课时2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

教学时，建议教师首先引导学生自主推导两角和的余弦公式，再利用 诱导公式推导出两角和与差的正弦公式．通过公式的推导一是建立起公式 之间的内在联系，二是加深对公式的理解和记忆，为公式的综合应用打下 扎实的基础．
一、导入新课
想一想，cos 15°＝？由上一节所学的两角差的余弦公式：cos(α－β)
＝cos αcos β＋sin αsin β，同学们很容易想到：cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝
2＋ 4
6.那么 cos 75°＝cos(30°＋45°)＝？这
节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦公式．
二、提出问题 1．怎样由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式？ 2．怎样由两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？ 3．两角和与差的正弦、余弦有哪些应用？
1．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝( B )
A．－
3 2
3 B. 2
C．－21
1 D.2
解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°
＝sin(20°＋40°)＝sin
60°＝
3 2.
1
解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部 的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局 部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相 消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公 式．
3
2×－45－－13×35＝8
125＋3.sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋
cos αsin β＝－13×－45＋－2 32×35＝4－165
2 .
典例 2 值．
已知 cos α＝54(α 为第一象限角)，求 cos6π＋α，sin3π－α的
解：因为 cos α＝45，且 α 为第一象限角，所以 sin α＝ 1－cos2α＝
A．[－2,2]
B．[－ 3， 3]
C．[－1,1]
D.－
23，
3
2
解析：因为 f(x)＝sin x－cosx＋π6＝sin x－cos xcos
π6＋sin xsin
π 6
＝sin
x－
3 2 cos
x＋12sin
x＝
3
3 2 sin
x－12cos
x＝
3sinx－π6(x∈R)，
所以 f(x)的值域为[－ 3， 3]．
1－452＝35.
所以 cos6π＋α＝cos
π 6cos
α－sin
π 6sin
α＝
23×45－12×35＝4
3－3 10 .
sin3π－α＝cos2π－π3－α＝cos6π＋α＝4
3－3 10 .
33
在△ABC 中，cos A＝35，且 cos B＝153，则 cos C 的值
是 65 .
解析：因为在△ABC 中，cos A＝53，可知 A 为锐角，所以 sin A＝
＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－ β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
[题点延伸] 本典例 2 中，若π2<β<α<34π，sin(α－β)＝153，sin(α＋β)＝ －153，求 sin 2β 的值．
(备选题)若 sin34π＋α＝153，cos4π－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α ＋β)的值．
解：因为 0<α<π4<β<34π，所以34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0，
又 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝53， 所以 cos34π＋α＝－1123，sin4π－β＝－54. 所以 cos(α＋β)＝sin2π＋α＋β＝sin34π＋α－π4－β
题型 2◆给值求值问题
典例 1 已知 sin α＝－31，α∈π，32π，cos β＝－54，β∈2π，π，则 cos(α
＋β)＝8
125＋3，sin(α＋β)＝
4－6 15
2
.
解析：由题意：cos α＝－232，sin β＝53，所以 cos(α＋β)＝cos αcos β
－sin
αsin
β＝－2
1－cos2A＝45.因为 cos B＝153，可知 B 也为锐角，所以 sin B＝ 1－cos2B＝
1123.所以 cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝45
×1123－35×153＝3635.
题型 3◆公式的灵活应用
典例 1 化简 2cos x－ 6sin x 的结果是( D )
5．5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
两角和与差的正弦、余弦公式是在研究两角差的余弦公式的基础上， 进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式．为研究二倍角的三 角函数及三角恒等变换奠定了基础．
教材通过特殊情形引入，再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探 究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用．
＝sin34π＋αcos4π－β－cos34π＋αsin4π－β ＝153×53－－1123×－45＝－3635.
解：因为π2<β<α<34π，所以 0<α－β<π4，π<α＋β<32π.
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－
1－11322＝153， 1－－352＝－45.
所以 cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋ β)sin(α－β)Βιβλιοθήκη (备选题) (tan 10°－
cos 3) sin
5100°°＝
－2
.
解析：原式＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
5100°°＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
10° 50°
＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins 5100°°＝－2.
解：因为π2<β<α<34π，所以 0<α－β<π4，π<α＋β<32π. 所以 cos(α－β)＝1123，cos(α＋β)＝－1123， sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－ β) ＝－153×1123－－1123×153＝0.
1．了解两角和的余弦、两角和与差的正弦的推导过程，提高学生数
学推理、数学语言表达的能力．
2．能综合应用两角和与差的正弦、余弦解决相关的问题，培养学生
数学运算的能力. 素养目标
新知线索
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的
余弦公式、两角和与差的正弦公式．
2.了解两角和与差的正弦、余弦的内在联
系.
概念深层理解
题型深度探究
题型 1◆给角求值问题
典例 cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值等于( B )
A．0
1
3
B.2
C. 2
D．－21
解析：因为 cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°＝cos 24°cos 36°－sin
24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝21.
A．2 2cos3π－x
B．2 2sin3π＋x
C．2 2sin3π－x
D．2 2cos3π＋x
解析：原式＝2
212cos
x－
3 2 sin
x
＝2
2cos xcos
π3－sin xsinπ3＝2
2cos3π＋x.
典例 2 已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与 cos 2β 的值．
给值(式)求值的策略 (1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形 式． (2)当已知角有一个时，一是着眼于所求角与已知角的和或差的关系， 然后应用诱导公式把 所求角变成已知角；二是着眼于所求角与已知角的差别，将所求角表 示成已知角与一个特殊角的和或差，然后展开求值．
函数 f(x)＝sin x－cosx＋π6的值域为( B )
sin 2.
50°－sin 20°cos cos 20°
30°＝
2
.
解析：原式＝sin20°＋30c°o－s 2s0i°n 20°cos 30°＝ sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°
cos 20° ＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
两角和的余弦、正弦，两角差的正弦公式
两角和的余弦 两角和的正弦 两角差的正弦
展开式 cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
记法 C(α＋β) S(α＋β) S(α－β)