人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①③ 2．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（ ） A ．30尺 B ．32尺 C ．34尺 D ．36尺 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．[3,17]
B ．[2,3]
C ．[6,22]
D ．[17,5] 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是
（ ）
A ．10
B ．105+
C ．1625+
D ．135+5．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（ ）
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β
C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
6．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面1A DM
的距离为（ ）
A ．6a
B ．6a
C ．2a
D ．12
a 7．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（ ）
A ．a
B ．2a
C 2a
D ．22
a 8．3P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为（ ）
A ．
73 B 287 C 1919 D ．193
π 9．已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，且球O 为三棱锥A BCD -的外接球，点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点，过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω，则Ω的取值范围为（ ）
A ．π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：
①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；
②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为
23π；
④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为622+. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）
A 25
B ．455
C 5
D ．2513．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（ ）
A ．若l β⊥，则αβ⊥
B ．若l m ⊥，则αβ⊥
C ．若αβ⊥，则l m ⊥
D ．若//αβ，则//l m 14．αβ、是两个不同的平面，m
n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、解答题
15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．
AD平面EMN；
（1）求证：1//
AD与BE所成角的余弦值．
（2）求异面直线1
16．如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AE＝EB＝BC＝2，AD⊥平面ABE，且CE上的点F满足BF⊥平面ACE.
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求三棱锥C-AEB的体积.
17．如图甲，平面四边形ABCD中，已知45
∠=，90︒
A︒
∠=
∠=，
ADC︒
C，105 ==，现将四边形ABCD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BDC (如图乙)，设2
AB BD
点E，F分别是棱AC，AD的中点.
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求三棱锥A BEF -的体积.
18．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．
（1）求证：DE ⊥面PEA ；
（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为
3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．
19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.
（1）证明：1//BD 平面PAC ；
（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =6BC =．
（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值． 21．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C
（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；
（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，
（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；
22．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．
（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．
（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 23．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，,2,2PA AD AB AD ===.
（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；
（2）求三棱锥B MNC -的高.
24．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．
（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ；
（2）求二面角1C BD C --的正切值．
25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．
（1）求证：D 为BC 的中点;
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求证：1AC D ∆为直角三角形.
26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．
求证：（1）BF //平面PAD
（2）平面BEF ⊥平面PCD
参考答案
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．
【详解】
解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；
对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误， 对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，
对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，
综上可得：正确的是①③，
故选：D ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．C
解析：C
【分析】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.
【详解】
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示
矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺， 所以葛藤长2222301634AC AD AB =
+=+=尺.
故选：C .
【点睛】
本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．C
解析：C
【分析】
首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．
【详解】
如图所示：，
取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．
由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．
即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ． 在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，
所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，
故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．
故选：C ．
【点睛】 本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
4．B
解析：B
【分析】
由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示
2211125AD A D ==+=
∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.
5．B
解析：B
【分析】
根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．
【详解】
若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；
若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；
若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错； 若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错． 故选：B ．
【点睛】
本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．
6．A
解析：A 【分析】
根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解. 【详解】
画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ， 在△1A DM 中115
,2,2
A M DM a A D a ==
= 1A ∴到DM 的距离为3a
则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即11113
232
32
2
a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得
6
h a =
， 故选:A.
【点睛】
本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.
7．D
解析：D 【分析】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ，
得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出11222
HI CD a == 【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，
1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，
11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，
又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上， 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ， 112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
a ． 故选：D ．
【点睛】
本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题.
8．B
解析：B 【分析】
根据三棱锥的体积求出S △ABC 33
，在三角形ABC 中，根据余弦定理和正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r 的最小值，从而可求出外接球半径的最小值和外接球体积的最小值. 【详解】
设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b 313×S △ABC ×2，解得S △ABC 33. 因为∠ABC ＝120°，S △ABC 331
2ac sin 120°，所以ac ＝6， 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min ＝2.
设△ABC 外接圆的半径为r ，则sin120
b
＝2r (b 最小，则外接圆半径最小)，故
3232
＝2r min ，所以r min ＝6.
如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，D 为PA 的中点，R 为球的半径，连接O 1A ，O 1O ，OA ，OD ，PO ，易得OO 1＝1，R 2＝r 2＋OO ＝r 2＋1，当r min ＝6时，2
min R ＝6＋1＝7，R min ＝7，
故球O 体积的最小值为43π3
min R ＝437)3287. 故选：B 【点睛】
本题考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，属于中档题.
9．B
解析：B 【分析】
求出三棱锥A BCD -的外接球半径R ，可知截面面积的最大值为2πR ，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM ，截面圆的半径的最小值22R OM -，进而可求出截面面积的最小值. 【详解】
三棱锥A BCD -是正四面体，棱长为2，将三棱锥A BCD -放置于正方体中， 可得正方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球. 因为三棱锥A BCD -的棱长为22， 可得外接球直径22226R =
++=6
R =
， 故截面面积的最大值为2
2
63πππ2R ==⎝⎭
. 因为M 是BD 上的点，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小， 此时球心O 到截面的距离为OM ，△OBD 为等腰三角形， 过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，
2
22662
,122OD OH OD HD ⎛⎫=
=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 得2
2
2
113
244
OM OH HM =+=
+=， 则所得截面半径的最小值为22633444
R OM -=-=， 所以截面面积的最小值为233π
π(
)44
=
. 故Ω的取值范围为3π3π,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：B. 【点睛】
外接球问题与截面问题是近年来的热点问题，平常学习中要多积累，本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】
对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误； 对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误； 对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；
对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.
故选：C . 【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解． 【详解】
作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．
对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以
2PA PB PC ===
①正确；
对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以
2cos 222AB PAB PA ⎛∠=
= ⎝⎭
， 即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭，②正确； 对于③，因为DP DA DB DC ===， 所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ， 半径为1，其体积为
43
π
，③不正确； 对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以2BC =
将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上， 则DE BE +的最小值为线段BD 的长，
在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=， 根据余弦定理可得62
21221cos1052
BD =+-⨯⨯⨯=
， ④正确． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
12．C
解析：C 【分析】
取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，
1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段
CF ，找到1C P 的最大值即可得解.
取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、
1D C ，如图：
因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以11B F BF ==,2DO BO OC ===
111
22D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，
所以22116OD OD DD =+=
223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，
所以22211OD OF D F +=，222
11OD OC D C +=，
所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥， 由OC
OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，
所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ， 又221111152C F B C B F C C =
+=>=,
所以11D C P △面积的最大值11111
25522
S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.
13．A
解析：A 【分析】
利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．
由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知： 在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确； 在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；
在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；
在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故
D 错误．
故选：A ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．B
解析：B 【分析】
分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假. 【详解】
若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④； 同理①②④不能推出③；
若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；
若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即
m n ⊥，
所以②③④能够推出①. 所以一共两个命题正确. 故选：B 【点睛】
此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.
二、解答题
15．（1）证明见解析（2）85
【分析】
（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；
（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，
根据余弦定理计算可得结果. 【详解】
（1）连1BC ，1EC ，如图：
因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =， 所以11//AB C D ，11AB C D =，
所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，
因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ， 因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ， 所以1//AD 平面EMN .
（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，
依题意知12BB =，11
2
EB =
，111B C =， 所以222
11117444
BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，
222111115144
EC EB B C =+=
+=， 所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175
54417252
+-
⨯⨯88585=
. 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
16．（1）证明见解析；（2）43
. 【分析】
（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解. 【详解】 （1）如图所示：
因为底面ABCD 为矩形，
所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ， ∴F 是EC 的中点， ∴FG ∥AE .
又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD .
（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE .
∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫
==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
△.
【点睛】
方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄
α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 17．（1）证明见解析；（2）312
. 【分析】
（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ； （2）利用等体积法进行转化计算即可. 【详解】
（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=，
()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，
图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =， ∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥， 又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=， 又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ； （2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点， 所以//EF DC ，且1
2
EF DC =
，所以EF ⊥平面ABC ， 由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，
105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=，
90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，
cos3022
BC BD ︒∴=⋅=⨯
=1sin 30212DC BD ︒
=⋅=⨯=，
所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122
EF DC ==，
所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=
△ 【点睛】
方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.
18．（1）证明见解析；（2． 【分析】
（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明
DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；
（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，
cos 3
AQ PAQ AP ∠=
=
，设AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．
【详解】
（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，
∴
CD =
==CD ，∴1CE =，CD =2BE =，
由余弦定理得
222cos120AE BE AB BE B =+-⋅︒22122222232⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 又2222(3)12DE CD CE =+=+=，
∴22
2DE AE AD ，∴AD DE ⊥，
∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，
∴DE ⊥平面APE ．
（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角， 3cos AQ PAQ AP ∠==， 设AQ x =（023x <≤），则2PQ x =
，23QE x =-， 12(23)232
QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223
x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，
则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，
∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，
∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），
1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，
则2227cos 214
PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714
．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
19．（1）证明见解析；（2）30.
【分析】
（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；
（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．
【详解】
（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.
连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .
又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC
所以直线1//BD 平面PAC.
（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.
因为2PA PC ==21
2AO AC ==且PO AO ⊥， 所以2
12sin 2
2AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒
故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.
【点睛】
方法点睛：异面直线所成的角的求法
方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形） 方法二：（向量法）cos m n
m n α=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线
,m n 的方向向量.
20．（1）证明见解析；（2
）PA =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为
35
. 【分析】 （1）根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，
求得00
30,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；
（2
）建立空间坐标系，得到()BD =-，()0,2,DP t =-，()2PC t =-，进而得到平面PBD
的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭
，进而可利用向量的公式求解 【详解】
（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂
平面ABCD ，∴BD PA ⊥
，
又tan tan AD BC ABD BAC AB AB
∠==∠== ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．
又PA AC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，
平面PAC ⊥平面PBD
（2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y
轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图， 设
AP t =，则()()()(),,
0,2,0,0,0,B C D P t ，
则()BD =-，()0,2,t DP =-，()
23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =， 则00n BD n DP ⎧
⋅=⎨⋅=⎩
，即2020y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取
1x =，得平面PBD 的一个法向量为1,3,n t ⎛= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以cos ,48PC n PC n PC n
⋅==
因为22144515175t t +++=≥，当且仅当t = 所以5c 3353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3
sin 5θ≤，
即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35． 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题
21．（1）证明见解析；（2）
62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】
(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；
(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；
(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.
【详解】
（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C
∴AB ⊥BC 1
在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，
∴BC ⊥BC 1
又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC
， ∴C 1B ⊥平面ABC .
（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22
由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B =3，
所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =2×3=62
. （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .
∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，
∴1EB ⊥平面ABE .
又∵BE ⊂平面ABE ，
∴BE ⊥1EB .
不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，
在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-
在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+
在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()2222257
14x x x x -+++-=， 解得x =1或x =2(舍去).
故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.
【点睛】
关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.
22．（1）答案见解析；（2）
11
. 【分析】
（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；
（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；
【详解】
解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .
∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，
又二面角E GH B --的大小为90°，
∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，
∴EO ⊥平面ABCD ，
∴EO BD ⊥，
又AB BC =，∴AO BD ⊥， AO EO O =，
∴BD ⊥平面EOA .
（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =
设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，
2222216EB EO OB x =+=-+，
当x =min EB =
连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，
由（1）知BD ⊥平面EOA ，
∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，
∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，
在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM =，30AE =， 由()
222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 62
QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311
.
【点睛】
求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.
23．（1）证明见解析；（2）
2. 【详解】
（1）取PD 的中点G ，连接NG ，AG ，如图所示：
因为G ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以//GN CD ，1=
2GN CD . 又因为M 为AB 的中点，所以//AM CD ，1=2
AM CD . 所以//AM GN ，=AM GN ，四边形AMNG 为平行四边形，
所以//AG MN .
又因为22213PM PA AM =+=+=22123MC MB BC =+=+= 所以PM MC =，则MN PC ⊥.
又因为AD PA =，G 为PD 中点，所以AG PD ⊥.
又因为//AG MN ，所以MN PD ⊥.
所以MN PD MN PC
MN PC PD P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩
平面PCD . 又MN ⊂平面MPC ，所以平面MPC ⊥平面PCD .
（2）设点B 到平面MNC 的距离为h ，
因为B MNC N MBC V V --=，所以111332MNC MBC S h S PA ⋅=
⋅△△.
因为12MBC S BC MB =⋅⋅=△，
112MN AG PD ==
==
，NC ===
所以122MNC S MN NC =
⋅⋅=△
所以1132322
h ⨯
⨯=⨯
2h =. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键.
24．（1）证明见解析；（2
.
【分析】
（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1,C O BD CO BD ⊥⊥，由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ，然后再利用面面垂直的判定定理证明.
（2）由（1）知BD ⊥平面1C OC ，且平面1C BD ⋂平面CBD BD =，得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ，然后在1Rt C OC ∆中求解.
【详解】
（1）∵在正方体1111ABCD A B C D -中， 点O 是BD 中点 ，
又11BC DC = ， BC DC = ，∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥
11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ，
BD ∴⊥平面1C OC ，
又∵BD ⊂平面11BDD B ，
∴平面11BDD B ⊥平面1C OC ．…
（2）由（1）知：
平面1C BD ⋂平面CBD BD =，
11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD
所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角
则在正方体1111ABCD A B C D -中121,2C C OC ==
∴在1Rt C OC ∆中，11tan 2C C C OC OC
∠== 故二面角1C BD C --的正切值为2 ．
【点睛】
本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 25．(1)见解析(2)见解析
【分析】
（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D 为BC 的中点；
（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD ⊥C 1D 即可．
【详解】
证明:(1) 联结1A C 交1AC 于O ，联结OD .
∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形.
∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1A C 的中点.
∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC ⋂平面1AC D OD =，
1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD
∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点.
（2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴AD BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面
11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面ABC
平面11BCC B BC =，
∴AD ⊥平面11BCC B .
∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥ 1C D ，
∴1AC D ∆为直角三角形.
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；
（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.
【详解】
（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．
∴BE AD ．
∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，
又EF PD ，
EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，
EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF
BE E =，
∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．
（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，
∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．
又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，
∴CD ⊥平面BEF ．
∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．
【点睛】
本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。