会泽县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

会泽县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A ．y=2x 3
B ．y=|x|+1
C ．y=﹣x 2+4
D ．y=2﹣|x|
3． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）1
2
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的
16
4． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
5． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（
）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
7． 定义在上的偶函数满足，对且，都有
R ()f x (3)()f x f x -=-12,[0,3]x x ∀∈12x x ≠，则有（ ）
1212
()()
0f x f x x x ->-A ． B ．(49)(64)(81)f f f <<(49)(81)(64)f f f <<C. D ．(64)(49)(81)f f f <<(64)(81)(49)
f f f <<8． 已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（
）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
9． 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（
）
A ．k ＞7
B ．k ＞6
C ．k ＞5
D ．k ＞4
10．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个O AB CD O OA OB OC OD 圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
）
O D
A
B
C
O A ．
B ．
C ．
D ．
π
1
π
21
π
1
21-π
2141-【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．11．函数y=|a|x ﹣
（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）22ai
Z i
+=+A ．-2
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
13．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被抽到的概率都为
，则总体的个数为 ．
14．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数有两个极值点，则实数的()()ln f x x x ax =-a 取值范围是．
16．函数的定义域是，则函数的定义域是__________.111]
()y f x =[]0,2()1y f x =+17．已知函数，，则 ，的值域
21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21x
g x =-((2))f g =[()]f g x 为
．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.18．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．
三、解答题
19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数.
()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；
()f x a （2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.
()f x ()0,3a 20．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣
，
），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．
（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1．
21．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
22．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；
（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．
23．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1
的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．
24．已知A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+15=0}，A∪B={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．
会泽县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d=10，a 1+3d=7，解得d=2，故选B ．　
2． 【答案】B
【解析】解：对于A ．y=2x 3，由f （﹣x ）=﹣2x 3=﹣f （x ），为奇函数，故排除A ；
对于B ．y=|x|+1，由f （﹣x ）=|﹣x|+1=f （x ），为偶函数，当x ＞0时，y=x+1，是增函数，故B 正确；对于C ．y=﹣x 2+4，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，但x ＞0时为减函数，故排除C ；对于D ．y=2﹣|x|，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，当x ＞0时，y=2﹣x ，为减函数，故排除D ．故选B ．　
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为，将圆锥的高扩大到原来2
113
V r h π=的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为，所以，故选A.
122
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=122V V =考点：圆锥的体积公式.14． 【答案】A
【解析】解：令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ）即
解得：x=3，y=1
即4a ﹣2b=3（a ﹣b ）+（a+b ）∵1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，∴3≤3（a ﹣b ）≤6
∴5≤（a ﹣b ）+3（a+b ）≤10故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ），并求出满足条件的x ，y ，是解答的关键．
5． 【答案】D
【解析】解：∵（x ﹣2）3+2x+sin （x ﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
6．【答案】D
【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
7．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
8． 【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n }，∴a 6+a 8=a 4+a 10，即16=1+a 10，∴a 10=15，故选：A ．　
9． 【答案】 C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S
是否继续循环
循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否
故退出循环的条件应为k ＞5？
故答案选C ．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
10．【答案】C
【解析】设圆的半径为，根据图形的对称性，可以选择在扇形中研究问题，过两个半圆的交点分别O 2OAC 向，作垂线，则此时构成一个以为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
，扇形
OA OC 112
-π
的面积为，所求概率为．OAC ππ
π
π
12112
-=
-=P 11．【答案】D
【解析】解：当|a|＞1
时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A ，B
当|a|＜1时且a ≠
0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣
＜0，故排除C ．
故选：D ．　
12．【答案】A
【解析】试题分析：
，对应点在第四象限，故，A 选项正确.()()()()2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-40220
a a +>⎧⎨-<⎩考点：复数运算．
二、填空题
13．【答案】　300　．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．　
14．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的切线的集合，A ．M 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的切线的集合，
A ．由于直线系表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点
（0，2）不可能，故A 不正确；
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点M （0，2）即符合条件，故B 正确；
C ．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 正确；
D ．如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC ．
15．【答案】.
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx
令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点，
()()ln f x x x mx =-等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
，
当m =
时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切，12
由图可知,当0<m <时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，12
则实数m 的取值范围是（0,），12
故答案为：（0,
）.12
16．【答案】[]1,1-【解析】
考
点：函数的定义域.
17．【答案】，.
2[1,)-+∞【解析】
18．【答案】2
-【解析】1111]
试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.
f f f =-=-=-考点：利用函数性质求值
三、解答题
19．【答案】（1）2）.a ≤193a <<
【解析】试题分析：
（1）原问题等价于对恒成立，即对恒成立，结合均值不等式的结论可()0f x '≤()0,+∞12a x x
≤+
()0,+∞
得a ≤（2）由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的()2210x ax f x x
-+-'==()0,3a
取值范围是.193
a <<试题解析：
（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，
()f x ()0,3∴在上有两个相异实根，()2210x ax f x x
-+-'==()0,3即在上有两个相异实根，
2210x ax -+=()0,3记，则，得，()221g x x ax =-+()()003{ 4
0030a g g ∆><<>
>{012 193
a a a a -<<<即
.193
a <<20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n ，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．
故tan 2a n+1==1+tan 2a n ，∴数列{tan 2a n }是等差数列，首项tan 2a 1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan 2a n }的前n 项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n ＞0，∴tana n+1＞0，
．
∴tana n =，，∴sina 1•sina 2•…•sina m =（tana 1cosa 1）•（tana 2•cosa 2）•…•（tana m •cosa m ）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，
即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
22．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
，
由，可得与共线；
（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
，
由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB上存在点，使得与垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，
∴a2=2b2，
令x2﹣b=0可得x=±，
∵x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，
∴2=2b，
∴b=1，
∴C1、C2的方程分别为，y=x2﹣1；…
（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x2﹣1联立得x2﹣k1x=0
∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1）
同理可得B（k2，k22﹣1）…
∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…
y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（），
同理可得E（）…
∴S2=|MD||ME|=••…
∴
若则解得或
∴直线AB的方程为或…
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．
24．【答案】
【解析】解：∵A∩B={3}，
∴9+3a+b=0，9+3c+15=0．
∴c=﹣8．
∴B={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}，
∵A∪B={3，5}，A∩B={3}，
∴A={3}．
∴a2﹣4b=0，又∵9+3a+b=0
∴a=﹣6，b=9．。