湘教版九年级下册数学 第2章 圆的切线的性质

(2)若 AB＝AC，CE＝2，求⊙O 半径的长． 解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C.
∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝90°， ∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝12OC. 设⊙O 的半径为 r，∵CE＝2，∴r＝12(r＋2)，解得 r＝2， ∴⊙O 的半径为 2.
第2章 圆
2.5.2 圆的切线 第2课时 圆的切线的性质
提示：点击 进入习题
新知笔记
(1)切点
答案显示
1C
2B
3A
4B
5A
6 5≤PB≤15 7 45 8 见习题 9 见习题 10 16
11 见习题 12 见习题 13 见习题
切线的性质： (1)圆的切线垂直于过__切__点____的半径． (2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3．【中考·泰安】如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA＝140°， 则∠ACB 的度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．70°
【点拨】如图，连接 OA，OB. ∵BM 是⊙O 的切线，∴∠OBM＝90°. ∵∠MBA＝140°，∴∠ABO＝50°. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝50°， ∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝12∠AOB＝40°.
【答案】(2＋ 2，1)或(2－ 2，1)或(2，－1)
10．【中考·鄂州】如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3，4)， 以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A，B 在 x 轴上，且 OA ＝OB.点 P 为⊙C 上的动点，∠APB＝90°，则 AB 长度的最 大值为__1_6_____．
11．【中考·济南】如图，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，BP 与⊙O 相交于点 D，C 为⊙O 上的一点，分别连接 CB，CD，∠BCD＝60°.
9．【易错题】如图，P 是抛物线 y＝x2－4x＋3 上的一点，以点 P 为圆心、1 个单位为半径作⊙P，当⊙P 与直线 y＝0 相切时， 点 P 的坐标为_____________________________．
【点拨】根据题意，得当 y＝1 时，x2－4x＋3＝1，解得 x＝ 2± 2.∴P 点坐标为(2＋ 2，1)或(2－ 2，1)，当 y＝－1 时，x2 －4x＋3＝－1，解得 x1＝x2＝2，∴P 点坐标为(2，－1)，则点 P 的坐标为(2＋ 2，1)或(2－ 2，1)或(2，－1)．本题易对⊙P 与 x 轴的相切的情形考虑不周全，遗漏部分点的坐标而导致错误．
解：如图②，连接 OD，OF. ∵DE，AF 是⊙O 的切线， ∴OF⊥AC，OD⊥DE.
又∵DE⊥AC，∴四边形 ODEF 为矩形，∴OD＝EF. 设 AF＝x，则 AB＝AC＝x＋3＋1＝x＋4， ∴AO＝AB－OB＝x＋4－3＝x＋1， ∵OF⊥AC，∴AO2＝OF2＋AF2. 即(x＋1)2＝9＋x2，解得 x＝4. 故 AF 的长为 4.
【点拨】∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°. ∵BC 为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. ∵AD＝CD，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C＝45°.
【答案】45
8．在△ABC 中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O 经过点 A，B， 与 BC 交于点 D，连接 AD.
(1)如图①，若 AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 AC 于点 E，连接 DE， 求∠ADE 的大小；
12．【中考·沈阳】如图，BE 是⊙O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 的延长线于点 C.
(1)若∠ADE＝25°，求∠C 的度数；
解：如图，连接 OA. ∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径， ∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°. ∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°， ∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.
解：如图①，连接 BE. ∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝75°. ∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°－∠BAC＝15°. ∵∠ABE＝∠ADE，∴∠ADE＝15°.
(2)如图②，若⊙O 与 AC 相切，求∠ADC 的大小． 解：如图②，连接 OA，OD. ∵AC 是⊙O 的切线，∴∠OAC＝90°. ∵∠ABC＝45°，∴∠AOD＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝45°. ∴∠DAC＝∠OAC－∠OAD＝45°. 又∵∠C＝60°，∴∠ADC＝75°.
解： DE 与⊙O 相切．证明： 如图①，连接 OD. ∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. 又∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．
(2)在(1)的条件下，若⊙O 与 AC 相切于点 F，交 AB 于点 G(如图 ③)．已知⊙O 的半径为 3，CE＝1，求 AF 的长．
【点拨】连接 OA，如图．∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠OAP＝90°. ∵OB＝3，∴AO＝3， 又∵∠P＝30°，∴OP＝6，∴BP＝6－3＝3.
【答案】A
6．如图，已知在半径为 5 的⊙O 中，点 P 为⊙O 外一点，切线 PA＝5 3，B 是⊙O 上的动点，则线段 PB 长的取值范围是 ________．
13．如图①，在△ABC 中，AB＝AC，O 为 AB 的中点．以 O 为 圆心，OB 为半径的圆交 BC 于点 D，过 D 作 DE⊥AC，垂 足为 E，我们可以证得 DE 是⊙O 的切线．
(1)若点 O 沿 AB 向点 B 移动，以 O 为圆心，OB 为半径的圆仍 交 BC 于点 D，DE⊥AC，垂足为 E，AB＝AC 不变(如图②)， 那么 DE 与⊙O 有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(1)求∠ABD 的度数；
解：方法一：如图①，连接 AD. ∵BA 是⊙O 的直径，∴∠BDA＝90°. ∵∠BAD＝∠BCD＝60°. ∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°. 方法二：如图②，连接 DA，OD， 则∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝12×(180°－120°)＝30°.即∠ABD＝30°.
(2)若 AB＝6，求 PD 的长度．
解：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP＝90°.
在
Rt△BAP
中，∵cos
∠ABD＝ABBP，∴cos
30°＝B6P＝
3 2.
∴BP＝4 3.在 Rt△BAD 中，
∵cos∠ABD＝BADB，∴BD＝AB·cos∠ABD＝6 cos30°＝3 3.
∴PD＝BP－BD＝4 3－3 3＝ 3.
【点拨】如图，连接 OA，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°， ∴OP＝ AP2＋OA2＝10.当点 B 在线段 OP 上时，PB 最小为 5， 当点 B 在线段 PO 的延长线上时，PB 最大为 15，∴PB 的长的 取值范围是 5≤PB≤15.
【答案】5≤PB≤15
7．【中考·益阳】如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于点 C，AD＝DC，则∠C＝ ________度．
【答案】A
4．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，连接 BD，若∠ACB＝50°，则∠ODB 等于( B ) A．40° B．50° C．60° D．80°
5．【中考·哈尔滨】如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线， A 为切点，PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段 BP 的长为( ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
1．下列说法正确的是( C ) A．垂直于切线的直线必经过切点 B．垂直于半径的直线是圆的切线中考·重庆】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C＝40°，则∠B 的度数为( B ) A．60° B．50° C．40° D．30°