函数的图像及性质

函数图像
【基础知识梳理】
1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．
2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．
3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。

（1）平移变换（左加右减，上加下减）
把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a +的图像， 把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a -的图像， 把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a +的图像， 把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a -的图像。

（2）伸缩变换
①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
w 1
倍得()y f x ω= (0<ω<1) ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w
1
倍得()y f x ω= (ω>1)
③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= (ω>1) ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1)
（3）对称变换：
①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称 函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称
函数()y f x =和函数1
()y f x -=的图像关于直线x y =对称
简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变。

②对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2
b
a x +=
（4）翻折变换：
①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；
②保留y 轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数()y f x =的图像。

【方法总结】
1、特殊值法
如函数图像的顶点，顶点与两轴的交点等。

2、排除法
根据函数单调性、奇偶性、对称性、变化趋势、特殊值、符号变化等排除。

两者结合，简单易行
【走进高考】
【2013四川理】函数3
31
x x y =-的图象大致是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
【2013北京理】.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1
e x + B. 1
e
x - C. 1
e
x -+ D. 1
e
x --
【2013大纲卷】已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是
（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称 （B ）()y f x =的图像关于直线2
x π
=
对称
（C ）()f x 的最大值为3
2
（D ）()f x 既奇函数，又是周期函数
【2013江西理】如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG 的长为(0)x x π<<，
y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是
【2013山东理】函数cos sin y x x x =+的图象大致为
【2013课标Ⅰ】已知函数()f x =22,0
ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[2,1]-
D ．[2,0]-
【2013上海】函数12
()f x x
-=的大致图像是（ ）
【突破训练】
1．图1是函数sin (0)y x x π=≤≤的图像，A(x,y)是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图像于另一点B （A,B
可重合）。

设线段AB 的长为f(x),则函数f(x)的图像是 ( )
2
．若函数为增函数，那么的图像是 （ ）
3．函数
的图像大致为(
).
4．若，则函数的图像大致是
x y 0
x
y B
A
0 x
y C
0 x y
D
()log (1)a f x x =+)1,0(≠>a a 且02log <a x x
x x e e y e e
--+=-()1
1
log 1
a
g x x =+()()0,1x f x a a a =>≠
5．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则
)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）
6
．已知函数①；②；③；④。

则下列函数图像（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是（ ）
（A ）②①③④ （B ）②③①④ （C ）④①③② （D ）④③①② 7．若函数f(x)的反函数为f )(1x -,则函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象可能是
8．函数y =x +cos x 的大致图象是
A B C D
9．将函数的图象向左平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小值为（ ）
φy ()0>φφ⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=34cos πx y 12
y x =1
y x -=ln y x =3x
y =x y O 2πx y O 2πx y O 2πx y O 2π
（A ）
（B ） （C ） （D ） 10．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足①P 、Q 都在函数y ＝f(x)的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y ＝f(x)的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”)． 已知函数f(x)＝()()
22log 04x x x x x >⎧⎪⎨--<⎪⎩则此函数的“友好点对”有( ) A ．0对 B ．1对
C ．2对
D ．3对
11．定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式s t s t t f s s f +≤≤--≥-3,41),2()2(22时则当的取值范围（ ） A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-
12．已知椭圆216
x ＋29y ＝1及以下3个函数：①f(x)＝x ；②f(x)＝sin x ；③f(x)＝cos x ．其
中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个
13． 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是
A B C Ｄ 14．当a ≠0时，函数y=ax+b 和y=b ax 的图像只可能是 （ ）
15．函数tan(
)(04)42
x y x ππ
=-<<的图像如图所示，A 为图像与x 轴的交点,过点A 的直线l 与函数的图像交于C 、B 两点.则()OB OC OA +⋅=（ ）
3
4π3
2
π3π6π
C
A o
x
y
B
A.-8
B.-4
C.4
D.8
16．已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2x x f =，则函数()x f y =
()R x ∈图像与x
y 5log =图像的交点的个数是（ ）
（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）12
17．已知A ，B ，C ，D 是函数sin()(0,0)2
y x π
ωω=+Φ><Φ<一个周期内的图象上的四个
点，如图所示，(,0),6
A π
-B 为y
轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个
对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12
π
，则,ωΦ的值为（ ）
Ａ．2,3
π
ω=Φ=
B ．2,6
π
ω=Φ=
Ｃ．1,23πω=Φ= D ．1,26
π
ω=Φ=
18、已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1,1]时f(x)＝x 2
，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有 ．
19．已知函数sin()y A x ωφ=+()(0,0,,)A ωφππ>>∈-图像的一部分如图所示，则该函数的解析式为 .
20.函数x x f πsin 2)(=与函数31)(-=x x g 的图像所有交点的橫坐标之和为 ．
21．设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图像过点(1,3)，则函数
1()3y f x -=+的图像一定过点 .
22、直线y ＝1与曲线y ＝x2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围是____________．
23、 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x2有公共点，则b 的取值范围是____________．。