光纤波导的电磁理论基础

• 折射率分布为阶跃型的光纤即均匀波导，是最常用的一种重要光波导 类型。由于介质中无电荷与电流分布，即ρ=0,J=0，因而其麦克斯韦 方程组的形式为
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 其物质方程组的形式则如（1-14）式和（1-15）式，分别为： • D=εE和B=μH。 • 上述麦克斯韦方程组各式为一阶偏微分方程，虽然表示形式简单，但
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 应该指出，利用上述方程组还不能求解出介质中给定点确定的E、D、 B、H，这是因为尚不知道E、H与D、B之间的具体关系，其具体关 系是随所在的物质而异的。为此，必须研究并确定物质方程组。
• 1.1.2物质方程组 • 电磁场的存在与变化总是依赖于介质的，介质的具体情况决定了各有
变为如下精确的齐次波动微分方程：
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1.2 波动方程
• 应指出(1-26)式、(1-27)式与(1-24)式、(1-25)式的形式相同，然而意 义却有差别。
• 若引入电磁波的传播速度v，且以
表示
电磁波在介质空间给定点处的传播速度，则可将上两式表为以速度形
式表示的矢量形式波动微分方程。
理性质均相同，则为各向同性；否则，为各向异性，表征其特性的系 数以张量形式表示。一般地，晶体为各向异性。
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• (2) 均匀与非均匀：一种介质若其物理特性不随空间位置而逐点变化， 则为均匀；否则，为非均匀，其特性系数可表为位置矢量r的函数形 式。
• (3) 线性与非线性：若D(J)、H只与E、B的一次项有关，即ε、σ、μ 均是与E、H无关的常数，则为线性；以D～E函数关系为例，若D不 仅与E的一次项有关，且与E的高次项有关，即可表为如下形式
• 上式即为标量形式的亥姆霍兹方程，为一椭圆形偏微分方程。将拉普 拉斯算符展开， (1-43) 式亦可表为：
• 运用上述电磁场基本理论，并利用亥姆霍兹方程及相关的边界条件即 可求解介质中电磁场的分布。
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1.4 各向同性、均匀介质圆柱光波导(阶 跃光纤)中光波的传播
• 芯与包层折射率均匀分布的阶跃光纤，即各向同性、均匀介质的圆柱 光波导，是一种最重要、最常用的光纤类型，研究光波在其中的传播 规律与机理具有典型性与重要意义。
• 也可表示为矩阵方程： • 或将D~E之间的线性关系表示为一般式:
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 类似地，(1-7)式亦可表为上述形式。这种类型介质一般针对晶体介质 的情况。
• (2) 物质各向同性、线性，但非均匀，即ε(r)、μ(r)为因地而 • 异的标量，则物质方程组的形式可表为：
• 形式的二阶微分方程组，它便于利用边值条件求解。波动方程的解描 述了在所确定介质中的
• 光传播规律。以下推导建立各种条件下各向同性介质的波动方程。
• 1.2.1各向同性、非均匀(与r有关)、有源介质中 的波动方程
• 为导出波动方程，首先从一般情况出发对(1-1)式作旋度运算，即
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1.2 波动方程
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1.4 各向同性、均匀介质圆柱光波导(阶 跃光纤)中光波的传播
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1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程)
• 应该指出，对介质折射率为常数(n=〖KF(〗ε〖KF)〗=ct)的均匀波导，
ε=0，方程(1-40)
(1-41)
• 由于矢量形式的亥姆霍兹方程不便求解，因而需转化为相应的标量形 式亥姆霍兹方程。由于E、H在直角坐标系中的x、y、z各分量均满足 上述方程，因而可以用符号V形式地表示，即有
• 这种类型一般针对渐变折射率(梯度折射率)等非均匀介质的情况。
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• (3) 物质各向同性、线性、均匀，即ε、μ均为常标量，则物质方程组 的形式可表为：
• 这种类型一般针对渐变折射率(梯度折射率)等非均匀介质的情况。 • (3) 物质各向同性、线性、均匀，即ε、μ均为常标量，则物质方程组
• 上节导出的亥姆霍兹方程的解E(r)、H(r)，应随激励与传播条件的不 同而不同。其中，一种最基本的解就是存在于全空间中的平面波。在 均匀介质中，平面波是基波，任意形式的电磁波均可分解为等相面与 等幅面一致的一些均匀平面波；而在非均匀介质中，可以近似地认为， 在到达光频时，存在的是波前极小的平面波，可称之为“本地平面 波”，其法线即为射线。因而，在非均匀介质中本地平面波即为基波。
• 无源介质应有:
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1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程)
• 对渐变折射率的光波导，为简化计算分析，可取近似}e}0;同时引人 • 因而有
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1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程)
» 为自由空间波数 ，定义 »k为介质中的波数或传播系数，它是一个数量。由上述关系变可得到
第1章 光纤波导的电磁理论基础
• 1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组 • 1.2 波动方程 • 1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程） • 1.4 各向同性、均匀介质圆柱光波导(阶跃光纤)
中光波的传播
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 光波是一种电磁波，光波的波动性质被包含在描述变化电磁场的麦克 斯韦方程组以及表征物质电磁性质的物质方程组中。两者将电场强度 E和磁感应强度B之间的空间与时间变化联系起来。
• 上述一级线性耦合微分方程组中的(1-1)式、(1-2)式为基本方程，分 别表示变化的磁场产生电场,以及由传导电流(J)和位移电流(D)形成的 总电流所产生的磁场；对上两式取散度并利用电荷不灭定律，即 则可以得到(1-3)式与(1-4)式。因而后两式并非独立方程。
• 通常称(1-1)式～(1-4)式为麦克斯韦方程组。式中，D为电通量密度矢 量，J为电流密度矢量，B为磁感应强度(或磁通量密度)矢量，ρ表示 介质中给定点的自由电荷密度。
• 上式左端的二重矢积运算结果为 • 其右端的运算最终结果为: • 将两端结果代入上式整理得到电场矢量E的波动微分方程:
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1.2 波动方程
• 类似地，对(1一2)式作旋度运算并整理，可得到如下磁场矢量H的波 动微分方程:
• 显然，通过上述运算变换获得了电场矢量(E)与磁场矢量(H)相分离的 两个波动微分方程。
• 1.1.1 麦克斯韦方程组
• 麦克斯韦方程组有其积分形式和微分形式，通常采用如下微分形式的 麦克斯韦方程组求解介质中任一给定点电磁场矢量与时间变化的对应 关系。
• 对非各向同性、非均匀、非线性介质的一般条件下，微分形式麦克斯 韦方程组的表述形式为：
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
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1.2 波动方程
• 上述方程表示，电场与磁场耦合在一起，以波动形式在介质中以速度 v传播。
• 若场矢量以三个直角坐标分量来表示，则(1-26)式所表示的矢量波动 微分方程可以表示为如下标量形式的波动微分方程组。
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1.2 波动方程
• 若以符号形式V表示其中的任意分量，则可表为如下形式的标量波动 方程。
• 为运算分析的简便，采用指数函数来描述这种正弦波函数。这是因为， 用指数函数表示光波函数便于将位相的空间因子与时间因子分开。例 如，电场矢量可以表示为：
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1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程)
• 通常以t=0时的复振幅E(r)代表电场矢量，并称之为“复矢量” • ，或称其为“相量”。它既是一个矢量(由E 0决定其空间方向)，同
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 则为非线性关系。一些介质在强场作用下呈现非线性特性，这种介质 即称为非线性介质
• (4) 透明：即指σ=0，因而J=0，无吸收损耗。透明介质是指光进入其 中而其强度不发生可察觉减弱的物质(如空气、玻璃)，它们在电学上 必为非导体。
• (5) 无源：即自由电荷密度ρ=0。 • 根据上述定义，可给出如下三种主要类型介质的物质方程组形式。 • (1) 物质为各向异性、非均匀、线性，则其物质方程组可表为：
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1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程)
• 将上述关系及渐变折射率介质条件下
代入(1-34)式、(1-35)
式，并整理即获得如下矢量形式的亥姆霍兹方程，亦即正弦稳态方程：
• 上两式即为一定频率(ω)下渐变折射率介质中电磁波的基本方程，方 程的解E (r)、H(r) 即代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可 ε≈0近似条件下 得到的，因而对渐变折射率介质，方程及其解均为近似的。事实上， 方程的k为r的函数，即
• 式中，ε、 μ分别表示介质的张量介电系数和张量磁导率，并以矩阵 形式表示(以ε为例)：
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 式中，εij =εij (r)，r为介质中不同空间点的位 • 置矢量。因而(1-6)式可表为：
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
的形式可表为：
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1.1 麦克斯韦方程组与物质方程组
• 作为光波导的光纤为光源的非导体介质（ρ=0，J=0；电导率σ=0） 即符合上述规律。
• 决定电磁场运动形式的麦克斯韦方程组与上述物质方程组相结合，则 确定了介质中电磁场的具体分布形式。
• 1.1.3各向同性、均匀、透明介质中的麦克斯韦 方程组与物质方程组
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1.2 波动方程
• 上述两式的形式已简化，但仍很复杂，求解困难，为此需作数学近似 处理。
• 1.2.3各向同性、渐变折射率光纤中的波动方程
• 对渐变折射率光纤ε(r)
ε≠0。但分析表明，只要
在一个光波长的距离上ε的变化是微小的，即当满足
• 时，则可取近似
由此数学近似处理对方程解导致的误差
方程中的电场量与磁场量是相互耦合交连在一起的，在解边值问题时 难以应用，因而不便于求解。为此，必须导出由麦克斯韦方程组转化 而来的波动方程，并利用边界条件，才能得到介质中电磁场的确定解。
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1.2 波动方程
• 波动方程系指将物质方程组代入麦克斯韦方程组的两个基本方程后， 所得到的两个变量分离
e-j (k·r) =e-jθ，θ为相位，是随时间而变化的， 表示波的传播。 • 由于指数函数所具有的微分运算特性，即每进行一次微分运算后均保 持函数的原形不变，从而可使计算大为简化。因而若有波函数 z=A·ejωt，
• 因此，上述方程中所有对时间的(偏)微商
,均可以用jω取
代,将
代入 (1-22)式、(1-23)式，则对各向同性、非均匀、
影响是可以忽略的。在上述近似条件下，则可得到如下近似的齐次波
动方程。显然，方程解亦应为近似的。
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1.2 波动方程
• 1.2.4各向同性、阶跃型折射率光纤中的波动方 程
• 光纤中纤芯介质折射率均匀即为阶跃型光纤，亦为均匀光波导。
• 由于折射率均匀，ε
ε=0，因而(1-24)式、(1-25)式可演
• 同样引入传播速度v，则上式亦可表为：
• 或将拉普拉斯算符展开，亦可表为：
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1.3 亥姆霍兹方程(正弦稳态波动方程)
• 方程。在电磁波的讨论中，通常是将表示
(helmholtz)
• 电场与磁场的矢量E、D、H、B考虑为具有单一角频率ω的正弦波(即 以一定频率作正弦振荡的单色波)，这是因为正弦波可以作为基元波， 其产生与测量均较方便，因而具有特别重要的意义。
关矢量之间的关系。我 • 们称反映矢量E、B(电磁场的两个基本物理量)与D、H、J(引进的辅
助场量)之间关系的关联方程为“物质方程组” • 。物质方程组的具体函数形式取决于如下所述各种介质的具体类型。
为区分不同类型介质，需首先给出如下的各相关定义： • (1) 各向同性与各向异性：对介质中的任意给定点，若其各方向的物
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1.2 波动方程
• 1.2.2各向同性、非均匀、无源介质中的波动方 程
• 对一般光波导材料(属非磁性材料)，其磁导率与真空中磁导率一致， μ=μ-μ0=0；所研究的介质区域无源，ρ=0，且电导率σ=0，
因而J=0；但介质为非均匀介质，即ε与r有关，因而介电常数的梯度 ε≠0。
• 在上述分析的条件下，(1-20)式、(1-21)式将转化为如下的非齐次波 动微分方程：