乘法半群为逆半群的半环

摘要
半环的代数理论，是重要的代数学分支。

对半环理论的研究，具有十分重要的理论
和应用价值．
本文研究了加法半群是半格、乘法半群是逆半群的半环类。

讨论了该类半环的性
质、结构以及该类半环的子类．第一章介绍了半环的相关知识和下文要用的记号．第二
章讨论了逆半环，给出了逆半环所满足的充分必要条件和相关命题，得到了逆半环成为
单演双半格的充要条件．第三章研究了Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．证明了完全正则半环是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，得到了０一群半环是仅有的次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，利用ＭｃａｌｉｓｔｅｒＣｏｎｅ
理论，构造了半环上的偏序关系，得到了一些有趣结果．第四章研究了加法半群是半
格、乘法半群是Ｄ酉Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群的半环，阐述了该类半环的性质并且给出了该类半
环的结构性定理和次直积刻戈Ⅱ．
关键词：逆半环；Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环；Ｅ一酉性；偏序；半格；坚固半格；次直积
Ａｂｓｔｒａｅｔ
Ａｌｇｅｂｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｓｅｍｉｒｉｎｇ
ｓｉｓ ａ
ｖｅｒｙ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｂｒａｎｃｈ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａ．Ｔｈｅｒｅ
ａ
ｒｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ．
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ ｗｈｏｓｅ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｒｅｄｕｃｔｓ
口ｅ ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅｓ
ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｒｅｄｕｃｔｓ
ａｘｅ
ｉｎｖｅｒｓｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ，ｄｌｉｂｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ａｎｄ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｏｆ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｂｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｇｉｖｅｎ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ．Ｉｎ
ｃｈａｐｔｅｒ
ｏｎｅ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ
ｒｅｌａｔｅｄ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ ａｎｄ ｎｏｔｅｓ ｎｅｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ．Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｔｗｏ，ｗｅ
ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｖｅｒｓｅ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ，ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｍｉｒｉａｇｓ ｓａｔｉｓｆｙ ａｎｄ ｒｅｌａｔｅｄ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ．Ｗｅ
ｇｉｖｅ ｓｏｆｔｉｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｓｅｍｉ
ｆｉｎｇｓ ｂｅｃｏｍｅ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｔｔｉｃｅｓ．Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｔｈｒｅｅ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｒｅｇｕｌａｒ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ
ａｒｅａＩ浜
ｆｏｒｄ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ ａｎｄ Ｏ－ｇｒｏｕｐ ｓｅｍｉ
ｒｉｎｇｓ
ａｒｅｏＩｌｌｙ ｓｕｂｄｉｒｅｅｔｌｙ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ Ｃｌｉｆｆｏｒｄ ｓｅｍｉｒ．
ｉｎｇｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｍｃａ］ｉｓｔｅｒ
ｃｏｎｅ，ｖｖｅ
ｃ
ｏｎｓｔｒｕｃｔ
ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒｓ
ｏｎ
ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ ａｎｄ
ｇｅｔ ｓｏｍｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ；Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ
ｆｏｕｒ，ｗｅ
ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ ｗｈｏｓｅ ａ
ｄｄｉｔｉｖｅ
ｒｅｄｕｃｔｓ
８ｒｅｓｅｍｉｌａｔ＃ｉｃｅｓ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｒｅｄｕｅｔｓ盯ｅ Ｅ－ｕｎｉｔａｒｙ Ｃｌｉｆｏｒｄ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ．
ｇｉｖｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｏｎ ｏｆ ｓｕｂｄｉｒｅｃｔ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｓｅ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｒｓｅ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ；Ｃｌｉｆｆｏｒｄ ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ；Ｆ，ｕｎｉｔａｒｙ；ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒｓ；
ｓｅｍｉｌａｔｔ．
ｔｉｃｅｓ；ｓｔｕｒｄｙ ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ；ｓｕｂｄｉｒｅｃｔ ｐｒｏｄｕｃｔ
ＩＩ
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细≯年，月ｆ２－Ｅｔ指导教师签名：
坊乏；；。

ｆ。

年ｄｒ月／爻日
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学位论文作者签名：邳密
胁号年｝月／２日
第一章绪论
半群代数理论是一门重要的代数学分支．它在许多领域，如计算机、信息安全、自
动化控制等方面都有重要的应用价值【１８】．经过一个多世纪的发展，现如今，半群代数
理论已发展的较为成熟，并在一些领域取得了大量的相关理论与结果，特别是对正则
半群的研究，成果颇丰．近几十年来，正则半群的特殊情形如逆半群、纯整半群、完全
正则半群的研究，在半群代数理论研究中占有十分重要的地位１９７６年，ＪＭ．Ｈｏｗｉｅ
所著的７‟ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＳｅｍｉｇｒ
Ｔｈｅｏｒｙ”一书介绍了正则半群的基本理论和
ｏｕｐ
结果，对半群理论的研究起到了巨大的推动作用．１９８４年，Ｍ．Ｐｅｔｒｉｃｈ所编”ＩｎｖｅｒｓｅＳｅｍｉｇｒｏｕｐ”一书，几乎囊括了那个时代逆半群研究的绝大部分成果，激发了代数学者
对逆半群及其相关理论进行深入研究．著名的代数学者Ｄ．Ｂ．Ｍｃａｌｉｓｔｅｒ对逆半群上的
偏序关系进行深入的研究｜５］吼提出了著名的ＭｃａｌｉｓｔｅｒＣｏｎｅ理论，该理论推广应用到其它正则半群，得到了一些非常漂亮的结果［１１１２１Ｉａｌｌ“ｍ】．
半环代数理论的研究始于十九世纪末，但发展非常迅速．如今，半环理论十分丰
富，已应用到自动机、语言、组合学、函数分析、图论等许多领域，并且有不少关于半
环理论和应用方面的著作【１５】【２７】１２８１．
半环（ｓ，＋，・）是指非空集合ｓ上装有两个二元运算加法“＋”和乘法“”的代
数，其中（ｓ，＋）和（Ｓ－）均是半群，且满足乘法对加法的分配律，即
（Ｖａ，ｂ，ｅ∈Ｓ）（ａ＋ｂ）ｃ＝ｏｃ＋ｂｃ和ｃ（ｏ＋６）＝ｃａ＋ｃ厶从代数的角度来看，半环可以看成是由分配律联系的同一非空集合上的两个半群．这
样一来，半群代数理论的一些研究方法和结论，有助于我们来研究半环．近些年来，
～些代数学者从半环的半群角度出发，对半环进行了研究［７１１８］［９３
我们知道，Ｇｒｅｅｎ－关系在半群理论的研究中，起着重要的作用．同样地，半环
的加法半群和乘法半群上的Ｇｒｅｅｎ－关系在半环理论的研究中也扮演着十分重要的角
色．设Ｓ是半环，我们分别用咒（矗），ｃ（互），口（西）表示Ｓ的乘法半群【加法半鞘上
的Ｇｒｅｅｎ－７＂ｌ，￡，Ｄ－关系，一些著名的代数学者从幂等元半环的乘法带［加法制上的
Ｇｒｅｅｎ．关系出发，对幂等元半环进行研究，得到了非常优美的结论【ｇ】【１１ｌ【３ｑ…ｐ…．若Ｖ为任一给定半群类，我们用ＶⅣ］表示乘法【加法］半群属于Ｖ的半环
的全体例如：若用ｓ￡和ｉ［ｃ，ＥＣ］分别表示半格类与逆半群｛Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，Ｅ一酉Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群】类，则ｓ￡和Ｉ【ｃ，ＥＣ】分别表示加法是半格的半环类和乘法半群是逆半
群［Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，Ｂ酉Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群］的半环类ｓ￡ｎＩ表示加法半群是半格、乘法半
群是逆半群的半环类．
设Ｓ是半环，若Ｓ的加法半群和乘法半群都是正则的，则由文献【２１】节ＩＩ４知
Ｓ的加法半群和乘法半群均存在自然偏序，分别用≤＋和Ｓ．表示Ｓ的加法半群与乘
法半群上的自然偏序．若半环ＳｅＳｔｎｉ，则由上文知Ｓ的加法半群和乘法半群上均
存在自然偏序．文献ｆ１３】中，作者所研究的逆代数就是ｓｆＮＩ中的半环，其中乘法半
群是逆独异点，并且≤＋＝≤．本文把这～定义加以推广，定义了完全正则半环瞪半
环，Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环］，对这几类半环进行讨论．第二章讨论逆半环，给出逆半环所满足的
充分必要条件，证明逆半环成为单演双半格的充要条件和ｓ￡ＧＩ中的半环成为分配格
的等价命题；第三章研究了ｓ￡ｎｃ中的半环，特别地，讨论了Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，证明完
全正则半环是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，并且证明０一群半环是仅有的次直积不可约Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环；第四章讨论ＳｔｎＥｅ中的半环，得到一些性质，给出该类半环的结构性定理和次直
积刻划．
２
第二章逆半环
本章的主要研究对象是逆半环，给出了逆半环所满足的充要条件和逆半环成为单
演双半格的等价命题；讨论了壶ｎｉ中的半环成为分配格的充要条件．
§２．１．逆半环
设（ｓ，．）是半群．对ａ∈Ｓ，若存在。

∈Ｓ使得ａｘａ＝ａ，则。

称为Ｓ的正则元．
若Ｓ的每一个元素都是正则的，则Ｓ称为正则半群．对ｏ∈Ｓ，若存在ｚ∈Ｓ使得
ｔｚｘａ＝。

和ｘａｘ＝ｚ，则ｚ称为ａ的逆元．若对任意的ｎ∈Ｓ，Ｓ中有且仅有ｎ的一个逆元，记ｎ的逆元为ａ～，则Ｓ称为逆半群．由文献１１４］节５．１知；正则半群ｓ是逆半群
当且仅当ｓ的幂等元集合Ｅ（ｓ）是Ｓ的子半格，亦即，当且仅当对任意的ｅ，ｆ∈ｓ（ｓ）
有ｅ，＝，ｅ∈Ｅ（Ｓ）．
半群Ｓ上的偏序关系≤是相容的，是指Ｓ满足下面条件：
ｂ哥ｘａｙＳｍ妇．
（Ｖａ，ｂ∈Ｓｚ，Ｙ∈ｓ１）口Ｓ
例如：若在逆半群Ｓ上定义二元关系≤如下：
６骨（ｊｅ，，∈Ｅ（Ｓ））ａ＝ｂｅ＝，６，
（Ｖａ，６∈Ｓ）ｎ
Ｓ
则≤为Ｓ上的偏序关系，由文献【１４】节５．１知：Ｓ为Ｓ上的自然偏序，且是相容．若半环ＳＥＳ。

ｇｎｉ，则由绪论知≤＋和≤分别表示Ｓ的加法半群和乘法半群上的
自然偏序，即定义如下：
口≤＋ｂ甘ａ＝ａ＋ｂ，
（Ｖａ．ｂ∈Ｓ）。

≤．ｂ车＝争（ｊｅ，，∈Ｅ（ｓ））ｏ＝ｂｅ＝ｆｂ
其中Ｅ（Ｓ）表示Ｓ的乘法半群的幂等元之集．
设半环Ｓ∈ｇ￡，若ｓ的乘法半群＠・）是逆半群院全正则半群１１且满足５－＝≤：
则Ｓ称为逆半环【完全正则半环］．由定义知逆半环是ｓｅｎＩ中的成员．由≤＋＝５知
Ｓ＋，≤与半环的加法运算和乘法运算均是相容的．
设Ｓ是逆半环，由文献［１４】命题５．１．２可知：对任意的ａ，ｂ∈Ｓ，ａ≤６当且仅当
ａ。

≤６～，从两直接有
引理２．１若Ｓ是逆半环，则
（Ｖａ，６∈Ｓｎ≤＋ｂ｛＝争ａ一１≤＋ｂ一１，
３
引理２．２若Ｓ是逆半环，则Ｓ满足
（Ｖａ，ｂ∈Ｓ）（ｎ舶）～＝ｏ。

＋ｂ～（１）证明对任意的ａ，ｂ∈Ｓ，由≤＋的定义，显然有ａ＋ｂ≤＋ａ、由引理２ｌ有
∞＋∞一１≤＋８～．交换ａ，ｂ角色得（ａ＋６）－１Ｓ＋ｂ～。

以上两个不等式左右相加，由
Ｓ∈ｓ￡得（ｏ＋６）一１茎＋ｏ一１＋ｂ一．由Ｓ＋的相容性得
（ａ＋６）一１（ｏ＋ｂ）≤＋ａ一１＋ｂ一１）（口＋６）．【２）
对任意的ｃ∈ｓ，设ｃ≤＋。

一１（０十ｂ），ｃＳ＋ｂ－１沁＋ｂ），由引理２．１得ｃ。

≤＋（。

＋ｂ）。

ｎ，
同理可得Ｃ－１Ｓ＋０＋６）一１６．以上两个不等式相加，由Ｓｅｓｅ得ｃ＿１≤＋扣＋６）。

（ｎ＋ｂ），由；ｆ理２．１得ｃＳ。

（ａ＋６）一１＠＋∞．取ｃ＝（ａ－１＋６—１）（。

＋∞，有
（ｏ一１＋６—１）（ｏ＋ｂ）≤＋（ａ＋６）一１扛＋６）．由（２）式和（３）式得
（０—１＋ｂ－１）（口－４－∞＝（ａ＋６）一１（。

＋６）．由≤．的定义有
（。

＋６）一１ａ＋６）（ｎ一１＋ｂ一１）≤。

一１＋ｂ一１．（３）（４）（５）
设ｄ∈Ｓ并且ｄ－１墨＋ｏ，ｄ－１≤＋ｂ，由引理２．１得ｄ≤＋（Ⅱ＋６）～．由≤＋的相容
性有ｄ＝ｄｄ一１ｄ≤＋（ｏ＋６）一１（Ⅱ＋ｂ）ａ一．类似可得ｄＳ＋（ｎ＋６）一１（ｏ＋ｂ）ｂ一，以上
两式相加，由Ｓ∈ｓ４－￡有ｄＳ＋（。

＋ｂ）－Ｉ（ｎ＋６）（ｎ一１＋ｂ－Ｉ）．取ｄ＝Ｃｔ－Ｉ＋ｂ～，则有
ｎ一１＋ｂ一１≤＋（口４－∞一１（血＋６）忙一１＋ｂ－１），由≤＋＝≤得
由（５）式得（ｏ＋６）一１（Ⅱ＋６）（ｎ一１＋ｂ一１）＝ｎ一１十ｂ～由上式和（４）式有（ｎ“＋ｂ－１）（ｎ＋
６）（ｎ一１＋ｂ一１）＝ｎ一１＋６—１和（ｏ＋６）（ｏ一１＋６—１）（ａ－ｔ－ｂ）＝ａ＋ｂ．从而，（口＋６）一１，ｎ一１＋ｂ一１
都是ｎ十ｂ的逆元，由㈣－）中元素的逆元是唯一的，可得（Ⅱ＋６）。

＝口－１＋ｂ～．引理２．３若Ｓ是逆半环，则ｓ满足
（ｖｎ，ｂ∈Ｓ）口一１（盘＋ｂ）＝ｂ－１（ｎ＋ｂ）＝（ｏ＋６）一１ａ＋ｂ）．（６）
证明对任意的ｎ，ｂ∈Ｓ，由≤＋的定义，显然有ａ＋ｂ≤＋ａ，由≤＋＝≤得
ａ＋６＜ａ由引理２．１和偏序的相容性得
ａ＋ｂ）一１（ｎ＋６）Ｓａ－１∞＋６）＝ａ－１。

＋ｎ一１ｂ．
ｄ
（７）
对任意的ｃ∈Ｓ，设ｃ≤ｔ２－１。

，ｃ≤ａ－１ｂ由Ｃ
Ｓ
ａ～ｌｏ，和≤的定义得Ｃ∈Ｅ（ｓ），
从而有ｃ＝ＣＣ≤ｂ－１０Ｇ一１ｂ≤．ｂ－ａｂ
由Ｓ＝茎＋得Ｃ＝Ｃ＋Ｃ＋Ｃ＋ｃ Ｓ．ａ－ｌｏ，＋
＋血一１ｂ＋ｂ－１ｎ＋ｂ－１ｂ＝（ｎ一１＋ｂ一１）（ｎ＋∞，即Ｃ Ｓ（ｎ～１十ｂ一１）（ｏ＋６）由引理２．２得
Ｃ＝Ｃ“≤（ｏ＋６）一１（ｎ＋６），取Ｃ＝ｏ一１（ｎ＋∞，得８。

（ａ＋ｂ）≤（口＋６）一１（口＋６）．由（７）式
有ａ－Ｉ（ｎ十ｂ）＝（。

＋６）＿１（ｏ＋６）．类似地，交换ｏ，ｂ角色得６＇１（ｎ＋ｂ）一（ｏ＋ｂ）。

（。

＋６）．
从而有ａ－１（ｏ＋ｂ）＝ｂ－１（ｏ＋ｂ）＝（ａ＋６）一１（。

＋ｂ）
双半格（Ｍ，＋，）称为单演双半格是指Ｍ满足（ｖｅ，，∈Ｍ）ｅ＋，＝ｅ，全体单演 双半格所形成的簇记为Ｍ，由文献【５］引理ｌ ７知；如果Ｓ是上半格逆半群，那么对 任意的ｅ，ｆ∈Ｅ（Ｊｓ），有８Ｖ，∈蜀：ｓ）．从而可得 引理２．４若Ｓ∈Ｓｇｎｉ，则
（ｉ）ｓ的乘法半群的幂等元之集Ｅ（Ｓ）是ｓ的子半环； （ｉｉ）若ｓ是逆半环，则Ｅ（Ｓ）是单演双半格．
证明（ｉ）．设ｅ，，∈Ｅ（ｓ），由＠－）是逆半群和（日（ｓ），・）是半格得
ｅ（ｅ＋，）－１＝（（ｅ＋，）ｅ）－１
＝（ｅ（ｅ＋，））。

＝（ｅ＋，）。

ｅ．
类似地得到ｆ（ｅ＋，）＿１＝（ｅ＋，）～ｆ，以上两式相加得
（ｅ＋，）（ｅ＋，）一１＝（ｅ＋，）一１（ｅ＋，）
（８）
又（ｅ＋厂）２；ｅ＋ｅｌ＋，ｅ＋ｆ＝（ｅ＋，）３，从而有０＋，）２（ｅ＋，）一１＝（ｅ＋，）３（ｅ＋，）～，由（８）式得（ｅ＋，）（ｅ＋，）一１（ｅ＋，）＝（ｅ＋，）２（ｅ＋，）一１（ｅ＋，），即ｅ＋，＝（ｅ＋，）２．从而，Ｅ（Ｓ）是ｓ的子半环。

（ｎ设Ｓ是逆半环，ｅ，，∈Ｅ（ｓ），显然有ｅ＋ｆ≤＋ｅ，ｅ＋，≤＋，，由≤＋＝≤和≤
的相容性得ｅ＋，≤ｅ，，由≤的定义知ｅ＋ｆ＝（ｅ＋ｆ）ｅｆ＝ｅｆ．从而，Ｅ（Ｓ）是
单演
双半格，即Ｅ（Ｓ）∈Ｍ．
下面给出Ｓｅ ｎＩ中半环成为逆半环的等价命题．
定理２，５若Ｓ∈ｓｅｎｉ，则下列命题等价： （ｉ）Ｓ是逆半环；
（ｉｉ）Ｅ（ｓ）是单演双半格，并且ｓ满足
（Ｖａ，ｂ∈Ｓ）∞＋６）一１＝。

一１＋ｂ一１
５
（ｉｉｉ）Ｓ满足
（Ｖａ，ｂ∈Ｓ）ａ。

（ｏ＋ｂ）＝ｂ－１（ｎ＋ｂ）＝（口＋６）一１ａ
十ｂ）
证明由引理２．１、引理２．２和引理２．４知（ｉ）＝｝（ｉｉ）‟（ｉ）＝：争（：ｌｉｉ）显然成立
（ｉｉ）＝辛（ｉ戤对任意的ａ，ｂ∈Ｓ，由（ｉｉ）有
（ａ十６）一１（。

＋ｂ）＝ａ－ｌｇ＋ａ－ｌｂ＋ｂ－ｌａ＋６—１６≤＋Ⅱ一１０十ａ－１
ｂ
设ｃ∈Ｓ，并且ＣＳ＋６－１ａ，ｃ≤＋ａ－１ｂ．由５＋的定义得Ｃ＝ｃ＋ａ－Ｉｂ，给上式两边取
逆，由（ｉｉ）得Ｃ－１＝ｃ－１＋ｂ－Ｉａ，即ｃ＿１≤＋ｂ－ｌａ，从而有Ｃ－１Ｃ≤＋ｂ－ｉａａ－１６．由ｓ（ｓ）是
单演双半格得ｂ－１ａｆｔ一１ｂ＋ｂ－１ｂ＝ｂ－１ａａ一１ｂｂ一１ｂ＝ｂ－１口８～ｂ，即ｂ－１ｎｎ一１５Ｓｏ～ｂ．这样得到Ｃ－ｔＣ≤＋ｂ－ｌｂ由≤＋的相容性得ｃ＝ｃｃ－１ｃ≤＋ｃ６一ｂ．令Ｃ＝ｔ２－１ｔ２十ａ－ｌｂ，则有
ａ－ｌａ＋ａ－１６Ｓ＋（ｏ一１ａ＋ａ－１ｂ）ｂ～１ｂ＝ａ－Ｉ口＋ａ－ｌｂ＋ｂ－
１６，
显然ａ－ｌａ＋ａ－ｌｂ＋ｂ－１６≤＋ａ一１ａ＋ａ－ｌｂ，从而
（９）
ａ－１（８＋ｂ）＝ａ－ｌａ＋口一１６＝ａ－ｌａ＋ａ－ｌｂ＋ｂ－
ｌｂ．
设ｄ∈Ｓ，并且ｄＳ＋ａ一１ｎ，ｄ５＋ａ一１ｂ，ｄ≤＋ｂ一１ｂ，由引理２．１得ｄ－１≤＋ｂ－ｌａ，出≤＋的
相容性得
ｄ＝ｄｄ一１ｄ＜。

ｄｂ一１ａｄ＜。

ｂ一１ｂｂ－ｌａａ－１ａ＝ｂ－１０．
从而，有ｄ≤＋ａ一１ａ＋ａ．１ｂ＋ｂ一１ａ＋ｂ一１ｂ＝∞＋６）－１（ｎ＋６）．不妨取ｄ＝ａ－１ａ＋ａ－１ｂ＋ｂ～ｂ，显然０＋酚－１（。

＋６）≤＋。

８＋ａ－：ｂ＋ｂ－：ｂ，由（９）式得
（盘＋６）一１（Ⅱ＋ｂ）＝ａ－１０＋ａ－１ｂ＋ｂ－１ｂ＝ａ－１ａ
＋６）
交换ｏ．ｂ角色有ｂ。

（ｄ＋ｂ）＝（ｎ＋６）“（ｎ＋６）．
（ｉｉｉ）＝号（ｉ）．只需证明≤＋＝Ｓ．对任意的ａ，ｂ∈Ｓ，设ｏ≤＋ｂ，则由（ｉｉｉ）得
ａ＝ｎ＋ｂ＝（ａ４－∞０＋∞一１沁＋６）＝∞＋６）（ｎ＋６）
一１ｂ
由≤的定义有ａ≤ｂ，从而Ｓ＋≤≤．
对任意的ａ，ｂ∈Ｓ，设ｎ≤ｂ，由≤．的定义有Ⅱ＝（ｔ－１ａｂ，则ａ＋ｂ＝ａ－１ａｂ＋ｂ＝（Ⅱ－１ｎ＋
砷－１）６．由（ｉｉｉ）和引理２．４（ｉ）知：对任意的ｅ，ｆ∈Ｅ（固，有ｅ＋ｆ＝ｅ（ｅ＋ｆ）ｆ（ｅ＋ｆ）＝ｅ厂
从而（ａ－Ｉａ＋砧。

）６＝ａ－１ａｂｂ。

ｂ＝ａ－１ａｂ＝ａ，即ａ＋ｂ＝ｎ．由≤＋的定义有ｏＳ
十ｂ，从
而，≤∈Ｓ＋．这样得到≤＋＝≤．由逆半环的定义得ｓ是逆半环。

６
设Ｓ是半群，Ｅ（Ｓ）是ｓ的幂等元之集，若对任意的ｄ∈ｓ，ｅ∈Ｅ（ｓ），由ｅｃｌ（ａｅ）∈
Ｅ（ｓ）可得口∈Ｅ（曰，则Ｓ称为左（右）Ｂ酉的．若Ｓ既是左Ｅ－酉的又是右昂酉的，则Ｓ称为Ｅ一酉的．
上文给出了完全正则半环酌定义，特别地，若完全正则半环Ｓ的乘法半群是带，
则Ｓ称为幂等元半环．设Ｓ是幂等元半环，若（Ｓ，）是半格，则Ｓ称为交换的幂等元
半环．在文献ｆ１ｏ】中，作者证明了交换的幂等元半环是单演双半格．本文中，为了推
广这一结果，需要如下引理：
引理２．６若ｓ是逆半环，则对Ｖａ∈Ｓ，ｅ∈Ｅ（ｓ），有ｅ＋。

∈Ｅ（Ｓ）
＾
证明对任意的口∈Ｓ，ｅ∈联ｓ），由Ｓ∈ｓ￡得ｅ＋ａ≤十ｅ，由Ｓ＋＝Ｓ得ｅ＋ａＳｅ．
由偏序≤．的定义知存在，∈Ｅ（Ｓ），使得ｅ＋ｎ＝ｅ，∈Ｅ（ｓ），即ｅ＋ｏ∈Ｅ（Ｓ）
命题２７若Ｓ是半环，则下列命题等价：
（ｉ）Ｓ是幂等元半环；
（ｉｉ）Ｓ是逆半环，并且（ｓ，・）是日一酉的；
（ｉｉｉ）ｓ是单演双半格．
＋
证明（ｉ）＝＝争（ｉ虮设ｓ是幂等元半环，则对任意的ｅ，，∈Ｓ，由Ｓ∈ｓ￡得到
ｅ＋ｆ≤＋８，ｅ＋，Ｓ＋－，，由≤＋＝≤，得ｅ＋．，≤ｅ，ｅ＋，≤．，，因此
ｆｅ＝ｆｅ＋，ｅ
＝，（ｅ＋，）ｅ
＝ｅ＋，
＝，＋ｅ．
从而：Ｓ是单演双半格．
（ｉｉ）＝ｊ（ｉｉｉ）．设Ｓ是逆半环，对任意ｅ∈Ｅ（ｓ），ａ∈Ｓ，由（６）式得（ｅ十ｏ）。

（ｅ＋ｎ）一
ａ－Ｉ（ｅ＋。

），给上式两边取逆得（ｅ＋。

）－１（ｅ＋ｏ）＝（ｅ＋ｎ）－１０，给上式两边左乘ｅ＋ｎ得
ｅ＋Ⅱ＝（ｅ＋Ｑ）（ｅ＋口）一１ｎ．由引理２．６得（ｅ＋ｄ）（ｅ＋口）一１ａ∈Ｅ（ｓ），由（Ｓ，・）的Ｅ一酉性
得ｄ∈岳（ｓ）．由口的任意性，有Ｓ＝刀（占）．从而，由引理２．４（ｉｉ）得Ｓ是单演双半格．（ｉｉｉ）＝辛（ｉ），（ｉｉｉ）哥（ｉｉ）显然成立．
§２．２面ｎｉ中的半环
上文已阐述了逆半环成为单演双半格的等价命题，接下来给出壶ｎｉ中的半环成
为分配格的充要条件．
７
设≤】和≤２是集合ｓ上的两个偏序关系，若（。

，ｂ∈Ｓ）ｎ≤扣＝ｊａ＜＿２ｂ，则称≤２
是≤１的延拓．
引理２．８设Ｓ∈由ｎｉ．若≥＋是ｓ的延拓，且（１）式成立，则≥。

＝≤，其中
≥＋表示Ｓ＋的逆序．
证明由≥＋是≤的延拓知：≤￡≥＋．从而，只需证明芝＋曼≤．设ａ．ｂ∈Ｓ
且
ｂ≥＋ａ（１０）
则有ａ＝ａ＋ｂ．由逆元的唯一性和（１）式得ａ－１＝（ａ＋６）。

＝ｏ＿１＋ｂ～，又由≥＋得
ｂ－１≥＋ｏ～．
从而，给（１１）式两端分别左、右乘ｂ以及给（１０）式两边左乘ｋ＿１得
ｂ＝ｂｂｌ晓＋ｂａ。

ｂ≥＋ｂａ。

ｏ
由≤的定义知ｂａ“口≤ｂ，再由Ｓ．∈≥＋得
６０。

Ⅱ≥＋ｂ．
结合（１２）式和（１３）式有
ｂ＝ｂａ一１０．
这样，给（１１）式两端分别左乘以ｂ－１ｂ和右乘以ａ得
ｂ－１ｄ＝（ｂ－１ｂ）ｂ一１。

≥＋（６—１ｂ）。

１ｎ＝６。

（６口。

１０）＝ｂ－ａｂ．
进一步，在（１１）式中分别取ｂ＝ｂ－ｌａ和ａ＝ｂ－ｌｂ，有
ａ－ｌｂ＝（ｂ－ｔ。

）－１≥＋（６。

６）“＝ｂ－ｌｂ．（１１）（１２）（１３）ｆ１４）（１５）（１６）
又（１１）式两端右乘以ｂ，有ｂ－１ｂ≥＋ａ～ｂ．结合上两式有ａ－ｌｂ＝ｂ－１ｂ．由文献（１４】命
韪５．２．１（５）得逛ｏ．从雨２－＋ＳＳ．故≥＋＝≤．．
上
引理２．９设Ｓ∈ｓｇｎｉ．若≥＋＝≤，则Ｓ是分配格．
证明对任意的Ⅱ，ｂ∈Ｓ，显然。

≥＋ａ＋ｂ由≥＋＝Ｓ和引理２．１得ｏ．１≤（。

＋６）～
由文献ｆ１４ｌ命题５．２．１得ａ一１＝Ⅱ一１ｎ（ｏ＋６）～．同理可得ｂ＿１＝ｂ－１ｂ（。

舶）～．设ａｃｂ，由
文献『１４１命题５．１．２知ａ－Ｉａ＝ｂ－１６．从而Ⅱ一１＝口－１ａ（ａ＋６）。

＝ｂ－１６∞＋６）－１＝ｂ－。

．
８
由逆元的唯一性得ａ＝ｂ．这样得到Ｓ的每个￡．类只有一个元紊．由文献ｆ１４１定
理５．１．１知Ｓ的每一个￡－类只有一个幂等元，从而ａ∈Ｅ（Ｓ）．由。

的任意性可得
Ｓ＝Ｅ（ｓ）．
对任意的ｅ，工ｇ∈Ｓ有ｅｌ＜ｅ，ｅ９Ｓ…ｅ由≥＋＝≤得ｅ＋ｅｆ＝ｅ＝ｅ＋ｅｇ．从而
（ｅ＋，）（ｅ＋ｇ）＝ｅ＋ｆｅ＋ｅｇ＋ｆａ＝ｅ＋ｆ９这样，（Ｓ，＋，．）是分配格．根据引理２．８和引理２．９有
定理２．１０若Ｓ∈ｓ￡ｎｉ，则下列命题等价：
（ｉ）≥＋是ｓ的延拓和（１）式成立；
（ｉｉ）≥＋＝≤；
陋）Ｓ是分配格．
由文献［１０］知双半格簇Ｂｉ有三个非平凡真子簇，分别为单演双半格簇Ｍ，分配格
簇Ｄ和ＭＶＤ．上文已经对Ｍ和Ｄ中的半环进行了讨论，下面从偏序角度对ＭＶＤ
中的半环进行刻划．由文献【１０】直接有
引理２．１１设ｓ是双半格，则Ｓ是ＭＶＤ中的成员，当且仅当Ｓ满足
（ｒｅ，＾ｇＥＳ）（ｅ＋，）（ｅ＋ｇ）＝ｅ＋，９
从而有
命题２，１２设Ｓ是双半格，则Ｓ∈ＭＶＤ，当且仅当
（Ｖｅ：ｆ，ｇ∈Ｓ）ｅ≤ｆ考ｅ＋ｇＳｆ＋ｇ．
证明辛．设Ｓ∈ＭＶＤ，取ｅ，，∈Ｓ并且ｅ≤，．则对任意的ｇＥ
Ｓ，由引理２１１
得（ｅ＋９）（，＋９）＝ｅｆ＋９＝ｅ＋ｇ，从而ｅ＋ｇ≤ｆ＋９．乍．对任意的ｅ，，，９∈Ｓ，显然ｅ１９≤（ｅｆ＋ｅｇ）≤ｅ，由（Ｓ，＋）是半格得ｅ＋ｅｆａ＋如≤ｅ＋（ｅｆ＋ｅｇ）＋，９≤，ｅ＋ｆ９．而ｅ＋ｅ，９＋ｆｇ＝ｅ＋，夕，这样得到
ｅ＋．ｆａ＝ｅ十（ｅ，＋ｅ９）＋，ｇ＝（ｅ＋，）（ｅ＋ｇ），
由引理２．１１知Ｓ∈ＭＶＤ．
９
第三章Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环
本章首先阐明了完全正则半环是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，证明了０一群半环是仅有的次直积
＋
不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环；对Ｓ￡ｎｃ中的半环进行了讨论，得到了一些结果．§３．１Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环的性质和结构
回想一下，逆半群Ｓ称为Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群是指对任意的ａ∈Ｓ有ａ－１ａ＝ｎ口～也就是说Ｓ的幂等元集合Ｅ（Ｓ）是中心的，亦即，对任意的ａ∈Ｓ和ｅ∈Ｅ（Ｓ）有ａｅ＝ｅａ．若Ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，则由文献１２１］引理ＩＶ．２．３知ｓ是完全正则的，并且是群的半格．
设Ａ为一非空集合，Ｐ为Ａ上的二元关系，对任意的ａ∈Ａ，儿表示ａ所在的ｐ
类．
设Ｓ是逆半群，定义Ｓ上的二元关系弘如下：
ａ＃ｂ错（Ｖｉｅ∈Ｅ（Ｓ））ａ－Ｉｅ。

＝ｂ－１ｅｂ．
由文献［１４】引理５．３．６可知：弘是逆半群ｓ上最大的幂等分离同余，并且ｐ∈Ｍ，
从而有如下的引理：
引理３．１设Ｓ是逆半群，则Ｕ《ｇ（ｓ）芦。

是ｓｒ的最大Ｃｌｉｆｆｏｒｄ子半群．
证明首先证明ｕ。

∈Ｅ（ｓ）ｐ。

是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群．设口∈Ｕ。

∈Ｅ（ｓ）卢。

，则３ｅ∈Ｅ（ｓ），使得
８∈ｐ。

，即对任意的，∈Ｅ（固，由ｐ的定义有ｎ－１，。

＝ｅｙｅ＝ｅ／，给上式两边左乘ｎ得
ｎｏ。

ｆａ＝ａｅｆ由弘。

∈日ｅ和文献【１４】引理２．３．２得ａｃ＝ｅａ＝ａ和ｄｏ。

＝ａ－１ａ＝ｅ
这样得到加＝ａｆ．由，的任意性知Ｅ（Ｓ）是Ｕ。

Ｆ（ｓ）他的中心．由，是中心元和
ｆａａ－１＝ａｆａ－１得ａｙａ－１＝ｅｙｅ，由“的定义有ａ“肛ｅ．对任意的ｂ∈№，９∈Ｅ（ｓ）．有
ｂ－１亿一１９ａ）ｂ
ｂ“（ｅｇｅ）ｂ
ｂ－１９ｂ
＝ｅ９ｅ・
由“的定义可知ａｂ∈№，从而ｐ。

是群．由ｅ的任意性知Ｕ。

∈Ｅ（Ｓ）ｔｚ。

是群的半格，由文
献［２ｌ】定理ＩＶ，２，４知ｕ。

∈Ｅ（ｓ）弘。

是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群．
下面证明Ｕ。

∈Ｆ（ｓ）肛。

是Ｓ最大Ｃｌｉｆｆｏｒｄ子半群．
１０
不妨设Ｓ＋是Ｓ的任一Ｃｌｉｆｆｏｒｄ子半群，则对任意的Ⅱ∈Ｓ＊，存在ｅ∈Ｅｆｓ），使
ｃｌａ。

２。

－１口
ｅ．对任意的，∈Ｅ（ｓ），我们有ｎａ一１，＝ｅ，由Ｓ＋是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，２
有
ａ－１如＝ｅ，ｅ，即ｏ∈№．由。

的任意性得Ｓ‟￡ＵｅｅＥ（ｓ）＃。

．故ｕ。

∈Ｅｆ鼬ｐ。

是Ｓ的最大
Ｃｌｉｆｆｏｒｄ子半群．
设ｓ是逆半环，若Ｓ的乘法半群是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，则Ｓ称为Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．上文
讨论了逆半群与Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群之间的荧系，下面给出逆半环成为Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环的等价
命题．
命题３．２设Ｓ是逆半环，则下列命题等价：
（ｉ）（Ｖａ∈Ｓ）ａａ＿１＝ａ－ｌａ；
（ｉｉ）Ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环；
（ｉｉｉ）ｓ满足（Ｖａ，ｂ∈Ｓ）ａ＋曲：ａ＋ｂｎ．
证明（ｉ）＝毒（ｉｉ）．显然成立．
（ｉｉ）—｝（ｉｉｉ）．设Ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，对任意的Ⅱ，ｂ∈Ｓ，由引理２．６和幂等元是中心
的得。

（ｎ＿１０＋６）
∞一１ｎ＋６）ｎ
ａ一１Ⅱ２十ｂａ
＝ｏｎｑⅡ＋ｂａ（ｏｏ～＝ａ－ｌａ）
ｏ＋扫ｏ．
（ｉｉｉ）＝＝争（ｉ）．对任意的ａ∈Ｓ，由（ｉｉ）有。

＝Ⅱ＋ｄｎ一１０＝ｏ＋ａ－１Ｇ２，即Ⅱ墨＋ｎ—１０２
由≤一＝５．得ｎＳ．口一１ｎ２，由Ｓ的相容性得口ｎ一１≤．（／－１口８８—１≤ｎ—ｌ口类似她，可以
得到ａ－ｌｇ≤ａａ～．从而ｎａ～１＝Ｇ－１ｎ．
设ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，显然占是完全正则半环．下面欲证完全正贝口半环是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ
半环．
设ｓ是完全正则半环，由定义知：Ｓｅｇｅ，≤＋＝ｓ．结合文献［２１Ｊ定理ＩＶ，１６直接
有
引理３．３设ｓ是完全正贝４半环，则下列命题成立：
（ｉ）（＂Ｃａ，ｂ∈Ｓ）ａ＋ｂ≤＋ａ，ａ＋ｂ茎＋抚
（ｉｉ）Ｓ＋＝≤；
（ｉｉｉ）≤与ｓ的运算相容，即（Ｖｎ，ｂ，ｃ∈Ｓ）ａ５ｂ＝号ａ＋ｃ≤ｂ＋ｃ，ａ
ｃ
ｓｂｃ：ｃａ≤
ｃ６：
（ｉｖ）Ｓ是ｎｏｒｍａｌｃｒｙｐｔｉｃ完全正则半环．
定理３．４若Ｓ是完全正则半环，则ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．
证明设Ｓ是完全正则半环ｉｅ，ｆ∈Ｅ（ｓ），则ｅ十，Ｓ＋ｅ，ｅ＋，Ｓ＋ｆ．由Ｓ＋＝＝≤
有ｅ十ｆＳｅ，ｅ＋ｆ≤．厂这样得到
ｅ＋，＝（ｅ＋，）ｅ，
ｅ＋，＝（ｅ＋ｆ）ｆ，ｅ＋ｆ＝ｅ（ｅ＋，），ｅ＋，＝，（ｅ＋，）．（１７）（Ｌ８）（１９）（２０）
由（１７）式和（１８）式得
（ｅ＋，）（ｅ，）＝（（ｅ＋ｆ）ｅ）ｆ＝ｅ＋
ｆ．
类似地，由（１９）式和（２０）式得
（２１）
（ｅｆ）（ｅ＋ｆ）＝ｅ＋ｆ．（２２）
再由ｓ∈玉，（２１）式和（２２）式得
（ｅ，）２一（ｅ，）（ｅ＋ｆ）（ｅｆ）＝ｅ＋ｆ．
由ｅ＋ｆＳ．ｅ和文献【２１Ｊ引理ＩＩ．４．６得
ｅ＋ｆ＝（ｅ１）２∈Ｅ（Ｓ）．（２４）
这样得到（ｅ，）２是（ｓ，・）的子群（晓，，・）的恒等元，从而，由（２２）式和（２３）式得
ｅ，（ｅ，）２
（ｅ，）（ｅ＋ｆ）
ｅ＋ｆ＝（ｅ，）２
这表明ｅ，∈Ｅ（ｓ），由（２３）式得Ｅ（Ｓ）是Ｓ的子半环．既然Ｅ（Ｓ）是幂等元半环，由定
理２，７得Ｅ（Ｓ）是单演双半格和（Ｅ（ｓ），－）是半格，这样得到（Ｓ，・）是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，因此Ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．
１２
容易看到，并非任意Ｃｈｆｆｏｒｄ半群都是某个Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环的乘法半群，非平凡群就是～个明显的例子．这也就是说，非平凡的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环的乘法半群一定不是群．设
Ｇ是群，给Ｇ添加零元素０，记Ｇｏ＝ｃｕ｛０）．显然Ｇｏ是半群，并且是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半
群．称Ｇｏ为０一群．对任意的ａ，ｂ∈Ｇｏ，定义Ｇｏ上的加法“＋”运算如下：
ｏＪ口。

≠６∈Ｇ。

，。

＝ｂ∈Ｇｏ，
容易验证（Ｇｏ，＋）是半格，对任意的ｃ∈Ｇ０，由群Ｇ中消去律成立得
如＋∞＝｛：。

寡篙：，
而
∞＋曲
＝
，
●
ｔ
，
、
●
Ｉ
Ｌ０
∞
ｏ≠ｂ∈Ｇｏ，
ａ＝６∈Ｇｏ
从而，ｃ（ａ＋ｂ）＝ｃ。

＋ｃｂ成立，类似地有（ａ＋６）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ．则（Ｇｏ：＋，・）是半环，并且Ｇｏ是ＳＰｎｃ中的半环．对任意的ａ，ｂ∈伊，若Ｇ＜＋６，则ａ＋６＝Ｇ，由加法定义得ａ＝０或ａ＝ｂ从而有Ⅱ≤．ｂ，这样得到≤＋∈Ｓ．若ａ≤．ｂ，则由≤的定义知
ａ＝ａａ～ｂ，则ａ＝ｂ或ａ＝Ｏ。

从而≤￡Ｓ＋，这榉得到≤＋＝≤．．由Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环的定义
知（Ｇ。

，＋，・）是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．由于（Ｇ。

，・）是ｏ＿群，故把这样的半环称为Ｏ一群半环．设Ａ是～个代数，著恒等关系和泛关系是Ａ仅有的两个同余，则Ａ称为同余自由
的．显然，若Ａ是同余自由的，则Ａ是次直积不可约的．从而有
命题３．５Ｏ一群半环是同余自由的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环。

并且是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．
证明如果Ｇ是平凡群，那么Ｇ。

是２元素的半格并且Ｇｏ是同余自由的．否
则，Ｇ是非平凡群．设Ｐ是Ｇ０的非恒等同余，我们将证明ｐ是伊的泛同余．设
ｄ，６∈Ｓ，ｎ≠ｂ，ｂ≠０，并且ａｐｂ，则ａｂ。

ｐｌ并且ａｂｈｌ≠１。

由文献【１３】引理２．３得０；１＋ｎ６—１ｐ１＋１＝１，从而，对任意ｃ∈Ｇｏ，有Ｏｐｃ．即Ｐ是Ｇｏ的泛同余．这样就证
明了Ｇ０是同余自由的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．因此是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．
设Ｐ是半群Ｓ上的同余关系，Ｐ的迹（ｔｒａｃｅ）是指Ｐ在Ｓ的幂等元集合Ｅ（３）上的限制，记Ｐ的迹为ｔｒｐ，即有ｔｒｐ＝Ｐｌｚ（ｓ）．
下面将证明０一群半环是仅有的次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．为了证明这一结果，
引入以下引理：
１３ａ＋ｂ：ｊ
引理３．６设ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，若ｓ上的同余Ｐ的迹ｔｒｐ是Ｅ（Ｓ）上的恒等关
系，则ｐ是恒等同余．
证明设ｐ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环ｓ的同余，并且Ｐ的迹ｔｒｐ是ｚ（ｓ）上的恒等关系，那
么盎ｓ到ｓ／ｐ的自然同态是幂等分离周态，由文献１１３］命题１．８知该自然同态是单
同态．因此。

Ｐ是恒等同余．
既然Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环上的每一个同余都是正规同余，由文献【１３】定理２．４得
引理３．７映射Ｐ—＋ｔｒｐ是由Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环ｓ上的同余格到Ｅ（Ｓ）上同余格的同
构映射，
引理３，８若ｓ是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，则Ｅ（ｓ）是次直积不可约的单演双半格．
证明设Ｓ是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，并且Ｐ是Ｓ上最小的非恒等同余，
则对ｓ的任一非恒等同余７７，有Ｐ￡日和＊ｒｐ垦ｔｒｚ２．由引理３．６和３．７得ｔｒｐ是半格
Ｅ（Ｓ）上最小的非恒等同余，也就是说半格Ｅ（Ｓ）是次直积不可约的单演双半格．
定理３．９０－群半环是仅有的次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．
证明由命题３．５知０一群半环是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，从而只需证明若
５‟是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环，刚Ｓ是０，群半环．
设Ｓ是次直积不可约的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环．由引理３．８得Ｅ（Ｓ）是次直积不可约的半格，从而Ｅ（町是２元素半格．不妨令该２元索半格为｛ｏ，１）并且０≤ｌ对任意
的ｏ∈Ｓ，显然有１＋ａ≤＋。

，由≤＋＝≤．得到１＋ａ≤ｆｔ．因此存在ｅ∈Ｅ（Ｓ）使得１＋ａ＝ｅｏ．由引理２．６知：１＋ａ＝ｇａ∈Ｅ（Ｓ）．从而有
０＝ｏ（１＋。

）＝Ｏ（ｅａ）＝（Ｏｅ）ａ＝Ｏａ．
这表明０是ｓ的零元素，从而有凰＝｛ｏ）和Ｇ＝Ｈｔ．这就证明了（Ｓ，，）是。

一群．
故Ｓ是０一群半环．
推论３．１０每一个Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半环是０一群半环的次直积．
§３．２盘ｎｅ中的半环
设ｓ∈曲ｎｅ和。

∈＆Ｅ（Ｓ）表示Ｓ的乘法半群（Ｓ）的幂等元之集，ｎｏ表示８所在的爿一类中的恒等元．由于（Ｓ，＋，ｔ）是完全正则的，故对任意的。

∈Ｓ，有
ａ０＝ａｆｔ一１＝ａ一１ａ
１４
根据文献【１４１定理ＩＩ．５．３和文献［２１］＿定理４．２．１知：如果（Ｓ，・）是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，
那么Ｓ是纯整群．从而有Ｅ（Ｓ）＝｛ｎｏ】口∈毋，由文献』１４）定理４．２．１和纯整群的性质 得（Ｖａ，ｂ∈Ｓ）（ａｂ）ｏ＝ａＯｂｏ．
设ｓ是半环，Ａ，Ｂ为ｓ的两个非空子集，则Ａ＋口表示集合｛ａ＋ｂｌａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ１，ＡＢ表示集合｛０６Ｉｎ∈Ａ，ｂ∈Ｂ）．若Ａ是单元素集合，不妨设Ａ＝｛ｎ），则Ａ＋Ｂ＝
ａ＋Ｂ＝｛ｎ＋ｂ伸∈Ｂ）［ＡＢ＝ａＢ＝｛口ｂｌｂ∈Ｂ）］．
设Ｓ ＣＳｇ ｎＣ，Ｓ的子集Ｑ＝｛ｎｌⅡ∈Ｓ，ａ＋ｎｏ＝。

０）
由ｅ的定义显然有
０＿１＝（ｏｂ－１∈研＝｛ａｌａ∈Ｓ，ｎ＋口ｏ＝Ⅱ）．从而，有如下的性质： 性质３．１ｌ设Ｓ∈Ｓｇｎｅ，则：
（ｉ）ＱｎＱ＿１＝Ｅ（Ｓ）；
（ｉｉ）Ｑ是（ｓ，・）的子半群；
（ｉｉｉ）（Ｖｚ∈Ｓ）ｚｏｚ一１∈Ｑ．
证明（ｉ）由Ｑ的定义，显然有Ｅ（Ｓ）￡０．从而，只需证明如果ｎ
Ｅ叭曰（ｓ），那么
ａ－１隹Ｑ＼Ｅ（ｓ）．假设１７，，ａ＿１∈Ｑ＼Ｅ（ｓ），由Ｑ定义有ａ－１＋。

ｏ＝ｎｏ和ａ＋ａｏ＝ａｏ．给
口一１＋ａｏ＝ａｏ两边同乘８得。

＋扩＝。

．从丽有口＝。

＋口ｏ＝矿∈昱（Ｓ）．这与假设矛
盾．故ａ－１岳Ｑ＼Ｅ（ｓ），这就证明了Ｑｎ Ｑ＿１＝Ｅ（ｓ）．
（戤设ａ，６∈０，由Ｑ定义有ｎ＋８０＝ｏｏ，ｂ＋ｂｏ＝ｂＯ，从两
曲＋ｆａｂ）ｏ＝ａｂ＋ａｏｂｏ
＝ａｂ＋∞＋ｎｏ）（６＋６０）
＝曲＋ｎ６＋ｎ泸＋ａｏｂ＋ａｏｂｏ
＝０６＋ｏ矿＋ａｏｂ＋Ｃｔｏｂｏ
＝扣＋扩）（６＋ｂｏ） ＝８０６０
＝（ｏｂ）ｏ
由Ｑ的定义得ｄ６∈Ｑ．故Ｑ是（Ｓ，・）的子半群．
（ｉｉｉ）．对任意８∈Ｑ由Ｑ的定义有口＋扩＝口ｏ．对任意ｚ∈Ｓ，给上式两边左乘ｚ， 右乘ｚ４得ｚｏ。

＿１＋∞ｏｚ＿１＝ＸＣ】Ｊ０２Ｃ～．由文献【１４１命题５．１．２知。

ｏｚ。

∈Ｆ（ｓ），从 而，由ｓ是纯整群和文献ｆ１ ４］定理４．２．１得ｘａｏｘ－１＝扛ｎｏ。

－１）ｏ＝ｘ０扩一＝（ｚ。

ｚ。

）ｏ这样有ｚｏｚ一１＋（￡∞－１）ｏ＝（ｚｎｚ＿１）ｏ，由Ｑ的定义得ｘａｘ＿１∈Ｑ．由ａ的任意性有
（Ｖｚ∈Ｓ）ｚＱｚ一１∈Ｑ． １５
由Ｑ的性质出发，有如下的定理：
定理３，１２设ｓ∈壶ｎｅ，定义ｓ上的二元§关系如下：
（Ｖｎ，ｂ∈ｓ），ｎ≤．ｂ｛＝＝｝ｏｏ墨ｂｏ，ｂａ一１∈Ｑ
则（Ｓ、・，≤。

）是偏序Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群．
证明对任意的口，坟ｃ∈Ｓ，由８０∈Ｑ和扩≤．ｔ２０得口刍ｏ．设ｎ≤。

６，６Ｓ．口．由
≤。

定义知ｏｏ＝６０．由ｎ≤＋ｂ得６。

一１＋ｎ０＝扩，上式两边右乘ａ有ｂ＋ａ＝ｏ．类似地
由ｂ≤。

ｏ可得口＋ｂ＝６．由（Ｓ，＋）是半格得ｎ＝ｎ＋ｂ＝６＋ｏ＝ｂ．设ｎＳ＋ｂ，ｂ≤，ｃ．由≤。

的定义知护≤．ｂｏ，ｂｏ＜ｃ０，由Ｓ．的传递性有ｎｏ≤Ｃｏ．由Ｓ＋
的定义有ｂｎ～，ｃｂ－１∈０．根据性质３．１１（ｉｉｉ）得ｅｂＯａ一１∈Ｑ，既然６ｎ一，ｃｂ一１∈Ｑ，即
ｃｂｏｃｚｏｏ一１∈Ｑ．由８０≤ｂｏ得６０扩＝ｏｏ，从而有ｃ。

一１∈Ｑ由≤＋的定义知Ⅱ≤，ｃ．这样
就证明了≤。

是Ｓ上的偏序关系．
设ｎ，ｂ，ｄ∈Ｓ，且ｏ≤＋ｂ，由≤。

的定义和ｄＯ∈Ｑ得６ｎ一１ｄ。

∈０和ａ。

ｄａ＜。

ｂｏｄｏ．由
Ｅ（ｓ）是Ｓ的中心可得ｂａ。

ｄＯ＝ｂｄｏⅡ。

ｄ＝（６ｄ）（。

ｄ）。

∈Ｑ．由（Ｓ，．）是纯整群和文献［ｔ４】定理４．２．１得（。

ｄ）。

＝ａｏｄｏ＿＜６０扩＝（６回ｏ．由≤．的定义知ａｄ§妊类似地可得
如≤＋ｄｂ．由偏序逆半群定义知（Ｓ，・，≤．）是偏序Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群．
＋
若ｓ∈ｓｚｎｃ，由文献［２１ｊ定理ＩＶ．２．４知“是ｓ的乘法半群＠．）上的半格同
余，从而有如下的引理：
＋
引理３．１３设Ｓ∈ｓｌｎｃ，则氕是ｓ上的同余当且仅当ｓ满足
（Ｖａ，ｂ∈Ｓ）（。

＋ｂ）ｏ＝ｎｏ＋ｂｏ
ｉｉｌ！明充分性．对任意的ｎ，ｂ∈ｓ，有ｏ∈风ｏ，ｂ∈觑。

．由裔是Ｓ上的同余得
ａ＋ｂ∈或。

＋批由引理２．４知ａＯ＋ｂｏ∈Ｅ（固，从而由幺元素的唯—性有如＋∞ｏ＝口ｏ＋６０必要性．设ｏ，ｂ∈ｓ且Ⅱ饨ｂ．对任意的ｃ∈ｓ，有（８＋ｃ）ｏ＝ｏｏ＋ｃ０和（６＋ｃ）ｏ＝ｂｏ＋ｃｏ，
从而（８＋ｃ）０＝（６＋ｃ）ｏｒ由。

心６得扩＝６０，从面有ｏ＋ｃ７；［ｂ＋ｃ．由（ｓ，＋）是半格和
文献【１４】定理４．２，ｌ得Ｒ是ｓ上的半环同余．
设Ｓ是半环，若Ｓ的乘法半群是群，则ｓ称为除半环。

除半环的全体用Ｏ表示．
由引理３．１３有：
推论３．１４若ｓ∈壶ｎｅ，且砖是半环同余，则茏是ｓ的双半格同余，并且每一
个心一类是除半环．
１６
引理３．１５若ｓ∈ＳｇｎＧ．对任意的ｏ，ｂ∈Ｓ，在偏序Ｓ＋下，ａ（ａ＋６）＿１ｂ是口和
６的最小上界．
＋
证明在证明此引理前，需要明确下面的事实：若Ｓ∈ＳｇｎＧ，则对任意的ｏ，ｂ∈
Ｓｎ≤＋ｂ｛＝：｝６—１≤＋口～．设。

，ｂ∈Ｓ并且。

Ｓ＋６，由Ｓ＋的定义有。

＋ｂ＝矗
用ｌｓ表示㈣－）上的幺元素．给ｎ＋６＝口左右两端分别右乘ｏ＿。

、左乘６－１得ｂ－１ｎ。

一１＋ｂ－１ｂａ一１＝ｂ－ｌｎｏ～．进一步有ｂ－１１ｓ＋ｌｓａ一１＝ｂ～１ｓ，由（只－）是群得
ｂ－１＋口－１＝ｂ～由≤＋的定义得ｂ－１≤＋口一．对偶地，若６。

≤＋ｏ～，则有ｎ≤ｏ成立
下面证明此引理．
对任意的ｏ，ｂ∈Ｓ有ｂ－１（。

＋ｂ）ａ＿１＝ｂ－１＋Ｏ，－１≤＋ｎ～，由上述证明知ｎ≤＋（６＿１（ｎ＋
６）ｎ。

）－１＝。

缸＋６）。

６，交换口和ｂ得角色，类似地得到６＜＋（ａ。

（口＋ｂ）ｂ＿１）。

＝
ｂ（ｎ＋６）一１ａ．由∞（ｎ＋６）－１６）一１＝ｂ－１＋ｏ一１＝（６（。

＋６）一１。

）一１得ｎ（凸＋６）一Ｌ６＝６沁斗６）一１ｎ下面证明ａ（ａ＋砷－１ｂ是。

，ｂ的最小上界．不妨设存在ｃ∈Ｓ使得ｎ≤＋ｃ，６≤＋ｃ．
由上述证明知Ｃ－１≤＋Ⅱ－１＋ｂ。

＝ｂ－ｔ（０＋ｂ）ａ＿。

，进一步有ｏ＠＋６）。

６≤．ｃ这样得到
ａ（ａ＋６）＿１ｂ是ａ和ｂ的最小上界．
由引理３，１５有
命题３．１６若Ｓ∈ＳｇｎＣ，并且Ｈ是Ｓ的半环同余，则ｓ＝ＱＱ－１＝０－１Ｑ
证明对任意的。

∈Ｓ，由（乩，＋，・）是ｓ￡ｎＧ中成员和引理３．１５有ａ（ａ＋ｎｏ）一１口ｏ＝ｎ（８＋ｎｏ）－１是。

与扩的最小上界，显然ａ＝ｎ（。

十扩）－１（口＋扩），由
ａｏｓ＋。

（。

＋扩）“和≤＋的定义得ａ０＋。

（ｎ十ｎｏ）一１＝ａｏ．由Ｑ的定义有ａ（ａ＋ａｏ）＿１∈Ｑ．
从而
显然有。

＋口。

＝盘＋。

０＋ａ０，由０～１的定义得８＋。

ｏ＋ａｏ＝ｏ
＋８０∈Ｑ～
由ｑ是ｓ的子
，ｏ＝ａ（ａ＋ａ０）。

（ｎ＋ａｏ）∈ＱＱ～，由ｎ的任意性
得ｓ∈ＱＱ一
集显然有ＱＱ－１∈ｓ，从而得到Ｓ＝ＱＱ～，类似地，可得Ｓ＝Ｑ＿１Ｑ．这样，就有
占＝０印＿１＝Ｑ４Ｑ．
结合定理３１２和引理３．１３有
定理３．１７若ｓ∈ｓｅｎｅ，Ｅ（ｓ）是单演双半格，并且“是ｓ上的半环同余，则
茎＋＝Ｓ；．
证明对任意的ｏ，ｂ∈Ｓ，设ｏ≤＋ｂ．由偏序≤＋的定义知ｂ＋ａ＝ｎ，从而有（。

舶）ｏ＝
ｎｏ．因为矗是Ｓ上的同余，由引理３．１３知（ｎ＋６）ｏ＝ａ０＋ｂｏ由Ｅ（ｓ）是
单演双半
格，有ｏｏ＋ｂｏ＝ｏｏｂｏ＝ａ０．从而，由Ｓ定义知ａＯ＜ｂｏ．给ｂ＋ｎ＝ａ两边右乘ａ－１得
ｂａ～１＋口ｏ＝Ⅱｏ由Ｓ，的定义有口≤。

ｂ。

从而得到Ｓ＋￡≤＋。

１７
对任意的Ⅱ，ｂ∈Ｓ，设。

≤ｔｂ．由≤。

的定义知ｏｏ茎ｂｏ，ｂａ＿１∈Ｑ由ｏｏ≤ｂｏ和（ｓ，‟）
是纯整群得ｎｏ＝一ｂｏ＝（ｎ６）ｏ．因为Ｅ（Ｓ）是单演双半格，所以有
ａｏ＝ａｏｂｏ＝ａｏ＋ｂｏ＝（ａｂ）ｏ＝（６口）。

由ｂａ一１∈Ｑ知她一１＋（６ｎ）ｏ＝（ｂａ）ｏ，从而有６ｎ一１＋。

ｏ＝ａｏ，即ｂｂｏａ一１＋ａｏ＝ａｏ，给上式两边右乘ｎ得６。

ｏ＋。

＝ｏ，亦即（ｂ＋Ⅱ）口ｏ＝ａａｏ＝ｏ．又由他是Ｓ上的同余得
ｎ＋ｂ∈玩。

柙＝Ｚ０６。

＝也。

，这样得到（ｂ＋ｄ）。

０＝ｂ＋。

＝ｏ，由≤＋的定义有ａＳ＋ｂ，从而，有§∈≤＋．由上证明知：≤＋＝≤。

．
综上所述有如下的推论：
＋
推论３．１８若Ｇ∈Ｓ￡ｎＧ，贝０≤＋＝≤，．
推论３．１９若Ｓ∈玉ｎｅ，饨是Ｓ上的半环同余，则下列命题等价
（ｉ）Ｑ＝Ｅ（固；
（ｉｉ）≤．＝Ｓ＋‟
（ｉｉｉ）Ｓ＝Ｅ（ｓ）．
１８
第四章壶ｎＥｅ中的半环
设Ｓ是逆半群，且Ｓ是Ｂ酉的，则Ｓ称为Ｂ酉逆半群．特别地，若Ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，则ｓ张为口酉Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群．用ＥＣ表示全体Ｅ一酉Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群所构成的半
群类，Ｓ￡ｎＥＣ表示加法半群是半格、乘法半群是Ｂ酉Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群、并且乘法半
群上的Ｇｒｅｅｎ一７－／关系州是半环同余的半环类．本章主要研究了ｓ￡ｎＥｅ中的半环，
刻划了其性质，证明了ｓ￡ｎＥＣ中的半环是ｓ￡ｎＧ中一族半环的坚固双半格，给出
了其次直积分解．
§４．１出ｎＥＯ中半环的性质
设Ｓ是逆半群，定义Ｓ上的二元口关系如下：
ａ，ｂ∈Ｓ，ａａｂ兮（３ｅ∈Ｅ（ｓ））ｏｅ＝ｂｅ，
由文献［１４】命题５．３．２可知一是逆半群上的最小群同余，即酬盯是群．
引理４．１若ｓ∈ＳｇｎＩ，则口是ｓ上晟小的除半环同余．
证明由Ｏ－定义知口是（Ｓ，・）上最小的群同余，只需证明ａ是（ｓ，＋）上的同余．任
意的。

，ｂ∈Ｓ，若ａＪ６，刚ｊｅ∈Ｅ（￥，使得。

ｅ＝ｂｅ对任意的ｃ∈Ｓ有ｄｅ＋ＣＣ＝ｂｅ＋Ｃｅ，即（ａ＋ｃ）ｅ＝（ｂ＋ｃ）ｅ，由口的定义得（ａ＋ｃ）口（ｂ＋ｃ），由（ｓ，＋）是半格得Ｏ－是（ｓ、＋）上的同余．从而。

是半环同余，由于（彤正・）是群，故（彤正＋，，）是除半环．
由文献【２ｌ】引理ＩＩ．３．３可知：若Ｓ是正则半群，并且Ｐ是ｓ上的幂等纯同余，则
ｐｎＨ＝△（△表示恒等关系】例如若Ｓ是Ｂ酉逆半群，则。

ｎ矸＝△，由。

的定义
和Ｅ－酉性显然对任意ｅ∈Ｅ（ｓ），口。

＝Ｅ（ｓ）．
从而直接有如下引理：
引理４．２若Ｓ是Ｅ一酉逆半群，且ｏ，ｂ∈Ｓ，ａａｂ，则ａｂ～，ａ－ｌｂ∈Ｅ（ｓ）．
＋
ｇｌ理４．３若Ｓ∈ＳｇｎＩ，口，ｂ∈Ｓ，且ａａｂ，贝０
（８４－∞缸十∞一１＝ｕ，ａ一１＋ｂｂ一１ｊ
（。

＋６）一１（ｎ４－ｂ）＝ａ－１０＋ｂ－Ｘｂ
１９（２５）（２６）
证明对任意的口，ｂ∈Ｓ，若口口６，则ａａ－１十ｂｂ一１ｓ＋ａａ－１．由＜十的相容性有
ｎｄ一１＋ｂｂ一
≤＋（ａａ一１十的一１ｌ∞ｌ一１
１
ｆａ＋口ｏ～１ｂ）ａ～１
（ｎ。

一１十ｎ口一１ｂａ一…１
ｏｏ一１＋施～１
蚰．。

类似地，有。

一１＋ｂｂ一１≤＋ａｂ～．叉
Ⅱ（ｏ＋ｂ）～＝［（Ⅱ＋６）Ⅱ。

】＇１＝【。

Ⅱ～１＋ｂａ一１】一ｌ：ｏｎ一１＋ｂａ－ｌ，
类似地６（ｎ十６）“＝ｂｂ一２＋ｄ６～．这样有
∞＋∞（Ⅱ＋６）一１一ｏ（ｏ＋∞一１＋６∞＋６）一１
＝ａａ一１＋ｂａ一１＋ｂｂ～１＋ｎｂ－１
一（ａａ＿１十ｂｂ一１）十（６Ⅱ一１十口６—１）。

由ｏ。

一１＋ｂｂ一１曼＋ｂａ一１和ａａ－１＋ｂｂ一１≤＋口ｂ～１得（。

＋６）（Ⅱ十６）一ｌ＝血凸一１＋６６—１，类
似地有∞＋∞。

０＋５）＝ｎ—ｌ。

＋ｂ－１６
综上所述有
引理４．４若ｓ∈壶ｎｅ，Ｓ的乘法半群是Ｅ一酉的，且Ⅱ，６∈ｓｎ∞，则
（。

＋６）。

＝ｎ～１＋ｂ一１
证明若ｏ，ｂ∈Ｓ，。

ａｂ・则显然有。

一１０＇ｂ～，由（２５）式得（。

～１＋ｂ一１）～１（ｎ一１＋ｂ一１）：
ｎｎ。

＋ｂｂ。

＝扩＋护．由引理４．３和（Ｓ．）是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群得
（ｏ。

＋６—１）（△十∞（口一１＋ｂ－１）：（ｏ一１０＋扫一１厶＋６—１０＋口～１６）∞～１＋占一１）
（。

－。

ｎ＋ｂ一１６）（。

一１＋６—１）
（。

ｏ＋泸）（口一１＋ｂ一１）
（。

一１十６—１）（。

一１＋６—１）＇１（ｏ一１＋６—１）。

一１＋ｂ～．
类似地得到（ｏ＋６）（ｎ一１＋ｂ一１）（。

＋ｂ）＝ｏ＋ｂ，从而ａ－１＋ｂ一１是ｎ＋ｂ的逆元素
由逆元的唯一性得如＋约一ｊ：。

一‟＋６～．
引理４．５若Ｓ∈ｇ“］Ｅｅ，任意的口∈Ｓ，则列命题等价：
（砂（３ｅ∈Ｅ（￥）ｅｑ－口∈昱（ｓ）；
（ｉｉ）Ｅ（Ｓ）＋ａ∈Ｅ（Ｓ）；
ｆｉｉｉ）矿＋口＝ｎ．
证明（ｉ）＝｝（ｉｉ）ｅ＋Ⅱ∈Ｅ（ｓ），则口。

＋。

＝Ｏ＂ｅ．对任意的，∈Ｅ（ｓ），由引理４．１得ｏｒ／＋ｎ＝Ｏｅ＋。

＝％＝町，由饵・）的Ｂ酉姓得，＋８∈Ｅ（固，由‟，的任意性知Ｅ（ｓ）＋ａ冬Ｅ（Ｓ）．
（ｉｉ）净（ｊｉｉ）．设ｎ∈日，，由Ｈ是半环周余得ａ＋ｆ∈Ｈ，＋，＝Ⅳ，由（ｉｉ）得ａ＋Ｉ∈Ｆ（ｓ），
从而Ⅱ＋ｆ＝，，给上式两边右乘ａ得Ⅱ２＋，ｏ＝，ｏ，即。

２＋ｎ＝ｏ．（ｉｉｉ）号（ｉ），显然成立．
§４２壶ｎＥｅ中半环的结构
若ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，ｅ，，∈Ｅ（ｓ）且，≤ｅ，则由文献［１４】命题５．２．１知对任意的
ｎ∈巩，存在唯一的ｂ∈毋，使得ａｆ＝ｂ，由文献【１４］命题４．２１知Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群是群
的强半格，从而，在Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群的子群之间存在同态映射．
设Ｓ是Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，任意的ｅ，，∈Ｅ（ｓ），，≤ｅ，定义映射如下：
【Ｐ。

｜：Ｈｅ＿Ｈｆａ＿ｎ｝
对任意的８，６∈坟，（口６）蛾，，＝ｎ６，，由Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群的幂等元是中心静得∞，＝ａｆｂｆ＝（Ⅱ）妒。

，，（６）妒ｅ，，．从而妒。

，，是皿到日，的同态映射．
如果ｓ是口酉的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ半群，那么两个子群闯的周态映射％，（，≤ｅ）为单周
态、因为；若Ⅱ，ｂ∈（，）妒若，则。

，＝，，６，＝，，由Ｓ是口酉的得ｏ，ｂ∈Ｅ（ｓ），又困
△，ｂ∈皿，从而ａ＝ｂ＝ｅ．设ｂ，Ｃ∈皿并且（口）妒＾Ｊ＝（６）‰Ｊ则（Ｄｂ～１）妒。

，＝ｆ，由
上知ａｂ＿１＝ｅ，即有ａ＝ｂ．故妒。

ｒ为单同态．
从而有如下命题：
士
命题４．６若Ｓ∈ｓ￡ｎＥｅ，Ｖａ，ｂ∈Ｓ，则下列命题等价：
（ｉ）ａａｂ；
（ｉｉ）（９ｅ，，∈Ｅ（ｓ））Ⅱ妒。

，酊＝却加，；
（ｉｉｉ）（△＋６）一１＝。

一１＋６～，
证明（ｉ）辛（ｉｉ）．若ａ，ｂ∈Ｓ，ａｃｒｂ．由口的定义知｜９∈Ｅ（ｓ），使得ａ９＝ｂｇ由（Ｓ，．）是Ｃｈｆｆｏｒｄ半群知ｊｅ，，∈Ｅ（￥，使得ｏ∈月。

，ｂ∈月，，从面有ａｅ９＝８ｒｅ，给上式两边
２１。