控制工程基础课件第六章 频率特性分析

G
j
arctan
1
n 2
n2
当=0时，G j 1，G j 0；
当=n时，G j 2，G j 90； 当=时，G j ，G j 180。
二阶微分环节的极坐标图也于阻尼比有关，对应不同的 ξ值，形成一簇坐标曲线，不论ξ值如何，当ω=0时，极 坐标曲线从(1,0)点开始，在ω=∞时指向无穷远处。
第6章 频率特性分析
本章介绍线性系统的频域分析方法。该方法是通 过控制系统对正弦函数的稳态响应来分析系统性能的。
频率特性不仅能反映系统的稳态性能，也可用来 研究系统的稳定性和动态性能。
6.2 频率响应与频率特性
一、频率特性的概念
1、频率响应：是系统对正弦输入的稳态响应。
2、频率特性：给线性系统输入某一频率的正弦波，
1 1 jT
G j 1 U jV
1 jT
1
1 T 22
j T 1 T 22
A e j
实频特性为U 虚频特性为V
1； 1+T 2 2
T。 1+T 2 2
幅频特性为A 1 ；
1 T 22
相频特性为 G j arctanT
特殊点：
当=0时，G j 1，G j 0； 当=1/T时，G j 1 ,G j 45；
取拉氏变换为： Xi s
A
s2
2
电路的输出为： X0 s G s Xi s 上式取拉氏反变换并整理得
1A Ts 1 s2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
1 T2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
1 T2 2
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
3) 便于研究系统结构参数变化对系统性能的影响。
4) 不需要解闭环特征方程，利用乃氏判据，根据 系统的开环频率特性就可以研究闭环系统的稳定性。
三、频率特性的求法
系统的频率特性可以通过以下三种方法 求得，通常采用后两种方法。
1) 根据已知系统的微分方程，把输入量以正 弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和 输入正弦的复数之比即得。
① 将系统的开环传递函数写成若干典型环节串联形式；
② 根据传递函数写出系统的实频特性、虚频特性和幅频
特性、相频特性的表达式；
③分别求出起始点(ω=0)和终点(ω=∞)，并表示在极坐
Im
O
[G( j)]
1 Re 0
1.0 0.8 0.6 0.4
7、二阶微分环节
传递函数为 Gs
T 2s2
2Ts
1
s2
n2
2
1
n
s
1
其频率特性为
G
j
1
2
j n
j n
2
1. 幅相频率特性
幅频特性为
G j
1
2 n2
2
2
n
2
2
相频特性为
求其某些特殊点的值为
其频率特性为
G j 1 jT
1. 频率特性
G j 1 jT 1 T 2 e j
实频特性为U
1; 虚频特性为V
T。
幅频特性为A 相频特性为
1 T 2; arctan T 。
Im
[G( j)]
因此有
0
Re
O
1
当=0时，G j 1，G j 0；
当=1/T时，G j 2，G j 45；
由图可得出如下性质：
1) 当ω由0→∞变化时，不论 ξ值如何，Nyquist曲线均从(1,0) 点开始，到（0,0)点结束，相位角 应由0°→-180°。
Im
O
[G( j)]
1 Re 0
1.0 0.8 0.6 0.4
2) 当=n时，Nyquist曲线均交于负虚轴，其相
位角为 90，幅值为 1 ，曲线在第三﹑四象限。
jT 1
【例】某单位负反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin t时系 统的稳态输出
解 首先求出系统的闭环传递函数(s) )=1/(s+2), 令s=j 得
如=2, 则 (j2)=0.35∠－450 则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)
1;
相频特性为
/ 2。
积分环节的 Nyquist图是负虚 轴，具由负无穷远 处指向原点。可以 看出，积分环节具 有恒定的相位滞后。
Im [G( j)]
0
3、微分环节
微分环节的传递函数为： G s s
其频率特性为： G j
j
1. 幅相频率特性 G j j e j /2
实频特性为U
0; 虚频特性为V
。
幅频特性为A
; 相频特性为
90
微分环节的Nyquist图是 正虚轴，且由原点指向正无 穷远处，如图4-12所示可以 看出，微分环节具有恒定的 相位超前。
Im
0
O
[G( j)]
Re
4、惯性环节
惯性环节的传递函数为 G s
1
1 Ts
式中 T─惯性环节的时间常数。
其频率特性为： G j
1. 幅相频率特性
系统的频率G j和系统的传递函数G s 有密切的联系。令G s中的s j,当从0到
范围变化时，就可以求出系统的频率特性。
既然频率特性是传递函数的一种特殊情况， 这样，传递函数的有关性质和运算规律对 于频率特性也同样适用。
二、频率特性的特点
1) 频率特性是通过分析系统对不同频率正弦输入的 稳态响应来获得系统的动态特性。若系统的输入信号 为正弦信号，则系统的稳态输出也是同频率的正弦信 号，但幅值和相位与输入的正弦信号不同。 2) 频率响应有明确的物理意义，并且可以用实验的方 法获得，这对于不能用解析法建模的元件或系统，具 有非常重要的意义。即使对于能用解析法建模的元件 或系统，也可以借用频率响应实验对其数学模型进行 检验和修正。
特性、传递函数和微分方程之间的转换关系。
解 一个典型二阶系统的传递函数为
G s X0 s
2 n
Xi s
s2 2 ns
2 n
以jω代换s，则频率特性为
Gj
X0 j
Xi j
2
n
2 2 nj
2 n
以 d 代换s,可以化成通常所熟悉的微分方程
dt
的形式 d 2 x0 t
dt
2
dx0 t n dt
2 n
x0
t
Im K Re
奈氏图：奈氏图上的幅相特性曲线是实轴上的一个点。
2、积分环节
1 积分环节的传递函数为： G s
s
其频率特性为 G j 1 j 1 1 e j /2
j
1. 幅相频率特性
G j 1 j 1 1 e j / 2
j
则实频特性为U 虚频特性为V
幅频特性为A
0; 1;
1
n 2
n2
当=0时，G j 1，G j 0；
当=n时，G
j
1
2
，G
j
90；
当=时，G j 0，G j 180。
振荡环节的 Nyquist图与阻尼 比ξ有关，对应 于不同的ξ值， 形成一簇极坐标 曲线。
Im
O
[G( j)]
1 Re 0
1.0 0.8 0.6 0.4
常用的图形表示法有三种： ➢对数坐标图或称伯德图。 ➢极坐标图或称奈奎斯特图。 ➢对数幅-相图或称尼柯尔斯图。
6-3 频率特性的极坐标图（乃奎斯特图）
1．极坐标图
G(jω)可用幅值 |G(jω) | 和相角∠G(jω)的向量
表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量 G(jω)的幅值和相位也随ω作相应的变化，其端点在复 平面上移动的轨迹称为极坐标图。
2 3）当 =时，Nyquist曲线回到原点，其相位角
为-180，幅值为0。
对于欠阻尼系统，当 ξ≤0.707，系统会出现谐振 峰值，记作Mr，出现该谐振 峰值的频率称为谐振频率 ωr。对于过阻尼系统 (ξ>1)，其Nyquist图接近 一个半圆，这是因为ξ很大 时，系统特征方程根全为实 根，而起主导作用的是靠近 原点的实根，此时系统已接 近一阶惯性环节。
可以证明，该系统稳态输出为同频率的正弦信号，
x t Bsin t 0
x(t)
AB
t
xi (t) Asint
xo (t) B sin(t )
系统输出与输入的正弦幅值之比为 A
B Gj A
输出与输入的正弦信号的相位差为 G j
可表示为指数形式： G( j) A()e j()
式中： A() G( j) —幅频特性 () G( j) —相频特性
在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆 时针/顺时针旋转来实现的。
采用极坐标图的主要优点是：能在一张图上表示 出整个频率域中系统的频率特性，在对系统进行稳定 性分析及系统校正时，应用极坐标图较方便。
2．典型环节的极坐标图
（1）．比例环节：
Gs
Cs Rs
K
频率特性： G j K
G j K
G j 0o
x0 t
A sin t arctan T
1 T 2 2
=A G j sin t G j
=B sin t
上述分析表明，当电路的输入为正弦信号时， 其输出的稳态响应(即频率响应)也是一个正弦信号， 其频率和输入信号的频率相同，但幅值和相位发生 了变化，幅值、相位变化多少取决与ω。
=0.7sin(2t-45o)
四、频率特性的表示方法
1.数学式表达方式
G j U jV (直角坐标表达式）
= G j G j 极坐标表达式
=A e j
指数表达式
式中 U V A
─实频特性； ─虚频特性； ─幅频特性； ─相频特性。
2. 图形表示方法
为了直观的表示系统在较宽频率范围中的频率响 应，常用图形的方法表示系统的频率特性。
经过充分长的时间后，系统的输出响应仍是同频率 的正弦波，而且输出与输入的正弦幅值之比，以及 输出与输入的相位之差，对于一定的系统来讲是完 全确定的。当不断改变输入正弦的频率(由0变化到
∞)时，该幅值比和相位差的变化情况即为系统的 频率特性。
Asin t
G(s)
B sin(t )
xi t
Asin t
2 n
xi
t
由此可见，控制系统的三种表达式之
间，能够很方便地转换。
例4-2 已知G s
解 令s=j
K s 1 , 求其频率特性。 Ts 1
则频率特性为 G j
Kj 1 jT 1
幅频特性为 A
Gj
Kj
1
K
22 1
jT 1
T2 2 1
相频特性为
G j K j 1 arctan arctanT
当=时，G j ，G j 90。
6、振荡环节
振荡环节的传递函数为
Gs
2 n
s2 2 ns
2 n
1
s2
2
2s
1
其频率特性为
n
n
G
j
j 2
n2
1
2
j nj2
n
1. 幅相频率特性
幅频特性为
G j
1
1
2 n2
2
2
n
2
相频特性为
2
G
j
arctan
2) 根据传递函数来求取。 3) 通过实验测得。
另外，由于频率特性和传递函数以及微分方 程式一样，都表征了系统的内在规律，所以可以 简单地进行变换，得到相应的表达式。三者间的 关系可以用下图来说明。
s
d ddtt
传递函数
s j
微分方程 系统
频率特性
j d
dt
例4-1 已典型二阶系统为例来说明系统的频率
由此可知，线性定常系统在正弦输入信号作用 下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号频率ω 的函数，称其为系统的幅频特性，记作A(ω)。它 描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的正弦 信号时，其幅值的增大或衰减特性。
稳态输出信号与输入信号的相位差 也 是ω的函数，称其为系统的相频特性。它描述 了在稳态情况下，当系统输入不同频率的正弦 信号时，其相位产生超前或滞后的特性。
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，因此频率特 性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性， 它能揭示系统的动态特性和稳态特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
Gs
1 Ts 1
R
i(t)
ui(t)
uo(t)
C
式中 T─时间常数，且T=RC。
正弦输入信号为： xi t Asin t
2
当=时，G j 0，G j 90；
虚频特性与实频特性之比为 U
T
V
将其代入实频特性表达式中，可得
U
1
2
2
V 2
1
2
2
上式表明，当 ω=0→∞时，惯性环节的 极坐标图是一个圆心在点 (1/2,0)点、半径为1/2的 下半圆
Im
[G( j)]
45
Re 0
1
T
5、一阶微分环节
一阶微分环节的传递函数为 G s 1 Ts
1.0 0.8 0.6 0.4
－1
Im
0
[G( j)]
0 Re
1
图4-21 二阶微分环节的Nyquist图
8．延时环节
G(S) e-s
G(j) e-j cos-jsin |G(j)| 1 G(j) -
奈氏图为一直径为1的圆，
3．系统乃奎斯特图的一般画法
绘制系统Nyquist图的基本步骤