人教A版新课标高中数学必修二教案 《平面向量数量积的坐标表示》

《平面向量数量积的坐标表示》教学设计

前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量数量积。教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的数量积的坐标表示，模及夹角。

（1）掌握向量数量积的坐标表示，经历向量数量积坐标表示的推导过程，培养学生代数运算的能力；

（2）掌握向量数量积的应用，理解向量数量积与向量的模和夹角的关系，体会数形结合的思想方法。

教学重点：向量数量积坐标表示的推导过程及应用。

1．教学问题：

（1）学习过程中，学生对向量数量积的坐标表示的推导，一时难以适应； （2）向量数量积的应用。

2．教学支持条件：科大讯飞问答系统。

【问题1】 已知两个非零向量()11,x y =a ，()22,x y =b ，怎样用a 与b 的坐标表示⋅a b

呢？ 【设计意图】思考向量的数量积的坐标表示，为引出数量积的坐标运算作铺垫。 【预设师生活动】

（1）老师： ()11,x y =a 和()22,x y =b 作为坐标表示，他们能否用基底表示出来？

（2）学生：我们选取的基底是()1,0=i 和()0,1=j ，所以()1111,x y x y ==+a i j ，

◆教材分析

◆教学目标

◆教学重难点 ◆

◆课前准备

◆教学过程

()2222,x y x y ==+b i j . （3）老师： 那么11x y =+a i j 与22x y =+b i j 的数量积等于多少？

（4）学生： ()()22112212122112x y x y x x x y x y y y ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+a b i j i j i i j i j j ，而

221,0==⋅=⋅=i j i j j i ，所以1212x x y y ⋅=+a b .

（5）老师：能不能用一句话总结数量积的坐标表示？

（6）学生：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

（7）老师：若(),x y =a ，则a 的坐标表示是？

（8）学生：a .

（9）老师：前面我们学习过向量()11,x y =a 和()22,x y =b 共线的坐标表示为

12210x y x y -=，那么向量垂直的坐标表示呢？

（10）学生：12120x x y y ⊥⇔⋅=+=a b a b .

【问题2】教材P106 页例5：已知A （1, 2）,B （2,3）,C （－2,5）,求证:△ABC 是直

角三角形。 【设计意图】体会向量垂直的坐标表示的应用。

【预设师生活动】

（1）学生：通过草图，可以发现90A ∠=︒.

（2）老师：在必修二学完直线的斜率，我们可以利用斜率相乘等于-1证明，那现在有

没有更简洁的证明？ （3）学生：利用向量，计算0AB AC ⋅=u u u r u u u r

.

（4）老师：如果题目中的角A 不是直角，能不能求出cosA ？ （5）学生：可以，cos AB AC

A A

B AC

⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r .

（6）老师：非常好，那么向量()11,x y =a 和()22,x y =b 夹角θ的余弦值的坐标表示呢？ （7）学生：

cos θ⋅=

=a b a b

.

（8）老师：非常正确。

例题：已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ.

练习1：4,3,120,2,2,(1) c (2) c (3)?

a b a b c a b d a kb k d d c d ︒===+=+⊥r r r r

r r r u r r r

r u r r u r

r u r

已知与的夹角为且问为何值时

∥与的夹角为锐角 : 0a b a b ⋅>r r r r 注不能保证向量与的夹角为锐角，!a b r r

还要考虑向量与同向的情况

练习2：

顶点别为边为已知ΔABC的分A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），BC 上的高AD，求：

1D AD u u u r

（）点的坐标以及；2ABC ∆（）判断的形状，并说明理由。 练习3：

【问题3】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的知识？

【设计意图】课堂小结。由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新知识的基本思路。

【预设师生活动】

（1）学生总结后得到向量数量积的坐标表示，模及夹角。

（2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来。

数量积是一种我们引入的新的运算，我们通过数量积的坐标运算能更简洁地解决模与夹角的问题。

【习题检测】

1.课中检测

通过例题及思考题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈。

2.课后检测

请完成课后练习，检测学习效果。