全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案

全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案
一、二次函数
一
(2)
1.如图，已知抛物线 y ax bx c(a 0)的对称轴为直线 x 1,且抛物线与x
轴父
于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中A(1,0), C(0,3).
(2)在抛物线的对称轴 x 1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和 最小，求出
点M 的坐标；
(3)设点p 为抛物线的对称轴 x
1上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P 的
坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为 y
x 2 2x 3 ,直线的解析式为y = x+ 3. (2)
M( 1,2)； (3) P 的坐标为(1, 2)或(1,4)或(1 3
而)或(1 3
折). ，2 ， 2
【解析】
分析：(1)先把点A, C 的坐标分别代入抛物线解析式得到
a 和b, c 的关系式，再根据
抛物线的对称轴方程可得 a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a, b, c 的 值即可得到抛物线解析式；把 B 、C 两点的坐标代入直线 y=mx+n,解方程组求出 m 和n 的
值即可得到直线解析式；
(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线 y=x+3得y 的值，
即可求出点 M 坐标；
(3)设 P(-1, t),又因为 B (-3, 0) , C (0, 3),所以可得 BC 2=18, Pd=(-1+3) 2
+t 2
=4+t 2
, PG= (-1) 2
+ (t-3) 2
=t 2
-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意
t 值即可求
出点P 的坐标.
—
1
2a
a
1
a b c 0,解得：b 2,
c 3
c 3
2 一 _
，抛物线的解析式为 y x 2x 3.
・•・对称轴为x 1 ,且抛物线经过 A 1,0 ,
C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式;
详解：(1)依题意得:
，把B 3,0、C 0,3分别代入直线y mx n
3m n 0
得
，解之得:
n 3
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数 数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很
大，是一道不错的中考 压轴题.
2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经
2
y mx 2mx 3m(m <0)的顶点.
M ,则此时MA MC 的值最小，把x 1代入
M 1,2 .即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时
M 的坐标为 1,2 .
（注：本题只求 M 坐标没说要求证明为何此时
MA MC 的值最小的原因）.
MA MC 的值最小，所以答案未证明
(3)设 P 1,t ,又
••• BC 2 18 , PB 2
t 2 4 t 2, PC 2 t 2 6t 10,
①若点B 为直角顶点,
BC 2
PB 2
PC 2
18
t 2 t 2
6t 10解得:
t 2,
②若点C 为直角顶点,
BC 2 PC 2
PB 2,即: 18 t 2
6t 10
t 2
解得:
若点P 为直角顶点，
3 ,17 3 ------- ，t 2 一
2
PB 2
PC 2
BC 2 ,即:
t 2 t 2 6t 10 18解得:
,17 2
综上所述P 的坐标为 1, 2或 1,4
t . 3 .17 或 1, -------
2 （二次函数和一次函
过点A 、C B 的抛物线的一部分 G 与经过点 闭曲线，我们把这条封
A 、D 、
B 的抛物线的一部分
C 2组合成一条封
闭曲线称为 蛋线”.已知点C 的坐标为（0,
3 一 口……
彳），点M 是抛物线C2：
S A PBC = S\ POC + S\ BOP -S\ BOC =
3、2
27
16
(1)求A 、B 两点的坐标；
(2)蛋线”在第四象限上是否存在一点
面积的最大值；若不存在，请说明理由;
(3)当4BDM 为直角三角形时，求 m 的值.
【答案】(1) A ( —1 , 0)、B (3, 0).
27
(2)存在.S »A PBC 取大值为 ——
16
(3) m g 或m
1时，4BDM 为直角三角形.
【解析】 【分析】
(1)在y mx 2 2mx 3m 中令y=0,即可得到 A 、B 两点的坐标. (2)先用待定系数法得到抛物线
C 1的解析式，由S^ PBC = & POC + S\ BOP -& BOC 得到^PBC 面
积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值.
(3)先表示出 DM 2
, BD 2
, MB 2
,再分两种情况： ①/ BMD=90时；②/ BDM=90时，讨 论即可求得m
的值.
【详解】 解：(1)令 y=0,则 mx 2 2mx 3m 0,
- m< 0, x 2
2x 3 0,解得：X 1
1 , X
2
3 .
• .A (-1,0). B (3, 0). (2)存在.理由如下：
一一 3
1
把C
(o,一)代入可得，a -. 2
2
.. (1)
1 2 C 1的表达式为：y — x1x3,即y —x x
2 2
1 2 3
设 P (p
，=P P 二)，
2 2
P,使得^PBC 的面积最大？若存在，求出 ^PBC
•••设抛物线C 1的表达式为y a x 1 x 3 (a
(3) t 的值为 10或60或空;
3
17 8 符合条件的点F 存在，共有两个
F i
(4,
F 2(2 2A /7, -8).
••• / MBD<90 ,，讨论 / BMD=90 和 / BDM=90 两种情况:
当/BMD=90 时，BM 2+ DM 2
= BD2,即 16m 2
- a — <0, .二当 p 万时, (3)
由 C2可知：B (3, 0), ••BD 2
=9m 2
9, BM 2
=16m 2
27
& PBC 取大值为——
16
D (0, 3m) , M(1, 4m ), 4,
DM 2=m 2
1.
解得：m 1
2
当/ BDM=90 时， 二,m 2
—(舍去).
2
BD 2+ DM 2
= BM 2
,即 9m 2 解得：m 1 1 m 2 1(舍去).
综上所述，m
△ BDM 为直角三角形.
3.如图，在平面直角坐标系中，直线
4
y -x 8与x 轴，y 轴分别交于点A 、B,抛物 3 2
线y ax 4ax c 经过点A 和点B, 每秒1个单位长度的速度向 。

点运动, 度向A 点运动，设运动的时间为 t 秒,
与x 轴的另一个交点为 C,动点D 从点A 出发，以 同时
动点 E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速 0< t<
5.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 (3)当4ADE 为等腰三角形时，求t 的值；
(4)抛物线上是否存在一点 F,使彳导以A 、B 、D 、
△ AOB 相似;
F 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，直接写出 F 点的坐标；若不存在, 说明理由
抛物线的解析式为
y 8;
(2) t 的值为
30 7 50
——或—
—；
(1)由® C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；( △ ADEs 4AOB 和△AEga AOB 即可求出t 的值；(3)过E 作EH ，x 轴于点H,过D 作
8x 8. 3
6t , 25
• .10 2t — , t ——；
5 8
②当AD 为对角线时，则
熏睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定 函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题.
4.如图，抛物线y ax 2
bx 2交x 轴于A ( 1,0) , B(4,0)两点，交y 轴于点
2)利用
DM LAB 于点M 即可求出t 的值；(4)分当 F 的坐标.
AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点
解：(1)A (6,0)
…… 36 a ,B (0,8),依题意知｛
24a c 0
(2)「A (6,0), B (0,8),
①当△ADEs^AOB 时,
②当△AEA4AOB 时,
综上所述，t 的值为
30 - ——或
OA=6, OB=8, AB=10,
•••
AD=t, AE=10-2t,
AD AE . t 10 2t t
30
AO AB ，6 10 ' 11， AE AD 10 2t t ,t
50 AO
AB ，• • 6 10
13 '
50
13 .
(3) ® AD=AE 时,
t=10-2t, t
10
②当AE=DE 时，过 E 作EHL x 轴于点H, 则 AD=2AH,由△AEH^^ABO 得,
3 10 2t
AH= --------- , t
5
6 10 2t -------- ,•1• t
60
一；
17
③ 当AD=DE 时，过 D 作DM LAB 于点M,
则 AE=2AM,由△AMD S ^AOB 得,
3t
AM=—，
5
综上所述，t 的值为—或
60
或
25
17
8
(4)①AD 为边时，则
BF// x 轴，y
yB 8 ,求得x=4, ••F (4, 8);
2、7 ，
-x>0, x 2 2",
2 2： 8
综上所述，符合条件的点
F 存在，共有两个
F I (4, 8) , F 2(2
C,与过
2
1 2
点C 且平行于x 轴的直线交于另一点(x 6)
(-x) 8,点P 是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式及点 D 的坐标；
(2)点E 在x 轴上，若以 A, E, D, P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点
P 的
坐标；
(3)过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q,若将VCPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为
Q .是否存在点P,使Q 恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在,
生姮)，(底,生恒)
2
2
【解析】 【分析】
1)用待定系数法可得出抛物线的解析式
，令y=2可得出点D 的坐标
(2)分两种情况进行讨论，①当AE 为一边时,AE// PD,②当AE 为对角线时，根据平行四边形对 顶点
到另一条对角线距离相等，求解点P 坐标
...................... .................. 1 2 3 ..... (3)结合图形可判断出点 P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为(a,
-a 2 -a 2),分情况讨 2 2
论，①当P 点在y 轴右侧时，②当P 点在y 轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质 进行求解即可
……
. 1 2 3 _ ___
【答案】（1） y -x -x 2；点 D 坐标为（3,2） ；
（2） R
（0,2）；
皿4-
2
2）； P 3（3
41,-2）；
2
(3)满足条件的点 P 有两个，其坐标分别为：(
说明理由.
解：(1) 抛物线 2
y ax
bx 2 经过A（ 1,0）, B （4Q）两点, 16a 4b 2
，抛物线解析式为: 2;
当y 2时, 1
:
-x
3 _ _ .一一................ .......................
—x 2 2,解得：X I 3, x2 0 (舍)，即：点D坐标为
(3,2).
(2) A, E 两点都在x 轴上，・•・ AE 有两种可能:
①当AE 为一边时，AE // PD ,此时点P 与点C 重合(如图1) , R(0, 2),
②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE (即x 轴)的距离相等,
解得：X 1 F ，X 2
2
2
综上所述：P i (0,2)； P 2(3+" 2); P 3(
3
-y 41
, 2).
(3)存在满足条件的点 P ,显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ,
1 c 3 点P 的坐标为(a ,
—a 2
-a 2 ), 2 2
CQ x p a, .
1 2 3 1 2 3
PQ
y c y p 2 ( — a —a 2) - a —a c p 2 2 2
2,
把y
2代入抛物线的解析式，得:
I'?
2,
2)，(手
2)，
P 点的纵坐标为 2 (如图2),
又.CQO FQ P 180 CQP 180 PQC 90 CQ O OCQ 90 FQ P OCQ ,
又COQ QFP 90 , VCOQ : VQ FP ,
Q'C CO Q'P QF，
. QC CQ a, CO 2,
1 2
Q P PQ -a2
1 2 3
a a
2 2 ，
Q'F
Q'F 3
,
OQ OF Q F a (a 3) 3, CQ = CQ= JCO2 OQ'2V22 32而，
即a 照, •••点P的坐
标为
2
CQ
PQ = 2- 2)=
又.CQO FQ CQ P PQC CQ O OCQ 90
FQ P OCQ COQ Q FP 90
VCOQ : VQ FP Q'C
CO
Q'P
Q'F，
1 2 3
. QC CQ a, CO 2, QP PQ -a -a, 2 2
1 2 3
a 2a 2a，Q'F 3 a,
"2 Q'F
• . OQ QF OF 3 a ( a) 3,
C Q = CQ = ^CO2 OQ'2收32而,
此时a网点P的坐标为(尺，£2”.
综上所述，满足条件的点P有两个，其坐标分别为：( 尺，9严),(J13,
913),
2
【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大
5.如图1,在平面直角坐标系中，直线AB: y=kx+b (kv 0, b>0),与x轴交于点A、
与y轴交于点B,直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D.若直线CD的解析式为y=-
1
—(x+b),则称直线CD为直线AB的“姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的
k
母线”.
(1)若直线AB的解析式为：y=- 3x+6,求AB的“姊线"CD的解析式为： (直接填空)；
1 2 .. ..
(2)若直线AB的母线解析式为：y — x x 4,求AB的姊线CD的解析式；
2
(3)如图2,在(2)的条件下，点P为第二象限“母线”上的动点，连接OP,交“姊线"CD 于点Q,设点P的横坐标为m, PQ与OQ的比值为y,求y与m的函数关系式，并求y的最大值；
(4)如图3,若AB的解析式为：y=mx+3 (m<0) , AB的姊线”为CD,点G为AB的中点，点H为CD 的中点，连接OH,若GH= J5,请直接写出AB的“母线”的函数解析式. Array
图1 图2 国3
……，八1，~
【答案】（1） y -（x 6）；（2）（2, 0）、（0,
4）、（- 4, 0）；（3）当m=-
3
3, y 最大值为 33; (4) y=x2- 2x - 3. 2 8
【解析】 【分析】
(1)由k, b 的值以及“姊线”的定义即可求解；
(2)令x= 0,得y 值，令y=0,得x 值，即可求得点 A 、B 、C 的坐标，从而求得直线 的表达式； (3)设点P 的横坐标为 m,则点P (m, n) , n=- -m 2
- m+4,
2
从而求得直线 OP 的表达式，将直线 OP 和CD 表达式联立并解得点 Q 坐标， 由此求得 叫,从而求得 y= -
1
m 2
- - m+3,故当 y
Q 2
2
1
. 一
(4)由直线AB 的解析式可得 AB 的姊线” CD 勺表达式y=- — (x+3),令x=0,得 当m=— 3, y 最大值为33；
CD m= - 3, y 最大值为33;
值，令y=0,得x 值，可得点c 由勾股定理得： 【详解】
m 值，即可求得点
k= - 3, b = 6,
则答案为: y= - (x+6);
3
(2)令 x= 0,则 y=4,令 y=0, 点A 、B 、C 的坐标分别为(2,0) 则直线CD 的表达式为:
(3)设点P 的横坐标为
则直线OP 的表达式为:
m
D 的坐标，由此可得点 H 坐标，同理可得点 G 坐标, A 、R C 的坐标，从而得到 母线”函数的表达式.
则x= 2或-4,
、(0, 4)、(
1 / .八 1 一
y= 一( x+4) = - x+2;
2
2
m,则点P
(m, n) ， n =-
4, 0),
1m 2
- m+4, 2
n
y= 1 x,
m
将直线OP 和CD 表达式联立得
n
一 x
m
1 -x 解得：点Q ( 一2^m -----
m 3m 8 2
m
-2
m
2m 3m
8)
则也
y Q
—m 2-
- m+4 ,
2 2
PQ y=
OQ
y p y Q
y Q
也仕 y Q
3
一 m+3,
2
2 8
1 ,
（4）直线CD的表达式为：y= - —（x+3）, m
，一3 ，一
令x= 0,则y=一—，令y= 0,则x= — 3,
m
故点C D 的坐标为（-3, 0）、（0,-—）,则点H -,--）,
m 2 2m
...... 3 3
同理可得：点G （-——，一），
2m 2
则GH2= （3 + J_）2+（9 — J_）2= （ 75）2,
2 2m 2 2m
解得：m=- 3 （正值已舍去），
则点A、日C的坐标分别为（1,0）、（0, 3）、（- 3, 0）,
则母线”函数的表达式为：y=a （x-1）（x+3） = a （x2-2x-3）,
即：-3a= - 3,解得：a= 1,
故：母线”函数的表达式为：y=x2-2x-3.
【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函
数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键^
6.温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量
x （2双w 10单位：吨）之间的函数关系如图所示.
（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多
少万元？（毛利润=销售总收入-进价总成本-包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨.深加工费用y （单位：万元）与加工数量x （单位：吨）之间的函数关系是y= — x+3
2
（2虫w 10 .
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在_________ 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大
些？
F (月元)
【答案】(1)杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；(2)当x = 时，此时W最大值=40万元；(3)① 该公司买入杨梅3吨；②3 <x<8
【解析】
【分析】
(1)设其解析式为y=kx+b,由图象经过点(2, 12) , ( 8, 9)两点，得方程组，即可得到结论；
(2)根据题意得，w = ( y-4) x= (—— x+13-4) x= - - x2+9x,根据二次函数的性质
2
2
即可得到结论；
(3)① 根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论.
【详解】
(1)由图象可知，y是关于x的一次函数.
二•设其解析式为y=kx+b,
;图象经过点(2, 12) , ( 8, 9)两点，
2k b 12
8kb 9
1
解得k= - - , b=13,
2
1
，一次函数的解析式为y= - — x+13,
2
当x= 6 时，y= 10,
答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；
(2)根据题意得，w= (y-4) x= (—— x+13 - 4) x= - — x2+9x,
2 2
当x=-2-=9时，x= 9不在取值范围内，
2a
1 2
，当x=8时，此时W最大值=——x2+9x=40万兀;
2
(3)① 由题意得：—-x2+9x= 9x-(1x+3)
2 2 解得x= - 2 (舍去)，x= 3,
答该公司买入杨梅 3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3vxW8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润 大些. 故答案为：3<x<8 【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润 三者之间的关系.
7. (10分)(2015?佛山)如图，一小球从斜坡 。

点处抛出，球的抛出路线可以用二次函 数y=- x 2
+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y=^x 刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标；
(2)小球的落点是 A,求点A 的坐标；
(3)连接抛物线的最高点 P 与点。

、A 得APOA,求4POA 的面积；
(4)在OA 上方的抛物线上存在一点 M (M 与P 不重合)，4MOA 的面积等于△ POA 的
试题分析：(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点
P 的坐标；
(2)联立两解析式，可求出交点 A 的坐标；
试题解析：(1)由题意得，y=-x 2
+4x=- (x-2) 2+4, 故二次函数图象的最高点 P 的坐标为(
2, 4);
(3)
21
3 15
(4)门产
(3)作PQ±x 轴于点Q, AB^x 轴于点 计算即可求解；
(4)过P 作0A 的平行线，交抛物线于点 相
等，根据同底等高的两个三角形面积相等,
1
—
B.根据 'POA =S A POQ +S △梯形PQBA- S\ BOA,代入数值
M, 可得
代入, 物线的解析式联立，得到方程组
1 y = 2# + 3
夕=-x 2
+ 4x 连结OM 、AM,由于两平行线之间的距离
△ MOA 的面积等于 4POA 的面积.设直
求出直线 PM 的解析式为y=x+3.再与抛
,解方程组即可求出点 M 的坐标. 面积.请直接写出点 M 的坐标.
【解
(2)联立两解析式可得：
7
口 E 匕口
(*+4) X(?-2)-y)?
=4+ 21
=；
(4)过P 作OA 的平行线，交抛物线于点 M,连结OM 、AM,则△ MOA 的面积等于
△ POA 的面积.
设直线PM 的解析式为y="x+b,
•••P 的坐标为(2,4),
1
.•-4=='乂 2+b 解得 b=3,
・•・直线PM 的解析式为 1
y= x+3.
1
“ --x 2
+
2
15
\x-2
卜=斗
1
7 17
故可得点A 的坐标为(飞
AB± x 轴于点B.
X 2
遍
+c
69
4
，点M 的坐标为(
,解得
3
8.在平面直角坐标系 xOy 中(如图).已知抛物线 y=-万x 2+bx+c 经过点A (- 1, 0)和
点B (0, 5),顶点为C,点D 在其对称轴上且位于点 C 下方，将线段 DC 绕点D 按顺时
2
针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点 P 处.
(1)求这条抛物线的表达式； (2)求线段CD 的长； (3)将抛物线平移，使其顶点
C 移到原点。

的位置，这时点 P 落在点E 的位置，如果点
M 在y 轴上，且以0、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为 8,求点M 的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=- -x 2
+2x+- ； (2)线段CD 的长为2; (3) M 点的坐
2
2
标为(0, 7)或(0, - 7) 【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)利用配方法得到 y=- - (x-2) 2+9
,则根据二次函数的性质得到
C 点坐标和抛物
2 2
线的对称轴为直线 x=2,如图，设CD=t,则D (2,
9
-t),根据旋转性质得 /PDC=90,
2
9
-t),然后把P (2+t, 9
- t)代入y=- 1x 2
+2x+勺得到关于
t
DP=DC=1贝(J P (2+t,
考点：二次函数的综合题
2 2 2 2 的方程，从而解方程可得到CD的长;
9 (3) P点坐标为(4,一)
2 ,D点坐标为(2, -),利用抛物线的平移规律确定E点坐标
2
为(2, - 2),设M (0, m),当m>0时，利用梯形面积公式得到 1? (m+- +2) ?2=8 2 2
当m<0时，利用梯形面积公式得到 -? ( - m+5+2) ?2=8,然后分别解方程求出 m 即可 2 2
M 点坐标.
1)把 A (― 1, 0)和点 B (0, 5)代入 y=- 1x 2
+bx+c 得
2
2
c 0 b 2
,解得 5，
c - 2
，抛物线解析式为y=- 1 x 2
+2x+ 5
;
2
2
(2) --- y=- 1 (x- 2) 2
+—,
2
2
•.C (2, 9
),抛物线的对称轴为直线
x=2,
2
9
如图，设 CD=t,则 D (2, - -t),
2
•线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转 90。

，点C 落在抛物线上的点 P 处，
/ PDC=90,° DP=DC=t, …，9
• .P (2+t,——t),
2 把 P (2+t, - - t)代入 y= - —x 2
+2x+—得-—(2+t) 2+2 (2+t) +— =— - t,
2
2 2 2 2 2
整理得t 2
- 2t=0 ,解得ti=0 (舍去)，t2=2, ，线段CD 的长为2；
(3) P 点坐标为(4, — ) , D 点坐标为(2,也)，
2
2
•.・抛物线平移，使其顶点 C (2, 9)移到原点。

的位置，
2
...... . ..... .... ... 9 人一、 ，抛物线向左平移 2个单位，向下平移 2个单位，
而P 点(4,—)向左平移2个单位，向下平移 2个单位彳#到点E,
2 2
・•・E 点坐标为(2, -2),
设 M (0, m),
当m>0时，—? ( m+ — +2) ?2=8,解得m=~ ,此时M 点坐标为(0,2)；
2 2
2 2
当m<0时，1? （- m+5+2） ?2=8,解得m= - 7
,此时M 点坐标为（0,-工）；
2
2
2
2
综上所述，M 点的坐标为（0, 7）或（0, - 7）.
得到对应的 1 b 2 5 c -
2
x=2
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2, 0）,且经过点（4, 1）,
1 ....... ..................
如图，直线y= -x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1.
4
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
（3）知F（x0, y0）为平面内一定点，M （m, n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1x2- x+1. （2）点P的坐标为（竺，-1） . （3）413 定点F的坐标为（2, 1）.
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2, 0）,可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2,由抛物线过点（4, 1）,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点
B关于直线l的对称点B；连接AB'交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B'的坐标，根据点A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB'的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M 到直线l 的距离与点 M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出(1— - - -y o) m 2
+ (2-2x o +2y o) m+x o 2
+y 02
-2y o -3=0,由m 的任意性可得出关 2 2 于x o 、y 0的方程组，解之即可求出顶点
详解：（1） ;抛物线的顶点坐标为（ 设抛物线的解析式为 y=a （x-2） 2
. ;该抛物线经过点（4,
… … 1 1- 1=4a,解得：a=—, 4
y= — (x-2) 2= lx 2
-x+1. 4 4
.・•点B 的坐标为（4, -3）.
设直线AB'的解析式为y=kx+b （kwQ ,
(1, 1)、B' (4, -3)代入 y=kx+b,得:
4
,1
b=一 …口
4 ,解得: b= 3
•・・直线AB 的解析式为y=-13x+4
, 12
3
当y=-1时，有-艺X+Ll,
12 3
28 解得：x= 一 ,
13
F 的坐标. 2, 0），
，抛物线的解析式为 （2）联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组，得:
_1 y -- x 4
—1
2
y --- x
4
x1=1 1
y 『
x 2=4 y2=1
，点A 的坐标为（1,
1）
B 的坐标为（4, 1）.
B’, 连接AB'交直线l 于点P,此时PA+PB 取得最小值（如图
1 13 k=
一 12
,
-4
3
4k •
・•点 B (4, 1)，直线 l 为 y=-1, 4
作点B 关于直线l 的对称点 所示）.
•••点P的坐标为(竺，-1) .
13
(3)二•点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等, (m-x o) 2+ (n-y o) 2= (n+1) 2,
m2-2x o m+x o2-2y o n+y o2=2n+1.
• M (m, n)为抛物线上一动点，
n= — m2-m+1 ,
4
-1•m2-2x o m+x02-2y0 (工m2-m+1) +y o2=2 (工m2-m+1) +1, 4 4
整理得：(1— -— - y o) m2+ (2-2x o+2y o) m+x o2+y o2-2y o-3=O.
2 2
. m为任意值，
, 1 1 C
1y o=0
2 2
2 2x o 2y o=O
x。

2y 2y o 3= 0
x0=2 yo=1
，定点F的坐标为(2, 1).
点睛：本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的
坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：( 1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；( 2)利用两点之间线段最短找出点P的位置；
(3)根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x。

、y o的方程组.
10. (2017南宁，第26题，10分)如图，已知抛物线y ax2 2j3ax 9a与坐标轴交于A, B, C三点，其中C (0, 3) , /BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC, AB分别交于点M, N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若4PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
【答案】（1） a= 1, A （- J3, 0）,抛物线的对称轴为 x=73; （2）点P 的坐标为
3
（J3, 0）或（J 3, — 4） ； （ 3） Y3.
2
【解析】 试题分析：（1）由点C 的坐标为（0, 3）,可知-9a=3,故此可求得a 的值，然后令y=0 得到关于x 的方程，解关于 x 的方程可得到点 A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性 可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得 /CAO=60°,依据AE 为/ BAC 的角平分线可求得 Z DAO=30 ;然后利用特殊锐角三角函数值可求得
OD=1,则可得到点 D 的坐标.设点P 的 坐标为（、/3, a ） .依据两点的距离公式可求得
AD 、AP 、DP 的长，然后分为 AD=PA 、
AD=DP 、AP=DP 三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN 的解析式为y=kx+1,接下来求得点 M 和点N 的横坐标，于是可得到 AN 的长，然后
利用特殊锐角三角函数值可求得 AM 的长，最后将 AM 和AN 的长代入化简即
可.
、…一 八一一
八一一
1 试题解析：（1） - C （0, 3） ,
-9a=3,解得：a= ,
3
令 y=0 得：ax 2
2j3ax 9a 0, 「awQ .. x 2
2，3x 9 0,解得：x=-J3 或
x=3j3, 点A 的坐标为（-J 3,
0） , B
（353，0）,，抛物线的对称轴为x= J 3 •
（2） -. OA=73 , OC=3, ，tan/CAO=有，，/CAO=60°.
设点P 的坐标为（J 3, a ）
依据两点间的距离公式可知： AD 2=4, AP 2=12+a 2
, DP 2=3+ （a- 1） 2
. 当AD=PA 时，4=12+a
2
,方程无解.
当AD=DP 时，4=3+ （a-1） 2,解得a=0或a=2 （舍去），.••点P 的坐标为（J 3 , 0） 当
AP=DP 时，12+a 2
=3+ （a-1） 2
,解得 a=-4, .••点 P 的坐标为（J 3 , — 4）.
综上所述，点P 的坐标为（73 , 0）或（J 3 , - 4）.
（3）设直线AC 的解析式为y=mx+3,将点A 的坐标代入得： 73m 3 0,解得: m 二，3,，直
线AC 的解析式为y J3x 3.
设直线MN 的解析式为y=kx+1.
AM
均为定值，并求出该定值.
AN
••.AE 为/BAC 的平分线, / DAO=30 ； ，D/O=1,
3
，点D 的坐标为（0, 1）
（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，
把y=0代入y=kx+l得：kx+l=0,解得：x= 1 •.点N的坐标为（—,0）,
k k
.•.AN= 173 = & 1 . k k
2 2
将y J3x 3与y=kx+1联立解得：x=........ —,，点M的横坐标为------- -.
k .3 k .3
2
过点M作MG^x轴，垂足为G.则AG= ----------- 尸J3.
k 、3
4 -二2 3k 2
••• / MAG=60 / AGM=90 . . AM=2AG=----- 产2d3 ="一,
k .3 k .3
.± 1 = k 73 k = 3k 73 二向73k 1） =V3
AM AN 2 ,3k 2 3k 1 2 3k 2 2（、3k 1） 2
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函
数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐
标是解答问题（3）的关键.
11.如图，直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y= - x2+bx+c经过
B, C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒J2个单位长度的速度在线段BC上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.
（1）求抛物线的解析式;
MQ 1 一（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当———时,
NQ 2
求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D,当4PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.
1
【答案】(1) y=- x 2+3x+4; (2) t 的值为一；(3)当4PDM 是等腰二角形时，t = 1或
2
t= 72 -1 .
【解析】 【分析】
(1)求直线y=-x+4与x 轴交点B,与y 轴交点C,用待定系数法即求得抛物线解析式.
(2)根据点B 、C 坐标求得/OBC=45,又P 已x 轴于点E,得到4PEB 是等腰直角三角 形，由PB &t 求
得BE=PE=t 即可用t 表示各线段，得到点 M 的横坐标，进而用 m 表 示点M 纵坐标，求得 MP 的长.根据MP // CN 可证VMPQ S VNCQ ,故有
MP MQ 1 , e »入
一…，，
…
——=——=—,把用t 表布的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到 t 的值.
NC NQ 2
(3)因为不确定等腰 4PDM 的底和腰，故需分 3种情况讨论：① 若MD=MP,则
/ MDP=Z MPD=45 °,故有 / DMP=90 ；不合题意； ②若 DM=DP,贝U / DMP=Z MPD=45 ； 进而
得AE=ME,把含t 的式子代入并解方程即可； ③ 若MP=DP,则/PMD=/PDM,由对
顶角相等和两直线平行内错角相等可得
ZCFD =Z PMD =/PDM=/CDF 进而得CF=CD 用t
表示M 的坐标，求直线 AM 解析式，求得 AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的 长.把直线
AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得 x 的值即为点D 横坐标.过D 作y 轴 垂线段DG,得等腰直角 4CDG,用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长.把含t 的 式子代入CF =CD 解方程即得到t 的值.
【详解】
(1)直线 y=-x+4 中，当 x=0 时，y= 4 .•.C (0, 4)
当 y= - x+4= 0 时，解得：x= 4 .•.B (4, 0) ,「抛物线y=-x 2+bx+c 经过B, C 两点
•••抛物线解析式为 y= - x 2+3x+4
(2) ••• B (4, 0) , C (0, 4) , /BOO 90° .•.OB=OC ••• / OBO / OCB= 45 ・ ME^x 轴于点 E, PB= J 2 t / BEP= 90
.1. x M = x P = OE=OB — BE=4 t, y P = PE = t
16 4b c 0 0 0 c 4
解得:
・•.R 「BEP 中，sin PE PBE =—— PB ,2
2 BE= PE =
PB=t ,
丁点M在抛物线上 , 、2 _ , 、 2 _
Y M=- (4 t) 34 t) 4= - t 5t,
___ ，2 ,，
MP= Y M-Y P= ~ t 4t ,
.「PN^y轴于点N
/ PNO= / NOE= / PEO= 90 °
，四边形ONPE是矩形
.•.ON= PE= t
• .NC=OC- ON=4- t
. MP // CN
・.△MPQ S^NCQ
MP MQ 1
-~--一
NC NQ 2
t2 4t 1
4 t 2
…r 1 . ...... 解得：t i= t2=4 (点P不与点C重合，故舍去)
2
1
•1- t的值为—
2
(3) ••• Z PEEJ= 90°, BE= PE
/BPE= / PBE= 45 °
/MPD= / BPE= 45 °
①若MD = MP ,则/ MDP= / MPD= 45 °
/DMP= 90 °,即DM // x轴，与题意矛盾
②若DM = DP,贝U / DMP= / MPD=45°
••• / AEM=90 °
.•.AE= ME
y = — x2+3x+4= 0 时，解得：X1 = — 1, x2 = 4 •.A (-1, 0)
••・由(2)得，XM =4- t, ME = yM= - t2+5t
「.AE=4—t— ( — 1) = 5 —t
•- 5 - t = - t2+5t
解得：t1=1, t2=5 (0<t<4,舍去)
③若MP= DP,贝U / PMD= / PDM
如图，记 AM 与y 轴交点为F,过点D 作DG,y 轴于点G
/ CFD= / PMD= / PDM= / CDF
，CF= CD
.•.F (0, t)
.•.CF= OC- OF= 4- t
D DG= x D =
CD =、
2DG 「24 t
2 4 t •・华 t= ------
t 1
解得：t= .21
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形 的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质 作为列方程的依据.
2
x nx n, x n
①点P 4,b 在此函数图象上，求 b 的值; ②求此函数的最大值.
(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为 A 2,2、B 4,2 ,当此函数的图象与线段
AB 只有一个交点时，直接写出
n 的取值范围.
(3)当此函数图象上有 4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.
9 45
18 8
【答案】(1)①b -②一；(2) — n 4,2 n —时，图象与线段 AB 只有
2 8 5 3
/ CGD= 90 ； / DCG= 45
. A ( — 1, 0) , M
(4 -t, - t 2
+5t) ,设直线AM 解析式为y= ax+m ・・・直线AM:
y= tx t 2 5t 解得:
tx+t = — x+4, 解得:
综上所述，当4PDM 是等腰三角形时,
t=1 或1=岳 1 •
12.已知函数y
(1)当 n 5,
n
-,x n 2
(n 为常数)
个交点；（3）函数图象上有 4个点到X 轴的距离等于4时，n 8或n — 4.
2
n 2, n
K
9
• ・ b —;
2
②当x> 5时，当
(5)
当x 5时，当x —时有最大值为 2
45
.•・函数的最大值为安； 8 ⑵将点
4,2
代入y x 2 nx
18
一, 5
n 4时，图象与线段AB 只有一个交点;
(1)
①将P 4,b 代入y
1x 2 2
5 5」
-x 一 ；②当x> 5时，当
2 2 5时有最大值为5；
一 ， 5
5时，当x —时有最大值为
2
45 ...... . 45 ;故函数的最大值为 8
45 一；
8 (2) 将点4,2代入y
nx n 中, 得到
18
5
4时，图象与线段
AB 只有一个交点；将点
2,2 ）代入y
nx
n ， r ，
一中，得到
2
所以2
8
时图象与线段 AB 只有一个交点;
3
(3)当
n 时,
4
,得至ij n 一， n 一，
8;当x 一时, 2
4,得到n
31
一,当
x n
时，y 【详解】
解：（1）当
2
x
5时,
5x
y 1 2 -x
2
①将P 4,b 代入
5时有最大值为5;
n 中,
将点2,2代入y x 2
nx n 中, ••• n 2 ,
将点
2,2
代入y
—X2
— X n 中, 2 2 2
2 n 8
时图象与线段 AB 只有一个交点；
3
,、，一… 18 - 8
综上所述：一 n 4,2 n —时，图象与线段AB 只有一个交点; 5 3
(3)当 X n 时，y -n 2 -n 2 - n, 2 2 2 2
8;
n i x 一时,
2
31 2，
n 时,
4;
考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键
13.如图，已知抛物线经过点 A ( - 1 , 0) , B (4, 0) , C (0, 2)三点，点 D 与点C 关 于x 轴
对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0),过点P 做x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q,交直线BD 于点M .
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
一―
1
(2)已知点F (0, 3),当点P 在x 轴上运动时，试求 m 为何值时，四边形 DMQF 是平 行四边形？ (3)点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点 Q,使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与 △ BOD 相似？
若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
4, 二•函数图象上有
4个点到X 轴的距离等于 4时，n 31
8或 n — 4 .
2
【答案】(1) y=- -X2+-X+2； (2) m=-1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；2 2 (3)点Q的坐标为(3, 2)或(-1, 0)时，以点R Q、M为顶点的三角形与^BOD相
似.
【解析】
分析：(1)待定系数法求解可得；
(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=l x-2,则Q (m, -- m2+- m+2) . M
2 2 2
(m, 1
m-2),由QM//DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的2
方程，解之可得；
(3)易知/ODB=/ QMB,故分① /DOB=/ MBQ=90 ,利用△DOB^^MBQ 得
- 1
DO MB 1 『BM BP
————-,再证△MBQs^BPQ得————,即2
OB BQ 2 BQ PQ
即可得此时m的值；②Z BQM=90 ,此时点Q与点A重合，△ BOg △ BQM ,易得点Q
坐标.
详解：(1)由抛物线过点 A (-1, 0)、B (4, 0)可设解析式为y=a (x+1) ( x-4), 将点C (0, 2)代入，得：-4a=2,
(1)
解得：a=——,
2
则抛物线解析式为y=」(x+1) (x-4) =--
x2+3-x+2-
2 2 2' (2)由题意知点D坐标为(0, -2),
设直线BD解析式为y=kx+b,
将B (4, 0)、D (0,-2)代入，得：
k， 2 ,
b= 2
4k b= 0
b= 2
・•・直线BD 解析式为y=1x-2,
2
1. Q (m, -- — m 2
+ — m+2)、M 2
2(m, 2m-2),
2
则 QM=- - m 2
+ — m+2- 2
2
(—m-2) =—— m 2
+m+4 ,
2 2
•. F (0, 1
)、D (0,
2
5 .•.DF=-,
2
1. QM // DF,
当—-m 2
+m+4=—时,
2 2
四边形DMQF 是平行四边形,
1. QM // DF, / ODB=Z QMB,
分以下两种情况：
① 当/DOB=/ MBQ=90 时，△DOBs^MBQ, 皿 DO MB 2 1 贝 u ——-=,
OB BQ 4 2
••• / MBQ=90 °, ••• / MBP+Z ••• / MPB=Z
PBQ=90 ,
°
BPQ=90 ,••• / MBP+Z / BMP=Z BMP=90 ；
PBQ V
D
M, 解得：m=-1 (舍)或m=3,
即m=3时，四边形 DMQF 是平行四边形;
(3)如图所示：
••.△MBQ^ABPQ,
1 4 m
BM BP 口一 ------------------------- ---- ----- ，即 2 1 2 3 小， BQ PQ — m — m 2
2 2
解得：m i =3、m 2=4,
当m=4时，点P 、Q 、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去，
，m=3,点Q 的坐标为(3, 2)；
② 当/BQM=90时，此时点 Q 与点A 重合，△BO2 4BQM , 此时m=-1，点Q 的坐标为(-1,0);
综上，点Q 的坐标为(3, 2)或(-1, 0)时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与 ABOD 相 似. 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、 平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.
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14.已知抛物线y — x —x 的图象如图所不： 2 2
(1)将该抛物线向上平移 2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C,则平移后 的解析式为 (2)判断△ ABC 的形状，并说明理由.
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点 P,使彳导以A 、C P 为顶点的三角形是等腰三角形?
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【答案】(1) y -x —x 2; (2) 4ABC 是直角三角形；(3)存在,
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(1)根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式； (2)根据自变量与函数值的对应关系，可得
A, B, C 的坐标，根据勾股定理及逆定理,
可得答案；
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若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.。