第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)

2 2 2 2
≥(1＋1＋1＋1)2. 1 1 1 1 即[4s－(a＋b＋c＋d)]· ( ＋ ＋ ＋ )≥16， s－d s－a s－b s－c s s s s 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， s－d s－a s－b s－c 3 等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等，故取不到等号， 1 1 1 1 16 即 ＋ ＋ ＋ > . a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 3a＋b＋c＋d
二、填空题 a2 b2 4． a， 是给定的正数， 设 b 则 2 ＋ 2 的最小值为________． sin α cos α a2 b2 a2 解析： 2 ＋ 2 ＝(sin2α＋cos2α)( 2 ＋ sin α cos α sin α
b2 a b 2 ＋cosα· ) ＝(a＋b)2. 2 )≥(sinα· cos x sinα cosα
答案：C
3．设 x、y、z，满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值 是 A．3 2 3 C. 2 2 B．4 D．6 ( )
解析：构造两组数：x， 2y， 3z 和 1， 2， 3， 由柯西不等式得[x2＋( 2y)2 ＋( 3z)2][12＋( 2)2＋( 3)2]≥(x ＋2y＋3z)2， ∴(x＋2y＋3z)2≤18， ∴－3 2≤S≤3 2. 答案：A
一、选择题 1．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是 A. 3 C．3 B. 5 D．5 ( )
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.
答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
又由 0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． aA＋bB＋cC π 得 ＜ .② 2 a＋b＋c 由①、②得原不等式成立．
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
v2 w2 u 6 8 当且仅当 ÷ 3＝ ÷ 4＝ ÷ 5，即 u＝ ，v＝ ， 3 4 5 5 5
答案：4
三、解答题
8．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2 ＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
解 ： ∵ 4(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋d2)＝ (1＋ 1＋ 1＋ 1)(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即 4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即 5e2－16e≤0， 16 ∴e(5e－16)≤0，故 0≤e≤ . 5
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
49 7 a 7 a 2 所以 a≥(x＋y＋z) ，即－ ≤x＋y＋z≤ . 36 6 6 7 a 因为 x＋y＋z 的最大值是 7，所以 ＝7，得 a＝36， 6 36 9 4 当 x＝ ，y＝ ，z＝ 时，x＋y＋z 取最大值， 7 7 7 所以 a＝36.
(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件
若 n 是不小于 2 的正整数，求证：
4 1 1 1 1 1 2 ＜1－ ＋ － ＋„＋ － ＜ . 7 2 3 4 2n－1 2n 2 1 1 1 1 1 [证明] 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n
1 1 1 ＝ 1＋2＋3＋„＋2n － 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＝ 2 2 4 2n n＋1 ＋
[例5]
已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
由柯西不等式：
2 2 2
且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
[解]
2
12 12 [x ＋(2y) ＋(3z) ][1 ＋( ) ＋( ) ] 2 3 1 1 ≥(x＋ ×2y＋ ×3z)2. 2 3 因为 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
2 2 2
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1 1 ＋„＋ ， 2n n＋2 所以求证式等价于 4 1 1 1 2 ＜ ＋ ＋„＋ ＜ . 7 n＋1 n＋2 2n 2
由柯西不等式，有
1 1 1 ＋ ＋„＋ [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2， n＋1 n＋2 2n
1 1 1 n2 于是 ＋ ＋„＋ ≥ 2n n＋1＋n＋2＋„＋2n n＋1 n＋2 2n 2 2 4 ＝ ＝ ≥ ＝ ， 1 1 7 3n＋1 3＋n 3＋ 2
1 1 [(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]2－a ＋2－a ＋ 1 2

1 „＋ ≥n2， 2－an 而(2－a1)＋(2－a2)＋„＋(2－an)＝2n－1，
1 n2 n 所以，S≥n× ＝ ， 2n－1 2n－1 1 当且仅当 a1＝a2＝„＝an＝n时， 上面几个不等式的等号 n 成立，于是 S 的最小值为 . 2n－1
又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2

1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a s－b s－c 3
答案：(a＋b)2
5．x∈R，则 1＋sinx＋ 1－sinx的最大值为________．
解析：( 1＋sinx＋ 1－sinx)2≤(12 ＋12)(1＋sinx＋1－sinx) ＝4， ∴ 1＋sinx＋ 1－sinx≤2. 当且仅当 1＋sinx＝ 1－sinx，即 sinx＝0 时取等号．
构造两组数 1 1 1 s－d， s－a， s－b， s－c； ， ， ， s－d s－a s－b 1 ，由柯西不等式得 s－c
1 [( s－d ) ＋ ( s－a ) ＋ ( s－b ) ＋ ( s－c ) ]· [ 2＋ s－d 1 1 1 2＋ 2＋ 2] s－a s－b s－c
a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝ ，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当 ＝ ＝ ，即 1 2 1 5 5 x＝ ，y＝ 时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝ ，y＝ . 2 6
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是
一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等
式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意
取等号的条件能否满足．
[例 3]
u4 已知正实数 u，v，w 满足 u2＋v2＋w2＝8，求 9
v4 w4 ＋ ＋ 的最小值． 16 25 [解] ∵u2＋v2＋w2＝8.
答案：2
2 9 1 6．函数 y＝x＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋ ＝ ＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
B．n
1 C．n D.n 解析：设 n 个正数为 x1，x2，„，xn，由柯西不等式，得(x1
＋ x2 ＋ „ ＋ xn)
1 1 1 ＋ ＋„＋ xn x1 x2
≥

1 x1× ＋ x2 x1
1 1 2 × ＋„＋ xn× ＝(1＋1＋„＋1)2＝n2. x2 xn
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＝4. y)
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
[例 1]
2
w＝2 时取到“＝”号， v4 w4 6 8 u 32 ∴当 u＝ ，v＝ ，w＝2 时 ＋ ＋ 的最小值为 . 5 5 9 16 25 25
4
[例 4]
设 ai∈R＋(i＝1,2，„，n)且 ai＝1，求：
i＝1
n
a1 a2 S ＝ ＋ ＋ „ ＋ 1＋a2＋„＋an 1＋a1＋a3＋„＋an an 的最小值． 1＋a1＋„＋an－1 a1 a2 an [解] S＝ ＋ ＋„＋ 关于 a1，„，an 对称， 2－a1 2－a2 2－an