华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似练习题

第二十三章图形的相似
1. [2019兰州]已知2x=3y(yw0),则下列结论成立的是(
) c X 2 x
B. -= _
C._=
3 y
3. [2019哈尔滨]如图 23—Y —1,在△ ABC 中，D, E 分别为 AB, AC 边上的点，DE
// BC, F 为BC 边上一点，连结AF 交DE 于点G,则下列结论中一定正确的是 (
)
AD_ AE
AG_ AE A. AB = EC
B.G F = BD c BD CE
AG AC C.AD -AE D .AF -EC
图 23 —Y — 1 4. [2019眉山]“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四 寸，问井深几何？”这是我国古代《九章算术》中的“井深几何”问题 ，它的题意可以由图 23-Y-2获得，则井深为( )
A. 1.25 尺
B. 57.5 尺
C. 6.25 尺
D. 56.5 尺
图 23 —Y —2 5. [2019绵阳]为测量操场上旗杆的高度
，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原 理.她拿出随身携带的镜子和卷尺
，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身 子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端
巳标记好脚掌中心位置为 B,测得脚掌中心位置 B 到镜 面中心C 的距离是50 cm,镜面中心C 距离旗杆底部 D 的距离为4 m,如图23—Y —3所示.已 知小丽同学的身高是 1.54 m,眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是 4 cm,则旗杆DE 的高度为
( )
A . 10 m B. 12 m
C. 12.4 m
D. 12.32 m
图 23 —Y —3
6. [2019 遵义]如图 23—Y —4, △ ABC 的面积是 12, D, E, F, G 分别是 BC, AD, BE, CE 的中点，则4AFG 的面积是( )
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
图 23—Y —4 7. [2019邵阳]如图23 —Y —5所示，三架飞机P, Q, R 保持编队飞行，某时刻在平面 直角坐标系中的坐标分别为 (一1, 1), (—3, 1), (—1, —1).30秒后，飞机P 飞到点P' (4 3)的位置，则此时飞机 Q, R 的位置Q ； R'分别为( )
A. Q' (2, 3), R (4, 1) B, Q' (2, 3), R (2, 1)
C. Q' (2, 2), R ' (4, 1) D, Q' (3, 3), R' (3, 1)
图 23 —Y —5
8. [2019海南]如图23—Y —6,在平面直角坐标系中，4ABC 位于第二象限，点A 的 坐标是( — 2, 3),先把△ ABC 向右平移4个单位得到△ A I B I C I ,再作与△ A 1B 1C 1关于x 轴对 称的△ A 2B 2C 2,则点A 的对应点A 2的坐标是( )
八x 3 A. 一=
二 2. [2019河北]若4
对应角/ B 的度数相比( A .增加了 10% C.增加了 (1 + 10%)
ABC 的每条边长增加各自的 )
B.减少了 10%
D.没有改变 10%得到△ ABC ；则/ B 的度数与其
A. (-3, 2) B, (2, -3)
C. (1, — 2)
D. (-1, 2)
图23 —Y —6
9.[2019齐齐哈尔]经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定
义为原三角形的“和谐分割线”.如图23—Y —7,线段CD是△ ABC的“和谐分割线” ，△
ACD为等腰三角形，4CBD和4ABC相似，/ A= 46° ,则/ACB的度数为 .
图23 —Y —7
10.[2019 潍坊]如图23 —Y —8,在△ ABC 中，AB^AC, D, E 分别为边AB, AC 上的点，AC = 3AD , AB= 3AE,点F为BC边上一点，添加一个条件： ,可以使得^ FDB 与4ADE相似.(只需写出一个)
图23—Y —8
11.[2019内江]如图23—Y—9,四边形ABCD中，AD// BC, CM是/ BCD的平分线，且CM LAB, M为垂足，AM =《AB.若四边形ABCD的面积为则四边形AMCD的面积是3 7
图23 —Y —9
12.[2019百色]如图23-Y-10,在正方形OABC中，。

为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(2, 0),将正方形OABC沿着OB方向平移^OB个单位，则点C的对应点的坐标为.
图23-Y- 10
13.[2019绥化]如图23—Y —11,顺次连结月^长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连结所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，…，如此操作
下去，则第n个小三角形的面积为.
图23-Y-11
14.[2019宿迁]如图23—Y—12,在△ ABC中，AB = AC ,点E在边BC上移动(点E 不与点B, C 重合)，满足/ DEF = /B,且点D, F分别在边AB, AC上.
(1)求证：△ BDE^ACEF;
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分/ DFC.
图23-Y- 12
15.[2019凉山州]如图23-Y-13,在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ ABC三个顶点的坐标分别为A(-1, 2), B(2, 1), C(4, 5).
(1)画出△ ABC关于x轴对称的^ A I B I C I；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△ A2B2C2,使△ A2B2c2与△ ABC位似，且相似比为2,并求出△ A2B2c2的面积.
图23-Y- 13
16.[2019 泰安]如图23—Y—14,四边形ABCD 中，AB = AC=AD, AC 平分/ BAD, P是AC延长线上一点，且PD，AD.
(1)求证：/ BDC = Z PDC;
(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE：CP=2：3,求AE的长.
图23-Y- 14
教师详答
1. A ［解析］A.两边都除以2y,得：=3，故A 符合题意；
B.两边除以不同的整式，故B 不符合题意；
C.两边都除以2y,得：=2,故C 不符合题意；
D.两边除以不同的整式，故D 不符合题意.
故选A.
2. D ［解析］,「△ ABC 的每条边长增加各自的 10%得△ABC', ABC 与△ A B C 的三边对应成比例，
・ .△ ABCs^ A' B' C',
. B=/ B'.
故选D.
3. C ［解析］A. . DE//BC, ..△ADE S ^A BC,，弟=强，故 A 错误； AB AC
B. . DE//BC, AG= AE,故 B 错误； GF EC
C. .. DE//BC, .•.BD=CE,故 C 正确；
AD AE
AG AE D. .DE//BC, AGE^A AFC,，AF = AC ，故 D 错误.故选 C.
4. B ［解析］设 AE 与 BC 交于点 F.依题意有△ ABFs^ADE, /.AB ： AD = BF ： DE , 即 5： AD = 0.4： 5,解得 AD = 62.5, •. BD = AD — AB= 62.5—5= 57.5(尺).故选 B.
5. B ［解析］由题意可得：AB = 1.5 m, BC=50 cm= 0.5 m, DC = 4 m, △ ABC^A EDC, 则祟=BC,即瞿=呼，解得DE=12(m).故选B.
DE DC DE 4
6. A ［解析］.「□, E, F, G 分别是 BC, AD, BE, CE 的中点，
AD 是^ABC 的中线，BE 是△ ABD 的中线，CE ACD 的中线，AF 是△ ABE 的中 线，AG 是△ ACE 的中线，
・ •.△ AEF 的面积=1XA ABE 的面积=1XA ABD 的面积=1 X △ ABC 的面积=3,
2 4 8 2
同理可得^ AEG 的面积=3
, 2，
・ BCE 的面积=-XAABC 的面积=6.
1 3
・ •.△ EFG 的面积=4X △ BCE 的面积=
・ •.△ AFG 的面积是 3X 3 = 9.
故选A.
7. A ［解析］由点P(—1, 1)到P' (43)知，编队需向右平移 5个单位，再向上平移2 个单位，，点Q(—3, 1)的对应点Q 的坐标为(2, 3),点R(-1, —1)的对应点R 的坐标为(4,
2
又「 FG 是^ BCE 的中位线，
1).故选A.
8. B ［解析］如图所示.
9. 113° 或 92° ［解析］•. △BCD^ABAC,
・ ./ BCD = Z A = 46° .
••• △ ACD 是等腰三角形，/ADC >/ BCD, ・ ./ ADOZ A,即 ACwCD.
1 。

。

。

①当 AC=AD 时，/ ACD = /ADC =2>< (180 -46 ) = 67 , ・ ./ ACB = 67° + 46° = 113° .
②当 DA=DC 时，/ACD=/A= 46° ,
・ ./ ACB = 46° + 46° = 92° , 故答案为113°或92° .
10. 答案不唯一，如DF // AC 或/ BFD = Z A 等
ADE^A ACB,，/AED = /B.
①当 DF//AC 时，△BDFs^BAC, ・ .△ BDF^A EAD.
②当/ BFD = /A 时，.・/B = /AED, ・ .△ FBD^A AED.
11. 1 ［解析］延长BA, CD,交点为E.
. CM 平分/ BCD, CM LAB, ，MB=ME.
1 ••AE BE. 4
. AD//BC, EAD^A EBC,
.S A EAD 1
.. ---- =— 8A EBC 16'
,o
15
15 • • 8 四边形 ABCD = 16s A EBC= 7 , 1 D 1 . 2S A EBC -S AEAD = 2>< -7 — 7=1.
故答案为1.
12. (1, 3)［解析］•••在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点C 在y 轴正半轴上，点A 的坐标为(2, 0),
.-.OC = OA=2, .1.C(0, 2).
1 ............
•••将正万形 OABC 沿着OB 万向平移：OB 个单位，即将正方形OABC 先向右平移1个单 位，再向上平移1个单位，
・••点C 的对应点的坐标是(1, 3).
故答案为(1, 3).
1
13 .^1 ［解析］记原来三角形的面积为 S,第一个小三角形的面积为 6,第二个小三角
［解析］:/A=/A AD AE _ _ ----- _ _
'AC AB 1 3' c 16 S A EBC= 7 EAD=5X ±1
16一
S 四边形AMCD = 1 ••AE =3AB,
形的面积为S2, ••. Si = -^S= -zS,9=：Si = ：：S=^S, S B=A S,
111 1
「•Sn=严.s=产X「X 2 X 2= 2刀-1.
1
故答案为22nl.
14.［解析］(1)根据等腰三角形的性质得到/ B = /C,根据三角形的内角和以及平角的定
义得到/ BDE = Z CEF,于是得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到能=罂，等量代换得到集=普，根据相似三角形的性质Or 11 Lyi
t r
即可得到结论.
证明：(1)「AB = AC, B=Z C.
•.Z BDE = 180 -Z B-Z DEB, ZCEF= 180 -Z DEF - Z DEB,
又「/DEFn/B, .•./ BDE = Z CEF ,
「.△ BDE^ACEF.
(2)-. ABDE^A CEF, .,能=照
Or 11
.「E 是BC 的中点，.-.BE=CE,
,CE_ DE
''CF= EF-
・••/ DEF = Z B, . DEF =Z C,
・.△ DEF^AECF,
・./ DFE = Z CFE,
FE 平分/ DFC.
15.［解析］(1)画出点A, B, C关于x轴的对称点Ai, Bi, Ci即可解决问题；
(2)连结OB并延长，使得OB=BB2,同理可得点A2, C2, △々B2c2就是所求作的三角形.
解：⑴如图所示，△A I BQ就是所求作的三角形.
(2)如图所示，4A2B2c2就是所求作的三角形.
. A(-1, 2), B(2, 1), C(4, 5), 4A2B2c2与4ABC 位似，且相似比为2,
•■-A2(-2, 4), B2(4, 2), C2(8, 10),
111
SAA2B2C2= 8x 10--X 6X 2--X 4X8--X6X 10=28.
2 2 2
16.解：(1)证明：: AB=AD, AC 平分/BAD, ••• ACXBD,
••.Z ACD + Z BDC=90 .
AC = AD, Z ACD = Z ADC ,
••.Z ADC + Z BDC =90 .
••• PDXAD, ADC + Z PDC = 90 ,
•./ BDC = Z PDC.
(2)过点C作CMLPD于点M.
•••/ BDC = Z PDC ,
.•.CE=CM.
•. Z CMP = Z ADP = 90°, Z P=Z
P,
「.△ CPM^A APD, 设
CM = CE = x,
--- CE : CP = 2 : 3,
••・ AB=AD = AC= 1 ,
2
3-
CM_CP
AD--AP-
CP = |x.
3
2X
3 '
]x+ 1
解得X1 = ；, X2=0（舍去），即CE=3，故AE = 1—g 3 3 3。