6弹塑性力学基本求解方法

d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
r
ur r
2 ( r0 )3
r
ur r
( r0 )3
r
（-）压应变 （+）拉应变
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
由物理方程可得
r
2Gr
4G 1
( r0 r
)3
0
（压应力）
2G
EG 1
( r0 )3 r
0
（拉应力）
应变能密度(点)： U0
应力法：
以应力作为未知量进行求解的方法. 如何保证求解结果一定连续？
➢ 应力函数 (stress function)
应力表示的相容方程（平面问题）
借助平衡微分方程把剪应力去掉，即由物理方程
可得
2 ( x2
2 y 2
)(
x
y)
(1 )(X x
Y y
)
在常体力下
X Y 0 x y
于是有
2 ( x2
❖应力函数——半逆解法
解：分析：①水压 q gy ，单位坝体重 p gy
（ , 分别为水和密体的密度）
② 在OA面上无面力（自由表面），在OB面上受水压 q 作用（线性面力）， 因此，应力函数可以设计成坐标的三次函数。
(x, y) ax3 bx2y cxy2 dy3
（a, b, c, d为待定参数）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
8．如图，简支梁受自重作用，比重力r，那么函数
Ax2 y3 By5 Cy3 Dx2 y
能否作其应力函数？ 若能，求应力分量。
解：将代入双调和函数中，
可得只有当A+5B=0时，
才能满足 22 0 。
xy 0
y方向受单向拉应力作用（如图6-1（a））。
3．(x, y) cy2
(c 0)
满足相容方程 22 0
x 2c , y xy 0
x方向受单向拉应力作用（如图6-1（b））。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
4．(x, y) bxy
(b 0)
满足相容方程 22 0
第六章 弹性力学基本求解方法
弹性力学的基本求解方法
➢ 位移法：以位移作为未知量进行求解的方法
E 2u 1 2u 1 2v
1 2 (x2 2 y2 2 xy ) X 0
E 1 2
( 2v y2
1 2
2v x2
1 2
2u ) xy
Y
0
E 1 2
[( u x
v y
)s
m1 2
( u y
x y 0,
xy
2
xy
b
受纯剪应力作用 （如图6-1（c））。
5．(x, y) ax2 bxy cy2
(a,b, c 0)
满足相容方程 22 0
x 2c , y 2a , xy b
一般的平面应力状态（如图6-1（d））。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
③相容方程。
平面问题：（直角坐标系）
4
x4
2
4
x2x
2
4
y 4
0
或
22 0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 逆解法(inverse resolution)
思路：1. 假设出满足相容方程的应力函数；
2. 由应力函数求解出各应力分量；
3. 确定这些应力分量在边界上的分布，从而得知这
些假设的应力函数能解决什么问题。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
于是有应力分量：
③考察边界条件:
x x0 xy x0 0
gy
c d
0
1 6
g
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
在OA面上无应力，则
l( x )x ytg m( xy )x ytg 0 m( y )x ytg l( xy )x ytg 0 l cos m sin
1 2
ij
ij
1 2
( rr
)
6G
2 ( r0 r
)6
总应变能：
U
U0
4
r
2
dr
8
G
2r03
0r
（其中 、G、E为弹性常数）
第六章 弹性力学基本求解方法
6.2 弹性力学的基本问题
➢ 已知表面载荷，求应力场 、应变场 和位移 ——力的边值问题；
➢ 已知表面位移，求应力场 、应变场 ——位移边值问题；
➢ 已知部分边界载荷及部分边界位移，求应力场 、应变场 和位移 ——混合边值问题。 15个未知量：应力分量6个，应变分量6个，位移分量3个 15个方程：应力平衡微分方程（3），几何方程（6）， 物理方程（6） 理论上可解，实际上并不可解。为什么？
即当A=-5B时，题中函数 才可作应力函数。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是有应力分量：
x
2
y 2
30Bx2 y 20By3
6cy
y
2
x2
ry
10By3
2Dy
ry
xy
2
xy
30Bxy3
2Dx
利用边界条件：
((xyy
) )
y y
h h
/ /
2 2
0 0
h/2
(
M
)
x
2 y 2
)( x
y)
0
即 2 ( x y ) 0 ， 其中
物理意义：表征应力的连续性。
2
2 x2
2
y拉2 普拉斯算子）
可以证明，应力满足了相容方程，也就满足了应力平衡条件。
第六章 弹性力学基本求解方法
应力函数的引入
定义：
x
2
y 2
y
2
x 2
xy
2
xy
条件：① ~ ij ；
②应力平衡微分方程；
gyl 2bytg (6a ytg 2by
m0
gy)m
(2bytg
)
l
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
a b
g ctg
6
ctg2
2
3
gctg3
从而得坝体内的应力场为：
x gy
y ( gctg 2 gctg3)x ( gctg2 g) y
xy
例如：
1. (x, y) a by cx
(一阶)
2 2 2
0
x2 y2 xy
满足相容方程 22 0
x y xy 0
表示无应力作用的情况。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 应力函数——逆解法
2．(x, y) ax2
(a 0)
满足相容方程 22 0
x
2
y 2
0,
y
2
x2
2a ,
gxctg2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 位移法应用——错配球
如图，求金属体内错配球引起的应力场、应变场和应变能。
第六章 弹性力学基本求解方法
❖ 位移法应用——错配球
解：设基体为均质、各向同性体，基体质点半径为 r0,错配粒子为刚性
球, 半径为 r1 ，并有 r1 r0
则
r1
(1
)r0
,(
=
符合圣维南原理球对称问题的一般应力平衡微分方程由根据广义虎克定律可得对于应力平衡微分方程是r的函数与和无关故可写为代入几何方程和物理方程整理可得由几何方程可得压应变拉应变由物理方程可得压应力拉应力应变能密度点
第六章 弹性力学基本求解方法
6.1 弹性力学的基本方程
回顾： 应力平衡微分方程（3） 几何方程（6） 物理方程（6） 相容方程 边界条件方程
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——半逆解法
思路：根据弹性体边界形状及受力特点，假设部分应力分量，再由 部分应力分量推导出应力函数，由应力函数推导出全部应力分量，再考 察这些应力分量是否满足边界条件。
半逆解法例题： 如图，水坝受水压和自重作用，
求坝体内的应力场。
第六章 弹性力学基本求解方法
1 r
(2
r
) 0
（球对称问题的一般应力平衡微分方程）
由根据广义虎克定律r Nhomakorabea2Gr
2G
ur r
(
r
,
(1
E )(1
2)
拉梅常数)
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
由 u u 0 可得
ur , r
r
ur r
r
ur r
2 ur r
对于应力平衡微分方程， r 是r的函数，与θ和无关，故可写为
v x )s
]
X
1
E
2
[(
v y
u x
)s
l
1
2
(
v x
u y
)
s
]
Y
对于第一种边界条件 （平面问题）
对于第二种边界条件 （平面问题）
理论上可解，实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展，但这种思路在 解空间问题时很有用。可以证明，用这种方法求解的位移肯定是连续的。
第六章 弹性力学基本求解方法
6．(x, y) ay3
(a 0)
满足相容方程 22 0
x bay , y xy 0
受纯弯曲载荷作用（如图6-1（f））。
7．(x, y) ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
4
x4 24a ,
4
2 x2y2 8c ,
4
y4 24e
只有 24a 8c 24e 0 才能满足双调和函数的条件。所以4次 和4次以上的函数不能恒等地满足双调和函数的条件。