观察联想而有深度

数学教学通讯

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观察联想而有深度

唐秀农

广东省广州市第八十六中学510700

［摘要］深度学习和深度教学理念的引进促进高中数学教学理念、内容编排发生了变化，拓宽了学生的学习思维，丰富了教师的教学方法.本文就深度学习和深度教学的内容选用进行分析，整合教学内容，更

新了数学教学理念.

［关键词］观察;联想;深度学习；深度教学

笔者所在学校生源位居广州市第三生源组.学校学习风气较为浓厚，学生学习数学态度较为端正,但学生却常因自己动手解题没有思路而倍感焦头烂额，面对考试总感觉“我命由天不由

我”.经调查了解,学生普遍反映：(1)公式、定理、公理能背诵默写却不知何时

何处使用；(2)看完题目无法提取有效信息；(3)能接受课堂传授知识却对课后相应练习束手无策.笔者以为,学生存在的三个现象反映了学生在日常的学习中处于浅层学习状，尚未能对课本知识、数学思想方法进行深层次的理解与整合,未能真正意义上提高其数学核心素养.基于以上原因，近年来，笔者在高三复习教学中尝试引导学生深度学习、进行深度教学，通过引导学生观察题目说联想和感受，主抓基础、提炼方法、重视思想的总结和提升，坚持不懈，学生的数学成绩和素养有了明显的提升.

黎加厚教授在国内首次介绍了深度学习的概念，提出深度学习是指在理解的基础上，学习者能够批判地学习新思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并

能够将已有的知识迁移到新的情境中，

做出决策和解决问题的学习.具体在数

学教学中的指导作用,笔者以为是学生

在了解数学的定义和概念前世今生、在

理解它们的内涵与外延基础上，自主提

出已认知的数学知识、思想和方法,并将

其和新知识内容相结合,通过对纷繁的

题干观察分析、抽象联想、具体应用、回

顾反思加深对知识的掌握.

习题是反映学生数学素养的镜子、

是提高数学素养的桥梁.学生通过读

题、审题、联想、类比、归纳、反思，明确

解题的原则，体会到学习知识从浅层次

认识发端到深层次认识昨，充分感受数

学知识、思想、方法、能力、应用和技巧.

下面是“向量”一章小结复习时，由

一道习题发散生成的习题课的教学实

录概况.

人教版A版数学必修4第119页13题

改编题:已知向量a上满足|a|=“|=2,

a"b=2,且(a-c)■(ft-2c)=0,则|D-c|的

最小值为_______.

该题初看很平常，再看似乎有些难

入手，但从不同角度观察、审视、联想、

剖析、探究,发现它涉及了向量的模长

与数量积的运算和几何意义、点与圆的

位置关系、直线与圆的位置关系、两点

间的距离、点到直线的距离、三角函数

的基本关系、向量三角不等式等，还涉

及划归与转化、数学结合、函数等数学

思想与方法，饱含丰富的知识点，具有

积极的训练意义.然而在实际教学中有

些教师不屑一顾,往往就题讲题,忽视

了其内在信息和引导作用，殊为可惜.下

面仅以此题为例,谈谈如何引导学生进

行深入学习,以期同仁不吝指正.

卩对题目的外在浅层认识

认识1：见到|a|=|〃|=2,a%=2,给人

的感觉是向量a上的长度以及它们的夹

角是确定不共线的，由平面向量基本定

理自然想到可以将向量a上表示向量c,

那么问题就迎刃而解了.

认识2：见到已知(a-c)•(ft-2c)=0,

不难联想到向量数量积为零，意味着两

向量互相垂直，而向量a上的长度和夹角

已经确定.为确定向量c的位置，很快就

基金项目:本文系广州教育学会科研课题《构建深度学习课堂培育高中核心素养的教学策略研究》(课题编号：1201930270)成果论文. 作者简介:唐秀农(1981-),本科学历，中学一级教师，主要从事数学教学工作，曾获广州市青年教师解题比赛二等奖.

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有了对已知条件的变形（CT）•|c-yij= 0,从而确定向量c的终点的轨迹是以向

量a和丄&终点所在线段为宜径的圆.

2

认识3（深层）:从所求问题出发宜接把求模的问题转化为求数量积也是

_种常见的思路.由（a-c）•（b-2c）=0得c2=-^-b-c+a-c-1,将其代入|ft-c12=b2-

Qb-c+c2,化简得|ft-c|2=3-■b-c+a-c.

该式子中的变量既有模长，又有夹角，计算难度会增大,往下计算会导致学生半途而废或算错.重新审视题目的条件和所求的问题，从整体上把握该式，联想到向量中的三角不等式，结合已知条件，构造一个能与条件（a-c）•@-2c）=0有关且又能消掉向量c的式子，问题便可得解.

由所求的问题出发,通过“外在认识”将已知条件进行适当变形，寻找其几何意义，由浅到深，为即将实施的解题过程提供了夯实的条件储备—

—万事俱备，只欠东风.

卩对题目的教学分析和引导

教学分析引导1：有了认识1就知道思路之一是将向量a上表7K向量c,若是令会增加向量数量积的运算，自然而然地引导学生建立坐标系解决问题.而在建系写点的坐标过程中，问题“求\b-C I的最小值”可联想到令向量〃的纵坐标比令向量a为0更加容易运算，充分体现了“目标导航”的作用，减轻了计算量,体现了解题的技巧.

解法1：借助“认识1”中得到的思路，不难得到a=(l,VT),ft=(2,0).设c=(x,y),代入(fl-c)•(A-2c)=0，化简得G_L)2+(y_yr『=(二即向量C

的终点的轨迹是以

耳匸为半径的圆.|i^|=v（2-x）24y 的几何意义为点（2,0）到圆上的点的距离，其最小值为圆心到点（2,0）的距离减去半径，即

“坐标法”是解与平面向量基本定

理有关问题的一个通法,有助于减少运

算量.

解法2：同解法1,|ft-c|=V（2-x）2+y2

的几何意义是以点（2,0）为圆心的圆

的半径长.当两圆外切时，半径长最短，

即圆心距离减去半径.卫鼻-上至=

22

2'

以上两种解法均为“坐标法”，此法

把向量问题转化为解析几何问题，既能

复习向量的知识和方法,同时又回顾了

有关圆的知识，实现了一箭双雕，是解

决向量问题的一种通法.

教学分析引导2：由（a-c）-（*-2c）=

0可化简为（c-a）・（c-判=0,向量c的

终点的轨迹是以向量a和丄。的终点所

2

在线段为直径的圆.

解法3：如图1所示，易得ZAOB=y,

BC=l,ot=—b,ACrOB,不妨设ACAD=

2

0,则乙BCD=6,CD=A Csin0=y/~3~sind.

在△BCD中，由余弦定理得BDJBgCD2-

2BC•CDcos0=l+3sin2^-2sin0cos0=

------sin（20+卩）

22

故心5-怕=丄0-2运=

24

，当且仅当sin（2州p）=l时，

取到等号.故其最小值为5S.

A

0C B

图1

教学分析弓I导3：由三角不等式|a|+

\b\>\a+b\（当且仅当“与〃同向时取到

等号），可把I&Y|当成一个整体来处理,

只要将问题中的未知向量c消掉即可，而

向量c的系数是-1,可把题目条件

（〃-2<:）=0变形为（-守+守卜卜令+守）=

0求解.

解法4：叶|+”（令引>

t a c b c

b—c--------------—

3,1

—u---a

224242

当且仅

当—与煜+才+（_令+引同向时成

"送+勺•◊+勺旳得L+

自丄卜牛引j卜扌+牙）+卜牛

守）的几何意义恰好是以（-号■+守）和

卜为邻边的长方形的对角线的长

度，进而得到卜守+守）+（-£+守）=

[a c{b c\b a

\22_\T+T/T_T

，故此有\b-c|>

VT a/T_

2~_2■

这里充分体现了“目标导航，条件

开道”.从中不难得出在处理垂直这个

问题上，建系是一个很好很常用的方法,

同时其几何意义也是一个非常值得研

究利用的一个知识.

卩教学反思

本节课笔者做了一次有意义的实

践探索.深度学习是在思考、理解的基

础上把握知识的本质，能把新旧知识联

系起来，具有整体性、系统性.深度教学

是教师立足教学过程，抓住知识本质,通

过教学活动引导学生持续观察、探究、联

想、理解、建构新的知识体系，促进学生

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