高一数学必修一函数经典题型复习

函数奇偶性
例题1：.已知函数 是奇函数，则常数=a （已知函数奇偶性求未知数的值） 练习：
（1） 若函数1
()21
x
f x a =
+-是奇函数，则实数a = （2）若函数1
91
)(++=x a x f 为奇函数，则a =_____________.
例题2：.已知函数b a bx ax x f +++=3)(2
是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，
则=)0(f ( ) （已知定义域求未知数的值）
A. B. C. 1 D. -1
例题3．已知2)(3
5
++-=bx ax x x f ,且17)5(=-f ，则)5(f 的值为( ) （自己先判断函数奇偶性）
A ．－13
B ．13
C ．－19
D ．19 练习．
已知53()5(,,)f x ax bx cx a b c =+++是常数，且(5)9f =，则(5)f -的值为 ． 例题4. 设()f x 在R 上是奇函数，当x >0时，()(1)f x x x =-， 试问：当x <0时，()f x 的表达式是什么？（已知函数部分解析式求另外部分的解析式）
练习：
（1）设函数()f x 是R 上的偶函数，且当()0,x ∈+∞时，
(
)(1,f x x = ()0x ∈-∞则当，时，()f x 等于（ ）
(
(
(
(;;.A x x B x x C x x D x x -+-、、、；、
（2）已知)(x f 为R 上的奇函数，且0>x 时2
()241f x x x =-++，则(1)f -=____ __ 例题5：若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意R x x ∈21,,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ， 下列说法一定正确的是（）
A 、)(x f 是奇函数
B 、)(x f 是偶函数
C )(x f +1是奇函数
D 、)(x f +1是偶函数
练习：已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，
求证：函数()y f x =是奇函数．
1
41)(++
=x a x f 313
2
函数单调性
证明函数单调性的步骤：
第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2； 第二步：计算f (x 1)－f (x 2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论.
例题1:求3
2
y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.
变式：求3,[3,6]2
x
y x x +=∈-的最大值和最小值.
例题2. 函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.
A ．2b ≥-
B ．2b ≤-
C ．2b >-
D ． 2b <- 练习：
（1）若函数1)12(2
+-+=x a x y 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－
2
3，+∞） B ．（－∞，－23
]
C ．[
25，+∞） D ．（－∞，2
5
] （2） 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）
A. (,1]-∞
B. [1,)+∞
C. R
（3） 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）
A ．2y x =-
B ．2
y x
=
C ．||y x =
D ．2y x =-
例题： 已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.
练习 (07福建)已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11
f x f <⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛的实数x 的取值范围是
（ ） A.()1,1- B.()1,0 C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11,
函数的奇偶性与单调性
例题1．已知定义域为()
(),00,-∞+∞的偶函数()f x 在(0)+∞，
上为增函数，且(1)0f =，则不
等式()0x f x ⋅>的解集为 ． 练习：
（1）已知定义在R 上的偶函数()f x 在(]0,∝-上是减函数，若0)2
1
(=f ，则不等0)(log 4>x f 的解集是 .
（2）设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A 、{}|303x x x -<<>或 B 、{}
|303x x x <-<<或 C 、{}|33x x x <->或 D 、{}
|3003x x x -<<<<或
练习：已知函数22()3px f x q x +=-是奇函数，且5
(2)3
f =-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并加以证明．
一、选择题：
１、设全集,Z U =集合{}{},2,1,0,1,2,1,1-=-=B A 从A 到B 的一个映射为
|
|)(x x x f y x =
=→，其中
{},
)(|,,x f y y P B y A x ==∈∈则
=⋂)(P C B U _________________。

2、已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，则21x x +值为______________。

3、已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时,1
)(x
x f =
则当2-<x 时=)(x f
________________。

4、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =
5、设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为， A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
6、从甲城市到乙城市m 分钟的电话费由函数)4
7][43
(06.1)(+⨯=m m f 给出，其中0>m ，][m 表示不大于m 的最大整数（如3]1,3[,3]9.3[,3]3[===），则从甲城市到乙城市8.5分钟的电话费为______________。

7、函数2
1
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则a 的取值范围是______________。

8、函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--)
,2(,22]
2,(,2211x x y x x 的值域为______________。

A 、),23(+∞-
B 、]0,(-∞
C 、)2
3
,(--∞ D 、]0,2(- 9、若2)5(1
2-=-x f x ，则=)125(f __________
10、已知映射B A f →:，其中A ＝B ＝R ，对应法则为32:2
++=→x x y x f 若对实数B k ∈，在集合中A 不存在原象，则k 的取值范围是______________ 11、偶函数)(x f 在0-，（∞）上是减函数，若)(lg -1)(x f f <，则实数x 的取值范围是______________．
12、关于x 的方程0|34|2
=-+-a x x 有三个不相等的实数根，则实数a 的值是
_________________。

13、关于x 的方程a
x
lg 11
)2
1(-=
有正根，则实数a 的取值范围是______________
14、已知函数f(x)=5log )(log 4
12
4
1
+-x x ,∈x []42，，则当x = ， )(x f 有最大值 ；当x = 时，f(x)有最小值 .
二、解答题：本大题共４小题，解答时应写出文字说明、演算步骤．
15、已知集合=A {
}m ,3,2,1，集合{}
a a a B 3,,7,42
4
+=，其中 .,,,**B y A x N a N m ∈∈∈∈13:+=→x y x f 是从集合A 到集合B 的函数，求B A a m ,,,
16、已知函数3)(2
++=ax x x f ，当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的最小值．
17、已知函数12
)(+=x x f ，将函数)(1
x f
y -=的图象向左平移２个单位，再向上平移１个
单位，就得到)(x g y =的图象． (1)写出)(x g y =的解析式； (2)求)()()(1
2
x f x g x F --=的最小值.
18、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到面积的一半时，所用时间是T 年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
4
1
．已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2
2． (1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (2)今后最多还能砍伐多少年？
恒成立问题
类型一、利用二次函数的图象
例：函数3)(2
++=ax x x f ，当R x ∈时，a x f ≥)(恒成立，求a 的范围
解析：∵a x f ≥)(恒成立，∴032≥-++a ax x 恒成立，把左边看成二次函数，则0≤∆ ∴
26≤≤-a
类型二、能分离参量
例：不等式522->-+ax x x 当0<x<2时恒成立，求a 的范围 解析：∵不等式522->-+ax x x 当0<x<2时恒成立
∴x
x x x x a 3
132++=++<
当0<x<2时恒成立 又∵0<x<2时，13213
+≥++x
x ∴132+<a 类型三、需要改写不等式
例：不等式)1(122
->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有都成立，求m 的取值范围 解析：∵不等式)1(122
->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有都成立 ∴220)12()1(2
≤≤<---m x m x 对－恒成立 令)12()1()(2
---=x m x m f ，则⎩⎨
⎧<<-0
)2(0)2(f f ，∴21
3217+<<-x 类型四、若[]2,2x ∈-时，03)(2
≥-++=a ax x x f 恒成立，求a 的取值范围。

解：2
2()324a a f x x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝⎭
，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a 。

⑴当22a -
<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 7
3
a ∴≤ 又4a > a ∴不存在。

⑵当222
a
-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==-
-+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤
⑶当22
a
->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <- 74a ∴-≤<-
总上所述，72a -≤≤。

抽象函数
1. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且
存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

2. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足
x x x f x f +=-+1)1
(
)(，求f （x ）
的解析式。

3. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有
)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

4. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有
)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性。

5. 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(1
1
x f
x f
-+--的值。

6. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且
当x>0时，0<f （x ）<1。

（1）判断f （x ）的单调性；
（2）设)}1()()(|){(2
2
f y f x f y x A >⋅=，，
}1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+-=，，，若∅=B A ，试确定a 的取值范围。