中考数学复习 第四章 三角形 4.2 三角形及其性质课件
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①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形
12/9/2021
第十四页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
【特别(tèbié)提示】
1.若题目中没有明确指出三角形的边是底还是腰，没有明确指出三角形的角是顶角还是底角时
12/9/2021
第十三页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
3.直角三角形的性质与判定 (1)性质：
①直角三角形的两个锐角⑮互余；
②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的⑯一半； ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑰一半。
(2)勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ):直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方，即a2+b2=c2。 (3)常用关系式:如图，由三角形的面积公式，得AB·CD=AC·BC。 (4)判定：
第十一页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
1.等腰三角形的性质与判定
(1)定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，如图①，
△ABC为等腰三角形。
(2)性质：
①两个底角相等，即∠B=∠C；
②两腰相等，即AB=AC；
③等腰三角形是轴对称图形(túxíng)，有一条对称轴，即直线AD；
④三线合一：等腰三角形⑧顶角的平分线、⑨底边上的高、底边上的中线互相重合。
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陕西考点(kǎo diǎn)解读
【提分必练】
4.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线(zhōngxiàn)，则下列各式
错误的是( C)
A.AB=2BF
1 B.∠ACE= ∠ACB 2 C.AE=BE
D.CD⊥BE
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AC 1 5
1
∴AD=DP=
32 2.42 1∴.8,AP=
2AD=3.6，∴S△ABP = 2 AP·BD= ×2 3.6×2.4=4.32；③当CB=CP=4
时，如答图③，S△BCP =
C ·PS△ABC = ×6=4 4.8。综上所述，
等腰三角形的面积可能为3.6或A4C.32或4.8。 5
【易错警示】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质 以及(yǐjí)三角形的面积。在判定等腰三角形时，容易因为考虑不全面导致漏解。
B.14
C.15
D.20
【解析】 ∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△ACD的周长为 AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=9+5=14。故选B。
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第十九页，共二十三页。
重难突破(tūpò) 强化
重难点2 特殊(tèshū)三角形的相关计算(重点、难点)
例2 (2018·福建中考)把两个同样(tóngyàng)大小的含45°角的直角三角尺
AD2AF22212∴3,CD=BF+DF-BC= 1 32 31。
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第二十页，共二十三页。
重难突破(tūpò) 强化
重难点3 特殊(tèshū)三角形的判定（易错点) 例3 (2018·黑龙江中考)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割(fē
B.122°
C.123°
D.132°
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第十八页，共二十三页。
重难突破(tūpò) 强化
重难点1 三角形中的重要(zhòngyào)线段(重点)
例1 (2018·西安莲湖区模拟(mónǐ))如图，在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分线交B
的周长是( )
B
A.11
避免漏解的方法：正确认识等腰三角形中的有关概念，审题要细心，考虑要全面。该题中未明确 顶角，所以要分情况讨论，找出所有可能的分割方法，并求出得到的相应的等腰三角形的面积。
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第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
第四章 三角形。2.掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。1.理解三角形的中线、高线、 角平分线等概念。②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的⑯一半。③直角三角形斜边上的中
2.三角形的内角和定理及其推论 (1)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。
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第四页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn) 解读
(2)推论：
a.直角三角形的两个(liǎnɡ ɡè)锐角③互余。 b.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 c.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的④内角。
其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是________________。
3.6或4.32或4.8
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=
△AABBC2分割B成C两2个=5三，S角△形AB，C =使其A12 B中·B只C有=一6。个是过等点腰B三的角直形线，把
按如图的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直
角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上。
若AB= ，则CD=_______。
2
3 1
【解析】如答图，过点A作AF⊥BC于点F。在Rt△ABC中，
2 2 ∠B=45°，∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1。∵这两个含45°
角的直角三角尺全等，∴AD=BC=2。在Rt△AD2 F中，DF=
No 线等于斜边的⑰一半。3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合(chónghé)。斜边上的射影的比例中项，
每条直角边是它们。3.6或4.32或4.8。在判定等腰三角形时，容易因为考虑不全面导致漏解
Image
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(3)判定：
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②有两角相等的三角形是等腰三角形。
(4)等腰三角形的面积计算公式：⑪
S ，1其a中h a是底边长，h是底边上的高。 2
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第十二页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
2.等边三角形的性质与判定
(1)定义：三边都相等(xiāngděng)的三角形叫作等边三角形，如图②，△ABC为等边三角形。
A.45° CC.75°
B.60° D.85°
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第六页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
考点(kǎo diǎn)3 三角形的相关线段
中考说明:
1.理解三角形的中线(zhōngxiàn)、高线、角平分线等概念。
2.探索并证明三角形的中位线定理。
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第七页，共二十三页。
A.15°
A
B.30°
C.45°
D.60°
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长
A.
B.
D
C.6
D.
32
33
62
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陕西考点(kǎo diǎn)解读
考点(kǎo diǎn)5 三角形的五心
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陕西考点(kǎo diǎn)解读
【特别(tèbié)提示】
三角形的重心把中线(zhōngxiàn)分为2∶1的两部分(重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份)。
【提分必练】
7.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC
的大小为( ) A.114° C
陕西考点(kǎo diǎn)解读
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【特别(tèbié)提示】
陕西考点(kǎo diǎn)解读
1.三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 2.三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。 3.三角形的角平分线、中线都在三角形的内部。锐角三角形的高在其内部(如图①)；直角(zhíjiǎo)三 边互为高，三条高的交点在直角(zhíjiǎo)三角形的直角(zhíjiǎo)顶点处(如图②)；钝角三角形有两条高 高的延长线的交点在三角形的外部(如图③)。
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考点(kǎo diǎn)4 特殊三角形的性质与判定
中考说明:
1.探索并证明等腰三角形的性质定理。
2.探索并掌握(zhǎngwò)等腰三角形的判定定理。
3.探索等边三角形的性质定理与判定定理。
4.探索并掌握直角三角形的性质定理。
5.探索勾股定理及其逆定理。
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(2)性质：
①三条边相等，即AB=AC=BC；
②三个角相等，且每个角都等于⑫60°；
③是轴对称图形，有三条对称轴。
(3)判定：
①三边都相等的三角形是等边三角形；
②三角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的⑬等腰三角形是等边三角形。
(4)等边三角形的面积计算公式：⑭
S 1 ah 2
3 a ，a是2等边三角形的边长，h是等边三角形的高。 4
【特别(tèbié)提示】
等腰三角形中至少有两边相等，而等边三角形的三边(sān biān)都相等，所以等边三角形 是特殊的等腰三角形。
【提分必练】
1.已知一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( ) B
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
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【提分必练】
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) B
A.4 cm，5 cm，9 cm
B.8 cm，8 cm，15 cm
C.5 cm，5 cm，10 cm
D.6 cm，7 cm，14 cm
3.将一副直角三角板按如图的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和
含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线(zhíxiàn)上，则∠α的度数是( )
斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们
在斜边上的射影和斜边的比例中项，如图。
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CD2 AD·BD，
CDACBAB9，0，BACC22
AD·AB， BD·AB。
第十五页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
【提分必练】
5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于
2.底角为顶角2倍的等腰三角形，其底角平分线将原等腰三角形分成(fēn chénɡ)两个等腰三角形。 3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合。 4.运用勾股定理的前提是在直角三角形，且必须在同一个直角三角形中。勾股定理把“数”和“形” 结合思想方法的典型。
【知识延伸】
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在
第四章 三角形
4.2 三角形及其性质
(xìngzhì)
12/9/2021
第一页，共二十三页。
陕西考点(kǎo 解读 diǎn)
考点(kǎo 1 diǎn) 三角形的分类
三角形按边的关系分类(fēn lèi)如下：
三角形按边的关系分类如下：
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第二页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn) 解读
【特别(tèbié)提示】
1.运用三角形的三边关系时，不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段之和大于第三条线段即可。 2.一个三角形有六个外角。要证明角的不等关系，常常要用到三角形的外角的性质：三角形的一个外角大于任 邻的内角。
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第五页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
有三种情况：①当AB=AP=3时，如答图①，S△ABP =
×6A =P 3.6；
3
·S△ABC =
AC
5
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第二十一页，共二十三页。
重难突破(tūpò) 强化
②当AB=BP=3，且点P在AC上时(shànɡ shí)，如答图②，作Rt△ABC斜边AC上的
高BD，则BD=
ABBC342.4,
第三页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
考点2 三角形的三边(sān biān)关系 中考说明:
1.探索并证明三角形的内角和定理。 2.掌握(zhǎngwò)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三 角形的任意两边之和大于第三边。
1.三角形的三边关系定理及其推论 (1)三角形的三边关系定理：三角形的两边之和①大于第三边。 (2)推论：三角形的两边之差②小于第三边。
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【特别(tèbié)提示】
1.若题目中没有明确指出三角形的边是底还是腰，没有明确指出三角形的角是顶角还是底角时
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第十三页，共二十三页。
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3.直角三角形的性质与判定 (1)性质：
①直角三角形的两个锐角⑮互余；
②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的⑯一半； ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑰一半。
(2)勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ):直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方，即a2+b2=c2。 (3)常用关系式:如图，由三角形的面积公式，得AB·CD=AC·BC。 (4)判定：
第十一页，共二十三页。
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1.等腰三角形的性质与判定
(1)定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，如图①，
△ABC为等腰三角形。
(2)性质：
①两个底角相等，即∠B=∠C；
②两腰相等，即AB=AC；
③等腰三角形是轴对称图形(túxíng)，有一条对称轴，即直线AD；
④三线合一：等腰三角形⑧顶角的平分线、⑨底边上的高、底边上的中线互相重合。
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【提分必练】
4.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线(zhōngxiàn)，则下列各式
错误的是( C)
A.AB=2BF
1 B.∠ACE= ∠ACB 2 C.AE=BE
D.CD⊥BE
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AC 1 5
1
∴AD=DP=
32 2.42 1∴.8,AP=
2AD=3.6，∴S△ABP = 2 AP·BD= ×2 3.6×2.4=4.32；③当CB=CP=4
时，如答图③，S△BCP =
C ·PS△ABC = ×6=4 4.8。综上所述，
等腰三角形的面积可能为3.6或A4C.32或4.8。 5
【易错警示】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质 以及(yǐjí)三角形的面积。在判定等腰三角形时，容易因为考虑不全面导致漏解。
B.14
C.15
D.20
【解析】 ∵MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△ACD的周长为 AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=9+5=14。故选B。
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重难突破(tūpò) 强化
重难点2 特殊(tèshū)三角形的相关计算(重点、难点)
例2 (2018·福建中考)把两个同样(tóngyàng)大小的含45°角的直角三角尺
AD2AF22212∴3,CD=BF+DF-BC= 1 32 31。
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重难突破(tūpò) 强化
重难点3 特殊(tèshū)三角形的判定（易错点) 例3 (2018·黑龙江中考)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割(fē
B.122°
C.123°
D.132°
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重难突破(tūpò) 强化
重难点1 三角形中的重要(zhòngyào)线段(重点)
例1 (2018·西安莲湖区模拟(mónǐ))如图，在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分线交B
的周长是( )
B
A.11
避免漏解的方法：正确认识等腰三角形中的有关概念，审题要细心，考虑要全面。该题中未明确 顶角，所以要分情况讨论，找出所有可能的分割方法，并求出得到的相应的等腰三角形的面积。
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内容(nèiróng)总结
第四章 三角形。2.掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。1.理解三角形的中线、高线、 角平分线等概念。②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的⑯一半。③直角三角形斜边上的中
2.三角形的内角和定理及其推论 (1)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。
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(2)推论：
a.直角三角形的两个(liǎnɡ ɡè)锐角③互余。 b.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 c.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的④内角。
其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是________________。
3.6或4.32或4.8
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=
△AABBC2分割B成C两2个=5三，S角△形AB，C =使其A12 B中·B只C有=一6。个是过等点腰B三的角直形线，把
按如图的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直
角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上。
若AB= ，则CD=_______。
2
3 1
【解析】如答图，过点A作AF⊥BC于点F。在Rt△ABC中，
2 2 ∠B=45°，∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1。∵这两个含45°
角的直角三角尺全等，∴AD=BC=2。在Rt△AD2 F中，DF=
No 线等于斜边的⑰一半。3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合(chónghé)。斜边上的射影的比例中项，
每条直角边是它们。3.6或4.32或4.8。在判定等腰三角形时，容易因为考虑不全面导致漏解
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(3)判定：
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②有两角相等的三角形是等腰三角形。
(4)等腰三角形的面积计算公式：⑪
S ，1其a中h a是底边长，h是底边上的高。 2
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2.等边三角形的性质与判定
(1)定义：三边都相等(xiāngděng)的三角形叫作等边三角形，如图②，△ABC为等边三角形。
A.45° CC.75°
B.60° D.85°
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考点(kǎo diǎn)3 三角形的相关线段
中考说明:
1.理解三角形的中线(zhōngxiàn)、高线、角平分线等概念。
2.探索并证明三角形的中位线定理。
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第七页，共二十三页。
A.15°
A
B.30°
C.45°
D.60°
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长
A.
B.
D
C.6
D.
32
33
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考点(kǎo diǎn)5 三角形的五心
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第十七页，共二十三页。
陕西考点(kǎo diǎn)解读
【特别(tèbié)提示】
三角形的重心把中线(zhōngxiàn)分为2∶1的两部分(重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份)。
【提分必练】
7.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC
的大小为( ) A.114° C
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【特别(tèbié)提示】
陕西考点(kǎo diǎn)解读
1.三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 2.三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。 3.三角形的角平分线、中线都在三角形的内部。锐角三角形的高在其内部(如图①)；直角(zhíjiǎo)三 边互为高，三条高的交点在直角(zhíjiǎo)三角形的直角(zhíjiǎo)顶点处(如图②)；钝角三角形有两条高 高的延长线的交点在三角形的外部(如图③)。
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考点(kǎo diǎn)4 特殊三角形的性质与判定
中考说明:
1.探索并证明等腰三角形的性质定理。
2.探索并掌握(zhǎngwò)等腰三角形的判定定理。
3.探索等边三角形的性质定理与判定定理。
4.探索并掌握直角三角形的性质定理。
5.探索勾股定理及其逆定理。
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(2)性质：
①三条边相等，即AB=AC=BC；
②三个角相等，且每个角都等于⑫60°；
③是轴对称图形，有三条对称轴。
(3)判定：
①三边都相等的三角形是等边三角形；
②三角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的⑬等腰三角形是等边三角形。
(4)等边三角形的面积计算公式：⑭
S 1 ah 2
3 a ，a是2等边三角形的边长，h是等边三角形的高。 4
【特别(tèbié)提示】
等腰三角形中至少有两边相等，而等边三角形的三边(sān biān)都相等，所以等边三角形 是特殊的等腰三角形。
【提分必练】
1.已知一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( ) B
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
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【提分必练】
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) B
A.4 cm，5 cm，9 cm
B.8 cm，8 cm，15 cm
C.5 cm，5 cm，10 cm
D.6 cm，7 cm，14 cm
3.将一副直角三角板按如图的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和
含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线(zhíxiàn)上，则∠α的度数是( )
斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们
在斜边上的射影和斜边的比例中项，如图。
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CD2 AD·BD，
CDACBAB9，0，BACC22
AD·AB， BD·AB。
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【提分必练】
5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于
2.底角为顶角2倍的等腰三角形，其底角平分线将原等腰三角形分成(fēn chénɡ)两个等腰三角形。 3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合。 4.运用勾股定理的前提是在直角三角形，且必须在同一个直角三角形中。勾股定理把“数”和“形” 结合思想方法的典型。
【知识延伸】
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在
第四章 三角形
4.2 三角形及其性质
(xìngzhì)
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陕西考点(kǎo 解读 diǎn)
考点(kǎo 1 diǎn) 三角形的分类
三角形按边的关系分类(fēn lèi)如下：
三角形按边的关系分类如下：
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陕西考点(kǎo diǎn) 解读
【特别(tèbié)提示】
1.运用三角形的三边关系时，不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段之和大于第三条线段即可。 2.一个三角形有六个外角。要证明角的不等关系，常常要用到三角形的外角的性质：三角形的一个外角大于任 邻的内角。
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陕西考点(kǎo diǎn)解读
有三种情况：①当AB=AP=3时，如答图①，S△ABP =
×6A =P 3.6；
3
·S△ABC =
AC
5
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重难突破(tūpò) 强化
②当AB=BP=3，且点P在AC上时(shànɡ shí)，如答图②，作Rt△ABC斜边AC上的
高BD，则BD=
ABBC342.4,
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陕西考点(kǎo diǎn)解读
考点2 三角形的三边(sān biān)关系 中考说明:
1.探索并证明三角形的内角和定理。 2.掌握(zhǎngwò)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三 角形的任意两边之和大于第三边。
1.三角形的三边关系定理及其推论 (1)三角形的三边关系定理：三角形的两边之和①大于第三边。 (2)推论：三角形的两边之差②小于第三边。