电路原理第9章第6节

当ZL Ze*q (2 j4)时，ZL可获得最大功率为
Pmax
U
2 oc
42
100W
12
（2）当g=-0.5S时，有
Uoc
1 2g g j( g
1)
US
0
一端口无输出功率
1 j3 Zeq g j( g 1) 2
（3）当g=1S时，有
Uoc 30 135V
Zeq (-1 j3)
复习
1. 正弦稳态电路的功率
有功功率：P UI cos 无功功率：Q UI sin
为电压和电流
视在功率：S UI
之间的相位差
2. 复功率
S UI* UI u i UI ZI 2 Y *U 2 P jQ
注意
（1）P、Q和S守恒而S不守恒；
（2）P、Q和S之间的关系 （3）复功率不代表正弦量。
+j S
jQ
O
P +1
（功率三角形）
1
【例9－11】图示电路外加50Hz、380V的正弦电
压，感性负载，吸收的功率P1=20kW，功率因数λ1=0.6。 若使电路的功率因数提高到λ=0.9，求在负载两端并接
的电容值（图中虚线所示）。
【解】
I
法1：根据复功率守恒原理求解。
设并联电容后电路吸收
的复功率为
提高功率因数cos ?
1 I I2
I1
U
7
9－6 最大功率传输
一、问题的提出
1
NS
U
1
I Z
Zeq
UOC
U
I
Z
1
1
(a)
(b)
根据戴维宁定理可将图(a)简化为如图(b)所示
的等效电路。 设Zeq Req jX eq，Z R jX
则负载吸收的有功功率为
P
(R
U
2 oc
R
Req )2 ( X
5
说明 若 功 率 因 数 角 Z -25.84（ 容 性 ） 时 ， 则 所 需
电容大，不太经济。
法4：根据相量图的几何图形求解，如图所示。
相量图中各角度取正值、各相量取模。
I2 I1 sin1 I sin
O
U
P1
cos1
sin1
U
P1
cos
sin
P1 U
(tan 1
tan )
( I)
(I2 )
功率三角形，如图所示
S1
根据复数相等的条件，
S SC
复功率方程分列为
Z
I
O Z1
1
S cos Z S1 cos ZI11 PI1C （有功功率）
式中
S
s
in
UZCS1 PsU1inj2R(tLaZn1
CU（21 无功
jC
Z1 tan Z )
功
率
）
Z arccos 25.84（ 感性）
R 86.60
2 0 C 31.85F
L 0.159H
14
法2：利用相量图助解
根据KVL可作出两种可能的
U1
电压相量图，如图所示
U2 US （U2）
由相量图得
1 120 2 0
i 90
法3：利用阻抗三角形求解
60 （U1）
Z 100 Z，Z1 100 Z1，ZC -j100
阻抗三角形如图所示
V1
【解】
法1：用相量 式直接求解
i
A
uS
R
L C
V2
-
由题意知US 200 60V，设U1 200 1V，U2 200 2V
I 2 i A ，从图中可列写出如下方程
200 60 200 1 200 2 解得：
j1
C
UI 100
2
i
Z1
U1 I
R
jL
100
1
i
1 120 i 90
当ZL Ze*q (-1 j3)时，ZL可获得最大功率为
Pmax
U
2 oc
4 (1)
225W（负载实际发出功率）
小结
作业
P249 9-21
13
【例9－5】图示电路中，uS 200
2
cos(314t
3
)V，电流表A的
读数为2A，电压表V1、V2的读数均为200V。求参数R、L、C，并
作出相量图。
I
戴维宁等效电路的参数为
Uoc
1 2g g j( g
1)
US
1 j3 Zeq g j( g 1)
11
1
1 2 2 1
- j1
gU10
I
US
j1
ZL
-
0
Uoc
1 2g g j( g
1)
US
1
1 j3 Zeq g j( g 1)
（1）当g=0.5S时，有
Uoc 20 2 90V Zeq (2 j4)
注意
Y Ye*q
Pmax
I
2 SC
4Geq
若配置条件不同，则负载获得的最大功
率也不同。
9
【例9-11】图示电路中的正弦电源 US 10 45V，
Z
可
L
以
任意Βιβλιοθήκη 变动。求ZL可
能
获
得
的
最
大
功
率
。
（分3种情况：g 0.5S，- 0.5S和1S）
1
1 2 2 1
- j1
US
j1
-
gU10
I
ZL I
0
解得
C
P1
U
2
(tan i
tan i1 )
式中，i Z，i1 Z1
4
i arccos 25.84（ 感性） i1 arccos 1 53.13（ 感性） 法3：根据等效导纳求解。
并接入电容C后有
Y Y1 YC
O Y1 Y
1
设Y Y
Y，Y1
Y1I
Y
，
1
而YC
jC ,
Y
则导纳三角形如 图所示。 I1
1 I
U
I2
I1
而
I2 CU
于是，由以上两式可得
C
P1
U
2
(tan 1
tan )
6
结论
1. 提高功率因数的方法
在感性负载两端并联容量适当的电容器。
2. 提高功率因数的意义
①提高了电源设备的利用率； ②减小了传输线上的损耗。
( I)
(I2 )
O
（1）是否并联电容越大， 功率因数越高？
（2）能否用串联电容的方法来
1
【解】求一端口的的戴维宁等效电路（采用一步法）。
若用电流源I替代ZL，则结点电压方程为
1 1-
j
1 j
1 2
U10
1 2
U20
US 1 j
1 2
U10
1 2
U20
gU10
I
10
1
1 2 2 1
- j1
gU10
I
US
j1
ZL
-
0
1
解得
U20
U11
1 2g g j( g
1)
US
1 j3 g j( g 1)
导纳方程分列U为 Y cosRY Y1
Y sinYjLY1 sin
IC
cYo1sj1CY（1C（实
部Y）1
虚部）
YC
又由于
Y1
cos
Y
1U
2
Y1
cosY 1U 2
P1
则得 式中
C
P1
U2
(tan Y
tanY 1 )
Y arccos 25.84（ 感性）
Y1 arccos 1 53.13（ 感性）
S
，
阻
抗
角
为
；
Z
U
支路1所吸收的复功率为S1，
I1 R
jL
IC
1
jC
阻抗角为 Z1; 电容吸收的复功率为SC，则有
S S1 SC
其中
SC jCU 2
S cos Z jS sin Z S1 cos Z1 jS1 sin Z jCU 2
2
S cos Z jS sin Z S1 cos Z1 j( S1 sin Z CU 2 )
故得
Z1 arccos 1 53.13（ 感性） C 374.51F
3
法2：根据KCL电流方程求解。
并入电容C后，根据KCL有
I I1 I2
O
令U 380 0V（参考相量），
I I iA（并联电容后）和
( I)
i
(I2 )
i1
i
I
U
I2
I2 jCU，相量图如图所示。
I1
根据
I 并有
复s in数Iic相osUI等U1iIs1的icnoI条1siIc1oi件1sjR，iCUL1电UI1I流c1 o(s有方(无Ii功1程jC功1分C分P分1量列量）为）
X eq )2
8
二、负载获得最大（有功）功率的条件
X X eq 0
X X eq
d
(
R
Req
)2
0
dR R
R Req
即
P
Z Req jXUeqo2cRZe*q
(R
PmRaxeq
) U2
2 oc
4 Req
(
X
X最eq佳)匹2 配（或
共轭匹配）
若用诺顿等效电路，则获得最大功率的条件为
根据阻抗三角形可得
Z 100 - 30，
Z
Z1 100 30 R 100cos 30 86.60
Z1 ZC
L 100sin30 0.159H
C 1 31.85F 100
15