15-16-1线代试题答案

三（8 分） c1

1 2
c2

1 3
c3

1 4
c4
D
234
0
2 0 0 ……………………………………（6 分）
0
030
0
004
(1 1 1 1) 43 2 2 …………………………………………（2 分）
234
四（10 分）
由 AB A 2B ，得 (A 2E)B A……………………………………………（1 分）
1 1

c2

1 0


1 0
………………………（5
分）
x3 0 1 0
六（10 分）
1 1 1 4 1 1 1 4

a1
,
a2
,
a3
,
a4



2 1
1 1
3 3
5 2



2 1 1 1 1 1 2 4


2
时

A, b


1
2
1
2



0
3
3
9

1 1 2 4 0 0 0 3
R( A) 2 R( A,b) 3 ，方程组无解………………………………………（3 分）


1
时，
A,
b

1 1
九（5 分） (1) 解设配制 A 试剂需要甲乙两种化学原料为 x, y ，配制 B 试剂需要甲乙两种化学原料为
s,t ，根据题意得到如下矩阵方程
0 . 1 0 . 2
解此矩阵方程得

x y
0 . 1x 0.3y
s t



s
t


10 10
10
1 1 1
1 1
当
2

2
时，
A
2E


0
0
0
，特征向量
p2


1

,
p3


0

，
0 0 0
0
1
对应于 2 3 2 的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3(k2, k3 0) ………………………（2 分） (2) A 可以相似对角化，因为它有三个线性无关的特征向量。……………（3 分）
2015-2016-1 线性代数参考答案及评分标准
一（每小题 3 分，共 15 分）
1、 125
16
1

2
0
0


2
、

1 2
1
0

1
1

1


2 2
3 、 2 4、24
5、1
二（每小题 3 分，共 15 分） 1D 2B 3A 4D 5B
111
1 1 1 1
1 1 1
可得特征值分别为 1 1,2 3 2 ……………………………………………（2 分）
1 0 3
1
当
1

1时，
A


0
1
1

，特征向量
p1

1
0 0 0
1
对应于 1 1的全部特征向量为 k1 p1(k1 0) …………………………………（2 分）
…………………………………（3 分）
所以 B 19 11 4 ，信号为 skd。
…………………………………….（1 分）
(3)甲乙两个超市的销量抽象为矩阵
A

5 7
8 3
10
5

15 1 甲乙两个超市的单价与利润抽象为矩阵 A 12 1
20 2
得到销售总收入与总利润为
0 0
1 2
1 2
3

6


3 1 5 6
0
2
2
6

1 0 2 1


0 0
1 0
1 0
3

……………………………………（6
分）
0


0 0 0 0
向量组秩为 3，…………………………………………………………………（1 分）
一个最大无关组为：a1,a2 …………………………………………………… （1 分）
0 1 2 0 1 4
1 0 1 3 0 1


0
1
1
2
1
1

…………………………………………（2
分）
0 0 1 2 2 3
1 0 0 5 2 2


0
1
0
4
3 2 ………………………………………（3 分）
0 0 1 2 2 3
将 1 ， 2 ， 3 带入并整理得
2
(2x1 x3)1 (3x1 x2 x3 )2 (x2 x3 )3 0 ………………………………………（2 分）
由
1
，

2
，

3
线性无关知
32xx11

x3 x2
0 x3

0
，
x2 x3 0
| A 2E | 1, A 2E 可逆 ………………………………………………（1 分）
1 0 1 3 0 1

A

2E,
A


1
1
0
1
1
0

0 1 2 0 1 4
1 0 1 3 0 1


0
1
1
2
1
1 ………………………………………（2 分）
所以
5 2 2
B


4
3 2 ………………………………………………（1 分）
2 2 3
1
五（15 分）
11
1 1 2 12 ……………………………………………………（5 分）
11
2 且 1 时，有唯一解…………………………………………………………………………（1 分）
a4 a1 3a2 ………………………………………………………………………（1 分） 七（10 分） 证明：设存在数 x1 ， x2 ， x3 ，使 x11 x22 x3 3 0 …………………………（2 分）
其中
A1


0
1 1 1
2
1
1 1 1 1 1 1
……………………………………（1 分）
0 1 1 15 19
所以 BT A1C 1
2
1

15


11
1 1 1 34 4
2 01
因 3 1 1 1，故齐次线性方程组只有零解，………………………………（4 分）
0 1 1
从而 x1 ， x2 ， x3 全为零
1 ，2 ， 3 是线性无关。……………………………………………………（2 分） 八（12 分）
1 1 1
(1)由 A E 1 1 1 1 22 0 ………………………………（3 分）
0

2 1 5 2
………………………………（3 分）
3
所以配制 A 试剂需要甲乙两种化学原料为 10 克、10 克，配制 B 试剂需要甲乙两种化 学原料为 10 克、0 克。………………………………………………………（2 分）
(2)由加密原理可知 BT A1C
1 0 11 0 1 1
C

AB

371 241
33 20
。
…………………………（5 分）
4
1 1
1 1
1 1 1 0
1 0
1 0
1 0
1 1 1 1 0 0 0 0
R( A) 1 R( A,b) 3方程组有无穷多解，
x1 x2 x3 1 取 x2 c1, x3 c2
得方程组通解为
x


x1 x2


c1