平面向量数量积的坐标表示

求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=① x1x2+y1y2 ,即两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔② x1x2+y1y2=0 .
1.解决与向量的模有关问题的方法
(1)利用公式|a|=
求解,其中a=(x,y);
(2)利用数量积求模;
(3)利用公式a2=|a|2求解;
(4)利用表示向量的有向线段的起点、终点坐标和两点间的距离公式求解.
2.解决两向量夹角问题的方法
已知两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),利用公式cos<a,b>= 量夹角的余弦值,进而可求夹角.
·(x2,y2)=
.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
给出下列三个命题:
①a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则λ的取值范围为 ②设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=
; ;
③a=(4,-2),b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的坐标为
3.三个重要公式
(1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|=③
.
(2)两点间的距离公式:若点A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=④
.
(3)向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ
=
=⑤
.
重要结论 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a·b|≤|a||b|⇔|x1x2+y1y2 |≤ 2.设非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是± 其中正、负号分别表示与a同向和反向. 3.设非零向量a=(x,y),则与a垂直的单位向量的坐标是±
提示：当a与b的夹角θ为0°时,cos θ=1,此时a·b=x1x2+y1y2>0,但它们的夹角不是锐角.
4.两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的夹角公式cos θ=
的使用条件是a≠0
且b≠0. ( √ )
5.在直角三角形ABC中, =(1,1), =(-4,m),则m=4. ( ✕ )
提示：在直角三角形ABC中,若B为直角,则可得m=4,否则,不能得到m=4.故此题错
误.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标运算
1.进行向量的数量积运算时,需要牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通 常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是 直接依据已知条件计算.
2.对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并 写出相应点的坐标即可求解.
平面向量数量积的坐标表示
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设E(x,0),0≤x≤1.
由题意得M
,C(1,1),所以 =
, =(1-x,1),所以 · =
·(1-x,1)=(1-x)2+ .因为0≤x≤1,所以 ≤(1-x)2+ ≤ ,即 ·
的取值范围是
.
答案 C
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标运算的应用
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
3.与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决,特别是二次函数与 三角函数,借助向量数量积的坐标运算构造函数,再利用函数的性质求出最值.
平面向量数量积的坐标表示
在边长为1的正方形ABCD中,M为BC边的中点,点E在线段AB上运动,则 取值范围是 ( C )
·的
A.
B.
C.
D.[0,1]
思路点拨 建立适当的平面直角坐标系,借助向量数量积的坐标运算构造函数,再利用函数性 质求出取值范围.
∵b∥c,∴-4=2y,解得y=-2,∴a+b=(3,-1),
∴|a+b|=
=
,故②正确.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
对于③,∵b=(2,1),∴|b|=
∴=
,
=,
∴a在b方向上的投影向量为 · = ·
答案 ②量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD. (1)求证:AB⊥AC; (2)求点D和向量 的坐标; (3)设∠ABC=θ,求cos θ. 思路点拨 (1)证明AB⊥AC,只需证明 · =0. (2)设出点D的坐标,根据 ⊥ 及 与 共线,即可求出点D的坐标,进而可求 出 的坐标. (3)确定向量 与向量 的坐标,代入公式即可.