函数定义域经典例题

定义域的求法：已知f(x)f(x)定义域为定义域为A ，求f(f(φφ(x))(x))定义域，定义域，应使φ应使φ(x)(x)(x)∈∈A ；已知f(f(φφ(x))
定义域为A ，求f(x)f(x)定义域，即求当定义域，即求当x ∈A 时，φ时，φ(x)(x)(x)的值域．的值域．
如：如：
已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域或已知函数[])(x g f 的定义域求函数[])(x h f 的定义域：的定义域：
①掌握基本初等函数①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出。

出。

【例1】(1)已知函数()f x 定义域为[0，1]，求函数()
2
2x f 的定义域.
(2)已知函数()f x 定义域为[1，3]，求函数[]()x f x f x F 2)()(2
+=的定义域.
(3)已知函数x x g x x f =-=)(,1
1
)(，求函数[])(x g f 的定义域. [答案] (1) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
22,22 ; (2) ⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤23
1x x ; (3) [)().,11,0+∞⋃ 解析：
法1：()f x 的定义域是{}
1≠x x ，所以[])(x g f 的定义域是使得1)(≠x g 的x 的集合，即1≠x 等价于
⎩⎨
⎧≠≥10
x x ，即10≠≥x x 且.即函数[])(x g f 的定义域是[)().,11,0+∞⋃ 法2：[]11
1
)(1
)(-=
-=
x x g x g f ，要使函数式有意义，必须⎩⎨
⎧≥≠-0
01x x ，解得10≠≥x x 且，即函数[])(x g f 的定义域是[)().,11,0+∞⋃
【练习1-1】：已知函数()f x 定义域为[]3,2，求下列函数的定义域：，求下列函数的定义域： （1） )3(-x f ； （2）)(2
x f .
[答案]：（1） []6,5. （2） [
][]
3,22,3⋃
--.
【练习1-2】：设y ＝f(x)的定义域是[0,2]，求下列函数的定义域．，求下列函数的定义域．
(1)f(x ＋3)；(2)f(|2x －1|)；(3)f(x ＋a)－f(x －a)(0<a ≤1) [分析] 根据“若f(x)的定义域为[a ，b]，则f[g(x)]的定义域为a ≤g(x)≤b 的解集”来解相应的不等式(或不等式组)．
[解析解析] ] (1)(1)由由0≤x ＋3≤2得－得－33≤x ≤－≤－11， 所以定义域为所以定义域为所以定义域为[[－3，－，－1]1]1]．．
(2)(2)由由|2x －1|1|≤≤2得－得－22≤2x －1≤2， ∴－∴－12≤x ≤3
2，所以定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，32. (3)(3)由由⎩⎪⎨
⎪⎧
0≤x ＋a ≤2，
0≤x －a ≤2，
得：⎩⎪⎨
⎪⎧
－a ≤x ≤2－a ，
a ≤x ≤2＋a .
又∵又∵又∵0<0<a ≤1，∴，∴22－a ≥a ，∴定义域
为[a ，2－a ]．
【练习1-3】
：已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：，求下列函数的定义域： (1) 2()23f x +； (2)2
12
()1log (2)
f x y x +=
-。

解：（1）由0＜x 2
＜2， 得
点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。

产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。

【例2】已知函数f(2x+1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域.
[解析]：因为函数f(2x+1)的定义域为[1,2]，所以21≤≤x .即5123≤+≤x .所以，函数f(x)的定义域为[3,5]. 【练习2-12-1】已知】已知y ＝f(x f(x＋＋1)1)的定义域为的定义域为的定义域为[0,1][0,1][0,1]．则．则y ＝f(x)f(x)的定义域为的定义域为的定义域为________________________．． [解析解析] ] 由题设使y ＝f(x f(x＋＋1)1)有意义的有意义的x 允许取值范围是0≤x ≤1.1.∴∴1≤x ＋1≤2 ∴欲使y ＝f(x)f(x)有意义，须有意义，须1≤x ≤2. 2. ∴此函数的定义域为∴此函数的定义域为∴此函数的定义域为[1,2]. [1,2]. 【练习2-22-2】已知函数】已知函数f(x+1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域. [答案]： []3,2.
【例3】已知函数)1(2
-x f 的定义域为(2,5)，求函数)1
(x
f 的定义域.
[解析解析]]：因为函数)1(2
-x f 的定义域为的定义域为(2,5)(2,5)(2,5)，所以，所以2<x<5,2<x<5,即即.24132
<-<x 所以，函数
()f x 的定义域为（的定义域为（33，2424））.所以241
3<<x ，即3
1241<<x .因此，函数)1(x f 的定义域为)3
1,241(.
【练习3-13-1】若函数】若函数)1(+x f 的定义域为的定义域为[-2,3][-2,3][-2,3]，求，求)12(-=x f y 的定义域的定义域. [. [. [答案答案答案]]：
.25,0⎥⎦
⎤⎢⎣⎡。