特殊平行四边形难题综合训练（含答案）

特殊平⾏四边形难题综合训练（含答案）
第五章特殊平⾏四边形难题综合训练
1、正⽅形ABCD ，正⽅形BEFG 和正⽅形RKPF 的位置如图所⽰，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正⽅形BEFG 的边长为4，则△DEK 的⾯积为（） A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
2、如图，在正⽅形ABCD 内有⼀折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正⽅形的边长为 .
第1题第2题第3题第4题 3、如图，平⾯内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是⼀组平⾏线，相邻2条平⾏线的距离都是1个单位长度，正⽅形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平⾏线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正⽅形的⾯积是平⽅单位． 4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 .
6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的⾯积为8，则BE =（） A ．2 B ．3 C ．22 D ．32
第5题第6题第7题第8题
7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°⾄OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（）
A 、（2,2-）
B 、（2,2-）
C 、（3,3-）
D 、（2,2--）
8、如图，正⽅形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折⾄△AFE ，延长EF 交边BC 于
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③ 9、如图，在正⽅形ABCD 中，点O 为对⾓线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点
E 、
F ，且∠EOF =90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中：（1）图形中全等的三⾓形只有两对；（2）正⽅形ABCD 的⾯积等于四边形OEBF ⾯积的4倍；（3）BE +BF =20A ；（4）AE 2+CF 2=20POB ．正确的结论有（）个． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10、如图，在矩形ABCD 中，由8个⾯积均为1的⼩正⽅形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 .
11、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．
(1)如图11－1，当点M 在AB 边上时，连接BN ．求证：ABN ADN △≌△；
(2)如图11－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三⾓形．12、如图所⽰，正⽅形ABCD 的边CD 在正⽅形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，． (1）求证：BE DG ．
(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三⾓形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． C
M
B
N
A
D
（图11-2）
C
B M A
N
D
（图11-1）
13、请阅读，完成证明和填空．
数学兴趣⼩组在学校的“数学长廊”中兴奋地展⽰了他们⼩组探究发现的结果，内容如下：
(1）如图13-1，正三⾓形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且
60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．
(2）如图13-2，正⽅形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠=度．
(3）如图13-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．
(4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请⼤胆猜测，⽤⼀句话概括你的发现：． 14、ABC △是等边三⾓形，点D 是射线BC 上的⼀个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三⾓形，过点E 作BC 的平⾏线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． (1）如图（a ）所⽰，当点D 在线段BC 上时．
A A A B
B
B C
C
C D
D
O O
O
M M M N
N
N E
图13-1
图13-2
图13-3
…
(3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形并说明理由．
15、如图，ABC △中，点O 是边AC 上⼀个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外⾓平分线于点F ．
(1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；
(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点O 运动到何处，且ABC △满⾜什么条件时，四边形AECF 是正⽅形
16、如图，已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G
、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．
(1）求ABC △的⾯积；
A
G C
D B
F E 图（a ）
A
D
C
B
F
E
G
图（b ）
A
F N D
C B M E
O
17、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，
将ABC △绕点B 顺时针旋转⾓α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系并证明你的结论； (2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由
18、在菱形ABCD 中，对⾓线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．
(1）求BDE △的周长；
(2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．
A
D
B
E
C
F 1A
A
D
B
E
C
F 1
A 1C
19、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形AOBC在第⼀象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，
使EF交矩形的外⾓平分线BF于点F，设C（m，n）．
(1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；
(2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE成⽴并求出点E的坐标．
20、如图，将正⽅形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，⽤这四块图形恰．
能拼成⼀个
．．．．．矩形（⾮正⽅形）．
(1）画出拼成的矩形的简图；
(2）求x
的值．
A Q D
E
B P C
O
x
O E B
A
y
C
F
x
O E B
A
y
C
F
O E B
A
y
C
F
21、如图所⽰，在矩形ABCD 中，1220AB AC ==，，两条对⾓线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平⾏四边形1OBB
C ；对⾓线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平⾏四边形111A B C C ，对⾓线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平⾏四边形1121O B B C ……依次类推． (1）求矩形ABC
D 的⾯积；
(2）求第1个平⾏四边形11OBB C 、第2个平⾏四边形111A B C C 和第6个平⾏四边形的⾯积．
22、如图（22），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平⾏于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正⽅形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． (1）求A B 、两点的坐标；
(2）⽤含t 的代数式表⽰MON △的⾯积1S ；
A 1 A 2
B 2
C 2
C 1 B 1
O 1 D
A
B
C O
①当2t ≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；
②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △⾯积的516
23、如图15，在四边形ABCD 中，E 为AB 上⼀点，△ADE 和△BCE 都是等边三⾓形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论． O
M
A
P N y l m
x B
O M
A
P N y l m
x
B
E P
F 图22
24、数学课上，张⽼师出⽰了问题：如图1，四边形ABCD 是正⽅形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF
交正⽅形外⾓DCG ∠的平⾏线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，⼩明展⽰了⼀种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进⼀步的研究：
(1）⼩颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意⼀点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成⽴，你认为⼩颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）⼩华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意⼀点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成⽴．你认为⼩华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
25、如图，ABCD 是正⽅形，点G 是BC 上的任意⼀点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+． A
D
F C
G
E B
图1 A
D
F C G
E B 图2 A
D
F
C G
E B
图3
D
C
B
A E
F G
参考答案
1、D
2、104
3、5或9
4、20
1005
2
3
55 5、15 6、C 7、A 8、B 9、C 10、58
11、（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB = AD ，∠1 =∠2⼜∵AN = AN ∴△ABN ≌△ADN (2）解：∵∠ABC =90°，∴菱形ABCD 是正⽅形此时，∠CAD =45°．下⾯分三种情形：
Ⅰ）若ND =NA ，则∠ADN =∠NAD =45°．此时，点M 恰好与点B 重合，得x =6；
∴∠3=∠4，从⽽CM =CN ，易求AC =62，∴CM =CN =AC －AN =62－6，故x = 12－CM =12－（62－6）=18－62
综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN 是等腰三⾓形
12、（1）因为ABCD 是正⽅形，所以BC =CD 。

⼜因为ECGF 是正⽅形，所以EC =CG 。

所以三⾓形BCE 和三⾓形DCG 全等（HL ）。

所以BE =DG （全等三⾓形的对应边相等）（2）存在。

以点C 为旋转中⼼逆时针旋转90度
13、（1）证明：∵ABC △是正三⾓形，∴60A ABC AB BC ∠=∠==°，，
在ABN △和BCM △中，AB BC
A ABC AN BM =??
∠=∠??=?
∴ABN BCM △≌△．
∴ABN BCM ∠=∠．⼜∵60ABN OBC ∠+∠=°，∴60BCM OBC ∠+∠=°，∴60NOC ∠=°．注：学⽣可以有其它正确的等价证明．
(2）在正⽅形中，90AN DM DON =∠=，°． (3）在正五边形中，108AN EM EON =∠=，°． (4）以上所求的⾓恰好等于正n 边形的内⾓
(2)180n n
-°
14、（1）①证明：∵ABC △和ADE △都是等边三⾓形，∴60AE AD AB AC EAD BAC ==∠=∠=，，°．
⼜∵EAB EAD BAD ∠=∠-∠，DAC BAC BAD ∠=∠-∠，∴EAB DAC ∠=∠，∴AEB ADC △≌△．
②法⼀：由①得AEB ADC △≌△，∴60ABE C ∠=∠=°．⼜∵60BAC C ∠=∠=°，∴ABE BAC ∠=∠，∴EB GC ∥．⼜∵EG BC ∥，∴四边形BCGE 是平⾏四边形．法⼆：证出AEG ADB △≌△，得EG AB BC ==．由①得AEB ADC △≌△．得BE CG =．∴四边形BCGE 是平⾏四边形． (2）①②都成⽴．
(3）当CD CB =（2BD CD =或1
2
CD BD =
或30CAD ∠=°或90BAD ∠=°或30ADC ∠=°）时，四边形BCGE 是菱形．
理由：法⼀：由①得AEB ADC △≌△，∴BE CD =分⼜∵CD CB =，∴BE CB =．由②得四边形BCGE 是平⾏四边形，∴四边形BCGE 是菱形．
法⼆：由①得AEB ADC △≌△，∴BE CD =．⼜∵四边形BCGE 是菱形，∴BE CB =∴CD CB =．
∴6060FBE BAC F ABC ∠=∠=∠=∠=°，°∴60F FBE ∠=∠=°，∴BEF △是等边三⾓形．
⼜∵AB BC =，四边形BCGE 是菱形，∴AB BE BF ==，∴AE FG ⊥∴30EAG ∠=°，∵60EAD ∠=°，∴30CAD ∠=°． 15、（1）OE OF =．
其证明如下：∵CE 是ACB ∠的平分线，12∴∠=∠．∵MN BC ∥，∴13∠=∠．∴23∠=∠．∴OE OC =．同理可证OC OF =．∴OE OF =．
(2）四边形BCFE 不可能是菱形，若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，⽽由（1）可知FC EC ⊥，在平⾯内过同⼀点F 不可能有两条直线同垂直于⼀条直线．
(3）当点O 运动到AC 中点时，OE OF =，OA OC =，则四边形AECF
为，要使AECF 为正⽅形，必须
使EF AC ⊥．
∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥，∴ABC △是以ACB ∠为直⾓的直⾓三⾓形，
∴当点O 为AC 中点且ABC △是以ACB ∠为直⾓的直⾓三⾓形时，四边形AECF 是正⽅形． 16、（1）解：由
28
033
x +=，
得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．
∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ?
=+=-+?
，
．解得56x y =??
=?，．∴C 点的坐标为()56，．∴11
1263622
ABC C S AB y =
=??=△·．
(2）解：∵点D 在1l 上且28
88833
D B D x x y ==∴=
+=，．
∴D 点坐标为()88，．⼜∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．
∴8448OE EF =-==，．
17、（1）1EA FC =．
证明：（证法⼀）
AB BC A C =∴∠=∠，．
由旋转可知，111AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠，，，∴ABE C BF 1△≌△．∴BE BF =，⼜1BA BC =，∴1BA BE BC BF -=-．即1EA FC =．
(证法⼆）
AB BC A C =∴∠=∠，．
由旋转可知，11A C A B CB ∠=∠，=，⽽1EBC FBA ∠=∠，∴1A BF CBE △≌△．∴BE BF =，∴1BA BE BC BF -=-，即1EA FC =．
证明：
111130A ABA AC AB ∠=∠=∴°，∥，
同理AC BC 1∥．∴四边形1BC DA 是平⾏四边形. ⼜
1AB BC =，∴四边形1BC DA 是菱形.
18、（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以BE AD AC DE ∥，∥，故四边形ABCD 为平⾏四边形，则有5AB AD BC CE
====，所以10BE BC CE =+=，
6AC DE ==，⼜6
113522OA AC AB OA ??
====
，，垂直于OB ，
所以在Rt ABC △中有222AB OB OA =+，所以1
482
OB BD BD ===，，故三⾓形BDE 的周长为861024BD DE BE ++=++= (2）因为四边形ABCD 为菱形，
所以OB OD BE AD =，∥，则DBC ∠=DOQ ∠⼜BOP DOQ ∠=∠，所以BOP △全等于DOQ △故有BP DQ =
19、（1）由题意得m = n 时，AOBC 是正⽅形．
如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ．∴∠EGO = 45，从⽽∠AGE = 135．
由BF 是外⾓平分线，得∠EBF = 135，∴∠AGE =∠EBF ．∵∠AEF = 90，∴∠FEB +∠AEO = 90．在Rt △AEO 中，∵
∠EAO +∠AEO = 90，∴∠EAO =∠FEB ，∴△AGE ≌△EBF ，EF = AE ．
(2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图．由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ．∴ FH = OE ，EH = OA ．
∴点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．
由BF 是外⾓平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a ．⼜由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ，∴ EH = m －a + a = m ．
⼜EH = OA = n ，∴ m = n ，这与已知m ≠n 相⽭盾．因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成⽴．
(3）如（2）图，设E （a ，0），FH = h ，则EH = OH －OE = h + m －a ．
且
FH OE EH AO =，即h
a
a m h n =-+，
整理得 nh = ah + am －a 2，∴ a
n a m a a n a am h --=--=)
(2
．
把h =（t + 1）a 代⼊得
a t a
n a m a )1()
(+=--，
即 m －a =（t + 1）（n －a ）．
⽽ m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）．化简得 ta = n ，解得t
n a =．∵ t ＞1，∴
＜n ＜m ，故E 在OB 边上．∴当E 在OB 边上且离原点距离为t n 处时满⾜条件，此时E （t
n
，0）．
20、（1）
(2）解法⼀：由拼图前后的⾯积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++
因为y ≠0，整理得：01)(2=-+y
x y x 解得：2
1
5-=
y x
（负值不合题意，舍去）解法⼆：由拼成的矩形可知：y
x
y y x y x =+++)(
以下同解法⼀．
21、（1）在Rt ABC △中，
2222201216BC AC AB --=，
1216192ABCD S AB BC ==?=矩形·．
(2）
矩形ABCD ，对⾓线相交于点O ，
4ABCD OBC S S ∴=△，四边形1OBB C 是平⾏四边形，11OB CB OC BB ∴∥，∥， 11OBC B CB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠，，⼜BC CB =，1OBC B CB ∴△≌△，
112962OBB C OBC ABCD S S S ∴==
=△，同理，1111111
48222
A B C C OBB C ABCD S S S ==??=，第6个平⾏四边形的⾯积为61
32
ABCD S =．
H x
O E
B A
y
(2）1OM OA MN AB ON OB ∴
==∥，，2111
22
OM ON t S OM ON t ∴==∴==，·； (3）①当24t <≤时，易知点P 在OAB △的外⾯，则点P 的坐标为()t t ，,
F 点的坐标满⾜4x t y t =??
=-+?，
，
即(4)F t t -，，同理(4)E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-)，所以2MPN PEF OMN PEF S S S S S =-=-△△△△2221111324248822222
t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()()；②当02t <≤时，22211515
44221622
S t t ===，，
解得125052t t =-<=>，，两个都不合题意，舍去；
当24t <≤时，223
5882
2S t t =-+-=，解得347
33
t t ==，，综上得，当73t =或3t =时，2S 为OAB △的⾯积的5
16
．
23、如图，连结AC 、BD ．
∵ PQ 为△ABC 的中位线，∴ PQ 2
1
AC ．同理 MN
2
1
AC ．∴ MN PQ ，
∴四边形PQMN 为平⾏四边形．在△AEC 和△DEB 中，
AE ＝DE ，EC ＝EB ，∠AED ＝60°＝∠CEB ，即∠AEC ＝∠DEB ．∴△AEC ≌△DEB ．∴ AC ＝BD ．∴ PQ ＝21AC ＝2
1
BD ＝PN ，∴□PQMN 为菱形． 24、（1）正确．
证明：在AB 上取⼀点M ，使AM EC =，连接ME ．
BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF 是外⾓平分线，
45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．(2）正确．
证明：在BA 的延长线上取⼀点N ． A
D
F
C G
E B
N A D
F C G
E
B
M
DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴
△≌△（ASA ）．AE EF ∴=． 25
、
ABCD 是正⽅形，
90AD AB BAD ∴=∠=，°． DE AG ⊥，
90DEG AED ∴∠=∠=°． 90ADE DAE ∴∠+∠=°．
⼜
90BAF DAE BAD ∠+∠=∠=°，
ADE BAF ∴∠=∠． BF DE ∥，
AFB DEG AED ∴∠=∠=∠．
在ABF △与DAE △中，AFB AED
ADE BAF AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
，
(AAS)ABF DAE ∴△≌△．
BF AE ∴=． AF AE EF =+， AF BF EF ∴=+．。