高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-
(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以
S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-
1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当
0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求
f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，
因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整
数n。

解：首先，3^n的末2位与3的末2位有关。

不难发现，
3^k的个位数字是3、9、7、1交替出现，而十位数字是2、8、4、6交替出现。

由于3^20≡1(mod 100)，因此只需要计算
3^21、3^22、……、3^40的个位数和十位数，直到发现末2
位为9的数为止。

计算得到3^31的个位数字为7，十位数字
为4，因此3^33的个位数字为1，十位数字为2，3^34的个位数字为3，十位数字为8，因此3^35的末2位为9，所以最小
的n为35。

6. 已知函数
f(x)=cos(x)+2cos(2x)+3cos(3x)+2cos(4x)+cos(5x)，
x∈[0,π]，求f(x)的最大值。

解：由于
cos(x)+cos(5x)=2cos(3x)cos(2x)+2cos(2x)cos(x)，因此f(x)=cos(x)+2cos(2x)+3cos(3x)+2cos(4x)+cos(5x)=2c os(3x)cos(2x)+cos(x)+4cos(2x)+2cos(4x)=2(cos(3x)cos(2x )+2cos(2x)+cos(4x))+cos(x).
由于cos(3x)cos(2x)≤1/2(cos^2(3x)+cos^2(2x))≤1/2，因此f(x)的最大值不超过3/2+1=5/2。

当x=π/6时，f(x)取
得最大值5/2，因此f(x)的最大值为5/2。

7. 已知正整数n，使得1+2+...+n=n(n+1)/2能够被n整除，求n的最小值。

解：设n(n+1)/2能够被n整除，则n能够整除(n+1)/2。

由于n和n+1互质，因此n必定是2的倍数。

此时
n=n_1×2^k，其中n_1是奇数。

因此，n(n+1)/2=(n_1×2^(k-1))(n_1×2^(k-1)+1)，又因为n_1和n_1×2^(k-1)+1互质，因此n_1必定整除2^(k-1)，即k≥2。

当k=2时，n_1必须整
除9，而最小的奇数能够整除9的是n_1=9，因此最小的n为
n_1×2^k=36。

8. 已知正整数n，使得7年后他的年龄是2年前的5倍，而5年后他的年龄是3年前的4倍，求n的值。

解：设n+x是7年后的年龄，n-x是2年前的年龄，n+y
是5年后的年龄，n-z是3年前的年龄，其中x、y和z是正
整数。

因此，n+x=5(n-x)和n+y=4(n-z)。

解得n=29，x=43，
y=13和z=25，因此n的值为29。

9. 已知三角形ABC，AB=BC=14，CA=20，D和E分别是BC 和CA的中点，O为AB上的中点，F为角A的平分线上的一点，求EF与BD的交点P到BC的距离。

解：设P的坐标为(x,y)，则可以计算出BD和EF的方程。

由于E、F和O共线，因此可以用相似三角形计算出OE与FD
的长度。

设G为OE与FD的交点，则可以计算出PG的长度，
进而计算出P到BC的距离为35/8。

10. 已知函数f(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+25，x∈[0,5]，求f(x)在[0,5]上的最小值。

解：设g(x)=f(x)-f(2x)+5，h(x)=2x-x^2，则
g(x)=h(x-2). 注意到h(x)是一个开口朝下的二次函数，因此
当2<x<3时，g(x)的最小值取到，即f(x)-f(2x)+5≥g(2)=1，因此f(x)≥f(2x)-4，这个等式的右边是一个二次函数，明显
在[0,5]上的最小值为1，所以f(x)的最小值为1+4=5。