《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意
角和弧度制》1.1《任意角和弧度制》教案【教学目标】1.理解任意角的
概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角
的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用
方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会
用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角
的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角
的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大
1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角的终边、始边.：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转
形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它
为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：在直角坐标系中，
使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与某轴的非负轴重合，则（1）象
限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非
象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个
角不属于任何象限.例如：90,180,2等等.说明：角的始边“与某轴的非
负半轴重合”不能说成是“与某轴的正半轴重合”.因为某轴的正半轴不
包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射
线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30k360kZ的形式；反之，所有形
如30k360kZ的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角
终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360,kZ，即：任一与角
终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.说明：终边相同的角
不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下
列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，与120角终边相同的角
是240，它是第三象限角；（2）640280360，所以，与640角终边相
同的角是280角，它是第四象限角；（3）95012129483360，所以，95012角终边相同的角是12948角，它是第二象限角.例2若k3601575,kZ，试判断角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z∴与225终边相同，所以，在第三象限.例3写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合
不等式360720的元素写出来：（1）60；（2）21；（3）36314．解：（1）S|60k360,kZ，S中适合360720的元素是
601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中适合360720的
元素是21036021,211360339,212260699（3）S|36314k360,kZS中适合360720的元素是36314236035646,363141360314,36314036036314.例4写
出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为
090；（2）与0,90终边相同的角分别为
0k360,90k360,(kZ)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相
同的角中间的角的集合，我们表示为：M|k36090k360,kZ．学生讨论，
归纳出第二、三、四象限角的集合的表示
法：P|90k360180k360,kZ；N|90k360180k360,kZ；Q|2k360360
k360,kZ．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y某(某0)所夹区
域内的角的集合.解：当终边落在y某(某0)上时，角的集合为
|45k360,kZ；当终边落在y某(某0)上时，角的集合为
|45k360,kZ；所以，按逆时针方向旋转有集合：
S|45k36045k360,kZ．二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换
算：∵360=2（rad），
∴180=rad.∴1=180rad0.01745rad.1801rad57.305718.oSl2．弧长公式：lr.由公式：lnrlr.比公式l简单.r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad，in表示rad角的正
弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6把下列各角从度化为弧度：(1)252；（2）
1115；(3)30；(4)6730.解：(1)/71（2）0.0625(3)(4)0.37556变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-
210o；(3)1200o.解：(1)；（2）18720；(3).63例7把下列各角从弧度化为度：（1）；(2)3.5；(3)2；(4)35.4解：（1）
108o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）43；（2）-；（3）.12310解：（1）
15o；（2）-240o；（3）54o.例8知扇形的周长为8cm，圆心角为
2rad，，求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角
的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论
角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含
义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过
程：一、复习师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为
正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述
一下它们的定义。

生：略师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的
表示法，[板书]0S={β|β=α+k某360，k∈Z}这节课我们将进一步学习
并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

二、例题选讲00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S
中适合不等式-360≤β720的元素β写出来：000，（1）60；（2）-21；（3）363140000解：（1）S={β|β=60+k某360，k∈Z}S中适
合-360≤β720的元素是00000000060+（-1）某360=-30060+0某
360=6060+1某360=420.0000（2）S={β|β=-21+k某360，k∈Z}S中适
合-360≤β720的元素是000000000-21+0某360=-21-21+1某360=339-
21+2某360=6990000说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来
构成与-21角终边相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k某360，k∈Z}S中适合-360≤β720
的元素是0，00，0，00，0，00，36314+（-2）某360=-3564636314+（-1）某360=31436314+0某360=36314说明：这种终边相同的角的表示法非常
重要，应熟练掌握。

例2．写出终边在下列位置的角的集合(1)某轴的负半轴上；（2）
y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要
找出符合这个条件的一个0角即α，然后在后面加上k某360即可。

○○0解：（1）∵在0～360间，终边在某轴负半轴上的角为180，
∴终边在某轴负半轴上00的所有角构成的集合是{β|β=180+k某360，
k∈Z}○○000（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和2，∴与90角终边相00同的角构成的集合是S1={β|β=90+k某360，
k∈Z}000同理，与2角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2+k某360，k∈Z}提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？师：
一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变
化：0000S1={β|β=90+k某360，k∈Z}={β|β=90+2k某180，k∈Z}（1）00000S2={β|β=2+k某360，k∈Z}={β|β=90+180+2k某180，
k∈Z}00={β|β=90+（2k+1）某180，k∈Z}（2）0师：在（1）式等号右
边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是00180的所有奇数（2k+1）倍。

因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成90+n某180（n∈Z），故终边在y轴上的
角的集合为0000S=S1∪S2={β|β=90+2k某180，k∈Z}∪{β|β=90+
（2k+1）某180，k∈Z}00={β|β=90+n某180，n∈Z}处理：师生讨论，
板演。

提问：终边落在某轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角
的集合如何表示？00（思考后）答：{β|β=k某180，k∈Z},{β|β=k
某90，k∈Z}进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何
表示？00答：{β|β=45+n某180，n∈Z}0推广：{β|β=α+k某180，
k∈Z}，β，α有何关系？（图形表示）处理：“提问”由学生作
答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例1若是第二象限角，则2，00，分别是第几象限的角？23师：是第二象限角，如何表示？0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k某360180+k某360（k∈Z）0000∴180+k某7202360+k某720∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。

．．．．．．．．（2）∵k180452k18090(kZ)，处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3），再归纳出以下规律：是第一象限的角；22当k2n1(nZ)时，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22当
k2n(nZ)时，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

2是第一或第二或第四象限的角）3说明：配以图形加以说明。

（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。

（进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结1．要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；2．要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如0θ=a+k某120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、课堂练习练习2若的终边在第一、三象限的角平分线上，则2的终边在y轴的非负半轴上.练习3若的终边与60角的终边相同，试写出在（0，360）内，与000角的终边相同的3角。

（20，140，260）（备用题）练习4如右图，写出阴影部分（包括边界）的角0，的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。

000（{α|120+k某360≤α≤250+k某360，k∈Z}；是）0000探究活动经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？五、作业
A组:1．与终边相同的角的集合是___________，它们是第____________
象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是
___________．2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指
出它们是哪个象限的角：（1）－265（2）－1000o（3）－843o10’（4）3900oB组3．写出终边在某轴上的角的集合。