||DA DE =⋅θ。

因此
1||2
==⋅DA CB DE ， 解法二：DE ·CB =CB AE DA ⋅+)( =CB AE CB DA ⋅+⋅
=12
=DA
13．2
3
sin sin 3
30
sin 1=
∴=C C
C=60°或120°
14．易知cosC=22sin 2
2
=
∴C
AD
a C a
b S ABC ⨯=⋅⋅=
∴∆2
1
sin 213=∴AD 15、2122
sin cos 21)cos (sin 22sin cos 22=
-⇒=+-αααααα
812sin 14
2
sin cos =
-∴=
-∴ααα
872sin =
∴α
16、解：(1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝37. ∴|a －b |＝37.
17、解析：x
x x x x x x f 2cos 21
sin cos 3)2cos ,sin 3()21,(cos )(-=⋅-= =x
x x x 2cos 6sin 2sin 6cos 2cos 212sin 23π
π-=-
=
)62sin(π
-
x 〔1〕f(x)的最小正周期为T=ππω
π==222
即函数f(x)的最小正周期为π。

〔2〕
656
26
,2
0π
π
π
π
≤
-
≤-
∴≤
≤x x
由正弦函数的性质，
当
26
2π
π
=
-
x ，即x=3π
时，f(x)取得最大值1。

当
66
2π
π
-
=-
x ，即x=0时，f(0)=21
-
，
当
π
π
6562=-
x ，即x=2π时，
21)2(=πf ，∴f(x)的最小值为-21
因此，f(x)在[0，2π
]上的最大值是1，最小值是-21。

18、(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝3
5. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝10
3， 所以a ＝5
3.
(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac·sin B ，sin B ＝3
5， 所以3
10ac ＝3，ac ＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ，
得4＝a2＋c2－8
5ac ＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以(a ＋c)2－2ac ＝20，(a ＋c)2＝40.
所以a ＋c ＝210. 所以△ABC 的周长是2+210. 19、解 (1)由cos α＝17，0<α<π
2， 得sin α＝1－cos2α＝
1－⎝⎛⎭
⎫172＝437， ∴tan α＝sin αcos α＝437×7
1＝4 3.
于是tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×431－432＝－83
47.
(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π
2. 又∵cos(α－β)＝13
14，
∴sin(α－β)＝1－cos2α－β ＝
1－⎝⎛⎭
⎫13142＝3314.
由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.
20、〔1〕x
x x x x x f ωωωπ
ωω2cos 22cos sin 22)4
sin(cos 4)(+⋅=+
⋅=
=
2)2cos 2(sin 2++x x ωω
=
2
)4
2sin(2++
π
ωx
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有π
ωπ=22，故1=ω
〔2〕由〔1〕知，
2
)4
2sin(2)(++
=π
x x f 。

假设0
2π≤
≤x ，如此454
24
π
π
π
≤
+
≤x 。

当24
24
π
π
π
≤
+
≤x ，即0
8π
≤
≤x 时，f(x)单调递增；
当454
24
ππ
π
≤
+
≤x ，即8π
2π≤
≤x 时，f(x)单调递减。

综上可知，f(x)在区间[0，8π]上单调递增，在区间[8π，2π
]上单调递减。

21、〔1〕
121)62sin(22cos
12
sin 23=++=++=
⋅πx x
x n m ，
21
)62sin(=
+∴πx 21
)21(21)]62(sin 21[)3cos(22=⋅-=+-=+
ππ
x x
〔2〕∵(2a-c)cosB=bcosC , ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
∵sinA ＞0，∴cosB=21∵B
3),,0(π
π=
∴∈B ∴A
)32,
0(π
∈
∵f(x)=sin(21)6
2++πx ， ∴f(A)=sin(21)62+
+πA ， )1,21()62sin(),2
,6(62∈+∴∈+∴
ππ
ππA A
23)
2
3
,1()(≥
∴∈∴k A f。