曲面的第一基本形式

第三章 曲面的第一基本形式
本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注意对概念的深入理解．
§1 参数化曲面
一．E 3 中参数化曲面的定义
r : U →E 3
(u , v )→ r (u , v ) = (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ．
C k 阶参数化曲面，简称参数曲面；
参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，
简称坐标．点． u 坐标曲线，简称
u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐
标曲线．坐标曲线网或参数网．自
然切向分别表示为
∂r ∂u = r u ，∂r ∂v
= r v ． 连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．以后不声明时在局部总考虑 C 3 类参数曲面，并简称之为曲面．
二．正则曲面
定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一一对应．
例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于例3中的参数曲面，有
r u = (- v sin u , v cos u , 0) ，
图3-1
r v = (cos u , sin u , 1) ，
r u ⨯r v = (v cos u , v sin u , - v ) = v (cos u , sin u , -1) ；
r u ⨯r v 当且仅当参数 v = 0 时为零向量，故参数值 (u , 0) 对应于全部非正则点——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f (v ) = 0 时，对应点不是正则的．
例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：
r (t , z ) = (cos t 2 , sin t 2 , z ) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之上，是具有一般性的．
三．正则曲面的切平面和法线
已知正则曲面 S : r = r (u , v ) ．考虑
过点 r (u 0, v 0) , r (u 0+∆u , v 0) 和 r (u 0,
v 0+∆v ) 的平面 ∏ 当 (∆u , ∆v )→(0, 0) 时
的极限位置，亦即切平面的位置．正
则性保证了平面 ∏ 的极限位置平面 ∏0
的法向向量确定为
r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) ．
曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面 ∏0 上面；任给坐标曲线自然切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r (u 0, v 0) 处的切向．
定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量
(1.2) n (u 0, v 0) = r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) |r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0)|
； 正定向，简称正向；负定向，简称负向．
正则曲面是有正定向的曲面．
在切点 P : r (u 0, v 0) 处的切平面通常记为 T P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间
(1.3) T P = {a r u (u 0, v 0) + b r v (u 0, v 0) | (a , b )∈R 2 } ≅ E 2 ，
其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a , b ) 规定为 E 3 的诱导内积，即
(1.4) (a , b ) = a ∙b , ∀ a , b ∈T P ．
图3-5
此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组{r u, r v} 通常称为自然基，而标架场{r;r u, r v, n} 通常称为自然标架场．用经典微积分的观点来看，切平面上的微元
(1.5)d r(u, v) =r u(u, v)d u+r v(u, v)d v
是位置向量增量 [r(u + d u , v + d v) -r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数(d u, d v) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例d u:d v确定．
例8已知半径为a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为
r(t, z) = (a cos t , a sin t , a z) ．
试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．
例9已知正则曲面由隐式方程F(x, y, z) = 0 确定，其中梯度向量∇F = (F x, F y, F z) ≠0．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为∇F(x, y, z) ．
四．参数变换
定义3给定正则曲面S: r= r(u, v) ，若参数变换{u=u(u*, v*)
v=v(u*, v*)
满足
①是连续可微的一一对应；
②Jacobi行列式
∂(u, v)
∂(u*, v*)
=
∂u
∂u*
∂v
∂u*
∂u
∂v
*∂v
∂v*
处处非零，
u*
图3-6
则称之为容许参数变换；当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *) > 0 时称之为保向的，当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *)
< 0 时称之为反向的．
注记 容许参数变换只有保向或反向两种．
在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)
下，有 (1.6) ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ⎝⎛⎭⎫ r u
r v
， (1.7) r u *⨯r v * = ∂(u , v ) ∂(u *, v *)
r u ⨯r v ． 由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．
五．参数曲面的等价
类似曲线的论断：
① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．
② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间直角坐标系的选取．
③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式． ④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体分别是重合的．
⑤ 定向相同的；定向相反的．
⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都是唯一确定的．
⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较为深入的讨论．
约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换．
§2 直纹面与可展曲面
直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．
一．直纹面及其上的参数变换
直纹面的直纹或（直）母线；准
线．直纹的位置和直纹上的点的相对位
置，给出直纹面 S 的下列自然参数化
(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，
其中准线为连续可微参数曲线
(2.2) C : r * = a (u ) ，
过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量
l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，
(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．
由此可确定正则条件．
例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类． ① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．
② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为
(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．
故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．
③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为
(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．
图3-7
① ② ③
图3-8
此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．
④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族．
⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族．
例2 正螺旋面或正螺面；其准线可取为
旋转轴．正螺面相应单位法向垂直于z 轴；旋
转轴上各点处的切平面公交于旋转轴．
例3 Möbius 带实体无所谓“正”的定
向．
直纹面按照准线和直母线族的自然参数
化，具有明显的几何直观．
准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；这是一种具有几何意义的参数变换．
设直纹面 S 的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为
(2.9) l *(u ) = λ(u ) l (u ) , λ(u ) ≠ 0 ，
(2.10) a *(u ) = a (u ) + μ(u ) l (u ) ，
其中变换系数函数 λ(u ) 和 μ(u ) 都是连续
可微的．令
(2.12) {
u * = u
v * = [v - μ(u ) ] λ(u ) ， 则得到容许参数变换，与原有方程的对应关系为
(2.14) r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) = r *(u *, v *) = a *(u *) + v * l *(u *) ． 由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系．
引理1 已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．
二．可展曲面及其局部形状分类
柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．
图
3-9 图3-11
定义1若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．
例4柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证．
定理1(直纹面可展的解析条件)设直纹面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 正则．S可展的充要条件为a' , l , l'共面，即
(2.15) (a' , l , l' ) ≡ 0 ．
对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取．要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．
注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．
在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)∙l(u) ≡ 0 ；
进而分两种情形：
①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件
(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；
②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件
(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；
从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．
定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．
证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：
①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．
②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* = const. ，而切线面存在新准线C*:
a*(u) 使关于弧长的导数
d a*
d s C*
=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待
定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则
a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；
故取b=-λ即可满足要求．此时，
a*'= (μ-λ') l．
由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠
μ时，l=
a*'
μ-λ'
=
d a*
d s C*
，则S为切线面．
③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．
综合各种情形，得证．
三．单参数曲面族的包络
观察例5管状面．
定义2单参数曲面族Sλ的包络面S*，简称包络．
例6可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．
在求解包络时的先验假定，反验．
定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0
能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．
注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．
②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．
③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．
④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面S
的公切点构成的曲线，称之为包络面
λ0
的特征线．
例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族
Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))
是由隐式方程F(x, y,z; λ) =0 给出的，其中梯度向量∇F=(F x ,F y, F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为
(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，
Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．
单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．
定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)∙r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．
§3曲面的第一基本形式
在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，是曲面几何学基本的问题之一．勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定；子体和原有 Euclid 空间的几何属性将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．
本节总记正则曲面S的参数方程为r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2．
一．曲面上的弧长元素
首先考虑曲面S上的曲线段的长度和弧长元素．
设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]
是 S 的正则曲线上的一个弧
段．通常也用平面区域 U 上的
参数方程 {u = u (t )v = v (t )
, t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式
的双重含义：既表示平面区域 U
上的一条参数曲线 C -1 ，同时也
表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C
时往往强调“在曲面 S 上”．
记曲面上的量
(3.1) E = E (u , v ) = r u ∙r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u ∙r v , G = G (u , v ) = r v ∙r v = |r v |2 ,
则对曲线 C 有
d s 2 = d r ∙d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]| u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]
d t 2 ， d s = | d r d t
| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有
s (b ) - s (a ) = ⎰b a
d s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2
| u =u (t ), v =v (t ) d t ． 可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．
二．第一基本形式
定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式
(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2
为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．
图3-13
注记： 第一基本形式系数也称为第一基本量．第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．
曲面第一基本形式d s 2 = d r ∙d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部．
第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变．
第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．
例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a ∙b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．
① 平面 ∏ 的第一基本形式为
d s 2 = d r ∙d r = (a d u + b d v )∙(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．
② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ
，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；
E (ρ, θ) = r ρ∙r ρ = (a cos θ + b sin θ)∙(a cos θ + b sin θ) = 1 ，
F (ρ, θ) = r ρ∙r θ = (a cos θ + b sin θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，
G (ρ, θ) = r θ∙r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；
此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为
d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．
③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得
r w = T + t κ N ，r t = T ；
E (w , t ) = r w ∙r w = (T + t κ N )∙(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，
F (w , t ) = r w ∙r t = (T + t κ N )∙ T = 1 ，
G (w , t ) = r t ∙r t = T ∙ T = 1 ；
此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为
d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2
= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．
第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．改写
(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；
(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,
(3.5) d r ∙d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,
(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v ∙ (r u , r v ) ，
其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“∙”表示数量积．
定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式
(3.7) E F F G
= EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u ∙r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ， 称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．
性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；
② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．
在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)
下记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为 (3.8) J = ⎝ ⎛⎭
⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为
d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2
．
则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得
(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T = J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r v T J T = J ⎝⎛⎭
⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．
这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为
(3.11) E *G * - F *2 = ||J || EG - F 2 ． 例2 以平面弧长参数曲线为准线作柱面 S ，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u , v ) 下可以表示为 d s 2 = d u 2 + d v 2 ．
三．交角与面积元素
确定交角和面积等几何量．交角，有向交角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．
1．曲面上的曲线的交角
假设曲面 S 的第一基本形式以 (3.2) 式确定；设点 (u , v ) 处的两个切向微元在自然基 {r u , r v } 下分别为 d u :d v 和 δu :δv ，确定其间夹角余弦(3.12)式——曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．
定理1 对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．
定义2 正交参数，正交参数网或正交网．
定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．
例3 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线 C 的微分方程．
2．曲面的面积元素和区域
面积
曲面的面积元素可以表示为
(3.13) d σ = |r u ⨯r v | d u d v
= EG - F 2 d u d v ．
任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0)
可以表示为
(3.14) A (U 0) = ⎰⎰ U 0 d σ = ⎰⎰ U 0 |r u ⨯r v | d u d v = ⎰⎰ U 0
EG - F 2 d u d v ． 在参数变换下面积元素对应相同，面积也对应相同．
v )图3-14
定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．
§4局部等距对应
曲面间的正则对应．“贴广告”的体验：保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变．
一．局部等距对应
定义1局部等距对应；局部等距．等距对应；等距．
等距与局部等距的区别．目前通常只考虑曲面间的局部等距对应，并简称为等距对应．
定理1（局部等距对应充要条件）两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式．
等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系，并不一定具有明显的解析表达式；同时，第一基本形式按对应关系相同，并不意味着它们的参数已经对应相同，即它们的第一基本形式系数并不总是相等，而只是在对应关系下以变换规律 (3.9) 式相联系．一般而言，寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由 (3.9) 式所给定的偏微分方程组，但其求解过程往往是困难重重和具有技巧的．从定理1看，通过计算第一基本形式即可验证对应关系是否为等距对应．而对于较为直观和简单的等距对应，通过分析几何直观及其所提供的启示，也可以找到相应的对应关系．
例1悬链面与正螺面之间的局部等距对应
悬链面与正螺面．悬链面去掉一条母线而“剪开”后，与正螺面的“一个螺纹”之间的等距对应．
定理2可展曲面总存在与平面的局部等距对应．
分析这个定理的结论和证明过程，可见可展曲面局部存在到平面之间的连续变形，使得变形过程中的每一张中间曲面都是可展的，并且在对应关系下直纹总变到直纹，同时每一张也都是互相等距对应的．这就是平整的“纸张”能够“不撕破”“不褶皱”地“贴合”在可展曲面上的原
因．这个定理的逆定理也是成立的，其证明在后续两章给出．形象地说，可展曲面名副其实地“可展”成平面．一般而言，讨论曲面在保持等距意义下的连续形变，是较为复杂的．
二．曲面的内蕴几何学概念
定义2内蕴量，内蕴性质（内在性质）；内蕴几何体．内蕴几何学．
内蕴几何学的核心是讨论第一基本形式的不变量以及相关的几何属性．例如，球面与平面之间不存在局部等距对应，从而具有不同的内蕴几何学；而这个事实的证明，将在第五章利用所谓的Gauss绝妙定理给出．从内蕴几何角度来看，可展曲面的代表就是平面；有理由认为它的“内在弯曲”状况是“平坦”的，尽管有许多可展曲面的“外在弯曲”状况是“弯曲”的．而球面既是“外在弯曲”的，也是“内在弯曲”的．内蕴量和内蕴性质，还可以提示和帮助确定等距对应关系．
§5局部正交参数网与等温参数
适当坐标系的选取是非常重要的．简化计算．另一种作用是，根据场合选取具有特定几何意义的坐标系，有时会成为揭示和解决问题的关键．本节将给出一个基础性结论，它经常用于建立所需要的局部坐标系，包括确定一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性．
一．一般结论与正交网
定理1设二阶连续可微正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场a(u, v) , b(u, v) ，则对任何点 (u0, v0)∈D
满足r u*∥a , r v*存在其邻域D0⊂D，使在D0内存在参数变换{u* =u*(u, v)
v* =v*(u, v)
∥b，即切向量场a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为u*, v* 曲线族．定理2在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网．证明对曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D，取
a(u, v) =r u(u, v) ,
b(u, v) =r v(u, v) -F
E
r u(u, v) ，
则a, b是两个处处线性无关的连续可微切向量场，并且处处正交．由定理1，可分别取切向量场a, b的积分曲线族为局部的两族坐标曲线，则此两族坐标曲线构成正交网．□
注记①曲面正交网的存在性是局部性质；至于大范围内是否存在正交网，往往受到曲面整体性质的约束．
②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的；但是，定理并没有保证它们可以成为自然切向量场，而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场．
二．等温参数
定义1曲面的等温参数．
在等温参数下，内蕴量的计算较为简单．同时，从(3.12) 式可见，曲面上的曲线的交角，总等于其在等温参数区域中的原像（当视为欧氏平面上的曲线时）的交角．曲面与欧氏平面在等温参数下的这种对应关系，是一类共形对应，或称为保角对应或等角对应．
例1Mercator地图．
等温参数的存在性是较难证明的．
定理3在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近，总可取到等温参数网．
推论二阶连续可微正则曲面局部共形对应于平面；二阶连续可微正则曲面之间总可局部共形对应．。