等比数列及其前n项和 高考考点精讲

1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －
1.
3．等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·
b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列．
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性
(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1<0，
0<q <1
时，{a n }是递增数列．
(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．
(3)当⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．
(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )
(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )
1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q 等于( )
A ．－12
B ．－2
C ．2 D.12
答案 D
解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1
2
.
2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C
解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.
4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q ，由题意知，
243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2＝________.
答案 －11
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，
∴S 5S 2＝a 1(1－q 5
)1－q ·1－q a 1(1－q 2)
＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )
A ．2
B ．1 C.12 D.1
8
(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n
a n ＝________.
答案 (1)C (2)2n －1
解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2
4，
又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝1
4q 3，解得q ＝2，
所以a 2＝a 1q ＝1
2
.故选C.
(2)∵⎩⎨⎧
a 1
＋a 3＝5
2，a 2
＋a 4
＝5
4
，∴⎩⎨⎧
a 1
＋a 1q 2
＝5
2， ①
a 1
q ＋a 1q 3
＝5
4
， ②
由①除以②可得1＋q 2
q ＋q 3＝2，
解得q ＝1
2
，代入①得a 1＝2，
∴a n ＝2×(12)n －1＝4
2n ，
∴S n ＝2×[1－(12)n ]
1－12＝4(1－1
2n )，
∴S n
a n ＝4(1－12n )
4
2n
＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则
S 5等于( )
A.152
B.314
C.334
D.172
(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)B (2)3n －
1
解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ·a 1q 3
＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＝9q ＝－13(舍去)，
∴S 5＝a 1(1－q 5
)1－q
＝4(1－1
25)
1－12
＝31
4.
(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1q n －
1＝3n －
1.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.
又⎩
⎪⎨⎪⎧
S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －
1，
∴
a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34
， 故{a n 2n }是首项为12，公差为3
4的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －
2.
引申探究
若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，
∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)
又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，
故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －
1＝2n ，∴a n ＝2n －1.
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．
已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明：{a n ＋1
2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；
(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3
2
.
证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋1
2)．
又a 1＋12＝3
2
，
所以{a n ＋12}是首项为3
2，公比为3的等比数列．
所以a n ＋12＝3n
2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.
(2)由(1)知1a n ＝2
3n －1
.
因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －
1，所以13n －1≤12×3n －1.
于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1
＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.
题型三 等比数列性质的应用
例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.
(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9
S 3＝________.
答案 (1)50 (2)3
4
解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.
所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)
＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.
(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q
＝12，得q 3＝－12，
∴S 9S 3＝1－q 9
1－q 3＝34
. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝1
2，∴公比q ≠－1，
∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34
.
思维升华 等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18
C.578
D.558
答案 (1)C (2)A
解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.
(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝1
8，即a 7＋a 8＋a 9
＝18.
13．分类讨论思想在等比数列中的应用
典例 (12分)已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数
列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈N *)．
思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答
(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，
所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－1
2
.[2分]
又a 1＝3
2，所以等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·3
2n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－1
2n ， S n ＋1
S n
＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭
⎫－1
2n
＝⎩⎨⎧
2＋1
2n (2n ＋1)
，n 为奇数，2＋
1
2n
(2n
－1)，n 为偶数.
[6分]
当n 为奇数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13
6
.[8分]
当n 为偶数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25
12.[10分]
故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤13
6
.[12分]
1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 2
答案 C
解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)
2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.
2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23
D.23或－23
答案 C
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＝18，
a 1q 3＝8解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝27，q ＝
2
3
或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
＝－27，q ＝－2
3. 又a 1<0，因此q ＝－2
3
.
3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
答案 C
解析 设数列{a n }的公比为q ，
由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12
， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q
3n －
3＝324， 因此q 3n －
6＝81＝34＝q 36，
所以n ＝14，故选C.
*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D
解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝4.
∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里 答案 B
解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，
依题意有a 1(1－12
6)
1－12
＝378，
解得a 1＝192，则a 2＝192×1
2＝96，
即第二天走了96里，故选B.
6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32
C ．1
D ．－
32
答案 B
解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝
π3
3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)
＝log 3a 74＝7log 3
π
3
3＝7π
3
， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝
32
. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4
解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧
3S 3＝a 4－2， ①
3S 2＝a 3
－2， ②
由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4， 则q ＝a 4
a 3
＝4.
8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150
解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案
12n
解析 ∵a n ＋S n ＝1，①
∴a 1＝1
2
，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②
由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝1
2
(n ≥2)，
∴数列{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列，
则a n ＝12×(12)n －1＝1
2
n .
10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1
a n
，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024
解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3
a 2，
∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4
a 3
，
∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.
11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；
(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .
解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1) ＝
n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2
＝n 2
. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.
因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.
又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －
1＝2·4n －
1＝22n －
1.
从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q
＝23(4n －1)．
12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝1
4.
(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．
因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝1
2
.
故{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
因此a n ＝1
2
n －1.
13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n
－1，n ∈N *
. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .
解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n
， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴
a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝1
2
a n . ∵
b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋1
2a 2n －1
a 2n ＋a 2n －1＝1
2， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，
∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32
.
∴{b n }是首项为32，公比为1
2的等比数列．
∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝3
2n .
(2)由(1)可知，a n ＋2＝1
2
a n ，
∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝1
2为首
项，以1
2
为公比的等比数列，
∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝3－3
2
n .
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式
Δ＝b 2－4ac
⎩⎪⎨⎪⎧
>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.
2．圆与圆的位置关系
设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )
(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )
1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离
答案 B
解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|
22＋1＝5<6且2×1＋
(－2)－5≠0，
所以直线与圆相交但不过圆心．
2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )
A ．－43
B ．－3
4 C. 3 D ．2
答案 A
解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝
|1×a ＋4－1|1＋a 2
＝1，解之得a ＝－4
3.
3．(2016·西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴
|a －0＋1|
12＋(－1)2
≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.
4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17
答案 B
解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝52－4.
5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94
解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤9
4，当且仅当a ＝b 时取等号，
即ab 的最大值是9
4
.
题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离
D ．不确定
(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2
<1.
所以直线与圆相交．
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
已知方程x2＋x
tan θ－1
sin θ＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a
2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
答案相切
解析由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离d＝
|－ab| (a＋b)2＋1，而a＋b＝－
1
tan θ，ab＝－
1
sin θ，因此d＝
⎪
⎪
⎪
⎪
1
sin θ
⎝
⎛
⎭
⎫
－
1
tan θ
2＋1
，化简后得d＝1，故
直线与圆相切．
题型二圆与圆的位置关系
例2(1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．内切B．相交C．外切D．相离
(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
答案(1)B(2)(－22，0)∪(0,22)
解析(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|
2
，由几何知识得⎝⎛⎭⎫
|a|
2
2＋(2)2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
(2)圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)．
思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．
已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.
(1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切；
(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，
(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5， 故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为 2
(11)2－(|4×1＋3×3－23|42＋32
)2
＝27.
题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题
例3 (2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4
解析 设AB 的中点为M ，
由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－
3
3，由⎩⎨⎧
x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12
解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围
例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|
1＋k 2
<1. 解得4－73<k <4＋73.
所以k 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪
⎫4－73，4＋73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2
＝7
1＋k 2. OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝
4k (1＋k )
1＋k 2
＋8. 由题设可得4k (1＋k )
1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，
所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题
例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．
解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则
|1－2＋b |
2
＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则
|2－2＋m |
5
＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13
，
∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.
思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，
则|MN |等于( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝1
16
相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－
33 B ．－ 3 C.3
3
D. 3 答案 (1)C (2)A
解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →
＝(－3，－9)， 则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →
，即AB ⊥BC ，
故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，
解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.
(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝1
4
，
所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－1
4(不符合题意，舍去)．
由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝1
2，
又θ为锐角，所以sin θ＝
3
2
， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－3
3，
故选A.
7．高考中与圆交汇问题的求解
考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．
一、与圆有关的最值问题
典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →
|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.
33 B ．－33 C ．±3
3
D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →
＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →
|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.
(2)∵S △AOB ＝12
|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12
. 当∠AOB ＝π2
时， △AOB 面积最大．
此时O 到AB 的距离d ＝22
.
设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，
即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22
得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－
33)． 答案 (1)B (2)B
二、直线与圆的综合问题
典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.45π
B.34
π C ．(6－25)π D.54
π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，
∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．
∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36.
∴|AB |＝6.
(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．
设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，
则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线
2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
又|OD|＝|2×0＋0－4|
5
＝
4
5
，
∴圆C的最小半径为2
5，
∴圆C面积的最小值为π(2
5
)2＝
4
5
π.
答案(1)C(2)A
1．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条
答案 C
解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()
A．21 B．19 C．9 D．－11
答案 C
解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.
3．(2016·南昌二模)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为()
A. 2 B．2 C．4 D．2 2
答案 B
解析圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．
化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12
(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.
4．(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝0
答案 A
解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12
，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.
5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
答案 A
解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，
因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1
＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2
＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．
6．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )
A ．3－ 2
B ．4
C ．3＋ 2
D ．6 答案 C
解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，
于是有－k 2
－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1. 由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2
＝1， 即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2
＝322， 点P 到直线AB 的距离的最大值是322
＋1， ∴△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22
＝3＋2，故选C. 7．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．
答案 4π
解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝
x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2
.又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.
8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.
答案 22 解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，
∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．
当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.
答案 32
解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，
∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.
∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，
则|OP |＝2，
∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.
∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32
. 10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
答案 43
解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1
≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43
. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .
(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；
(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．
解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，
∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.
(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，
C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．
当l 的斜率存在时，设斜率为k ，
得l 的方程为y －3＝k (x －1)，
即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k
2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34
(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.
综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.
(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2
＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，
|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，
∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，
整理，得2x －4y ＋1＝0，
∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.
12．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．
解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，
表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．
N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，
表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆．
再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，
故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由|OO ′|＝2＝2a ＋a ，
求得a ＝22－2；
当半圆和圆相内切时，由|OO ′|＝2＝2a －a ，
求得a ＝22＋2，
故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，
a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.
*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C (a,0)(a >－52
)， 则|4a ＋10|5
＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2
k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1
. 若x 轴平分∠ANB ，
则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t
＝0
⇒k(x1－1)
x1－t
＋
k(x2－1)
x2－t
＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
⇒2(k2－4)
k2＋1
－
2k2(t＋1)
k2＋1
＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。