2017-2018学年安徽省铜陵一中高二(上)10月月考数学试卷

2017-2018学年安徽省铜陵一中高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知直线l经过A（sin20°，0），B（0，cos20°），则直线l的倾斜角为（）
A．20°B．70°C．160°D．110°
2．（5分）下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（）A．a⊥α，b⊥α⇒a∥b
B．a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b/
C．a⊥α，a∥b⇒b⊥α
D．α⊥β，a⊂α，α∩β=ba⊥b，⇒a⊥β
3．（5分）已知两条直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0互相平行，则a=（）A．±1B．﹣1C．1，0D．﹣1，0
4．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）
A．60°B．75°C．90°D．105°
5．（5分）过平面α外一点A作α的两条互相垂直的斜线AB、AC，它们与面α所成的角分别为15°和75°，则△ABC的内角B=（）
A．75°B．15°C．30°D．60°
6．（5分）点P是直线5x﹣12y+8=0上一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）
A．13B．C．8D．
7．（5分）已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为（）
A．2x﹣y﹣3=0B．x=2
C．2x﹣y﹣3=0或x=2D．以上都不对
8．（5分）四面体ABCD的棱长AB=CD=6，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（）
A．B．C．D．
9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC中点，则平面ABE分该四棱锥的两部分的体积比是（）
A．2：3B．2：5C．3：5D．3：8
10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面BCC1B1内一点，若面D1PM分别与面ABCD和面BCC1B1所成的锐二面角相等，则PC1长度的最小值是（）
A．B．C．D．1
12．（5分）已知异面直线a，b成70°角，A为空间中一点，则过A且a，b都成55°的平面个数有（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知直线l经过A（﹣1，2）且原点到直线l的距离为1，则l的方程为．
14．（5分）一个几何体的三视图如图，则它的体积为．
15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，P为二面角内一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A和B且PA=PB=3，则P到棱l的距离为．
16．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，∠BAC=∠BAD=∠CAD=45°，点P到三个侧面的距离均等于，则PA=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10分）已知直线垂直于直线l'：3x+2y﹣6=0，且在两坐标轴上的截距之和为﹣2，求直线l的方程．
18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠BAD=90°，AB∥CD，PA=AD=2AB，E是PC中点．
（1）求证：BE∥面PAD；
（2）求证：BE⊥面PCD．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，PB与底面ABC成30°角，△PAC的面积为1．
（1）若PC⊥AB，求证：P在底面ABC的射影H是△ABC的垂心；
（2）当二面角P﹣AC﹣B为多少时，△ABC的面积最大？
20．（12分）已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于
A、B两点，O为坐标原点．
（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求|PA|•|PB|的最小值及此时直线l的方程．
21．（12分）在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点．（1）求B到面AMB1的距离；
（2）求BC与面AMB1所成角的正切值；
（3）求面AMB1与面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥面ABCD，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：面PBD⊥面PAC；
（2）求AC与PB所成角的余弦值；
（3）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．
2017-2018学年安徽省铜陵一中高二（上）10月月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知直线l经过A（sin20°，0），B（0，cos20°），则直线l的倾斜角为（）
A．20°B．70°C．160°D．110°
【分析】根据题意，由直线的斜率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l经过A（sin20°，0），B（0，cos20°），
则其斜率k AB===tan110°，
故直线l的倾斜角为110°，
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率计算，关键掌握直线的斜率公式．
2．（5分）下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（）A．a⊥α，b⊥α⇒a∥b
B．a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b/
C．a⊥α，a∥b⇒b⊥α
D．α⊥β，a⊂α，α∩β=ba⊥b，⇒a⊥β
【分析】根据条件和结论表示的位置关系判断．
【解答】解：A是线面垂直的性质，B是线面平行的性质定理，
C是线面垂直的判定，D是面面垂直的性质，
故选：D．
【点评】本题考查了线面位置关系的性质与判定，属于基础题．
3．（5分）已知两条直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0互相平行，则a=（）A．±1B．﹣1C．1，0D．﹣1，0
【分析】由直线的平行关系可得1×1﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．
【解答】解：∵两条直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0互相平行，
∴a2=1，解得a=1或a=﹣1，
当a=1时，两直线重合，故舍去，
故a=﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
4．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【分析】选出向量的基底，将用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．
【解答】解：设|BB1|=m，则
==
∴
∴CA1与C1B所成的角的大小是90°
故选：C．
【点评】求两条异面直线所成的角，常利用向量作为工具，将异面直线赋予向量意义，利用向量的数量积求出两个向量所成的角，再根据异面直线所成角的范围，求出异面直线所成的角．
5．（5分）过平面α外一点A作α的两条互相垂直的斜线AB、AC，它们与面α所成的角分别为15°和75°，则△ABC的内角B=（）
A．75°B．15°C．30°D．60°
【分析】由题意画出图形，过A作AO⊥α于O，连接BO，CO，由AB、AC与面α所成的角分别为15°和75°，可得∠ABO=15°，∠ACO=75°，设AO=a，则AB=
，，再由AB⊥AC，在Rt三角形ABC中，可得tan∠ABC=tan15°，则答案可求．
【解答】解：如图，
过A作AO⊥α于O，连接BO，CO，
AB、AC与面α所成的角分别为15°和75°，
∴∠ABO=15°，∠ACO=75°，
设AO=a，则AB=，，
∵AB⊥AC，
∴在三角形ABC中，可得tan∠ABC=，
∴角B=15°．
故选：B．
【点评】本题考查线面角，考查了三角形的解法，是中档题．
6．（5分）点P是直线5x﹣12y+8=0上一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）
A．13B．C．8D．
【分析】|OP|的最小值为原点O到直线的距离．
【解答】解：|OP|的最小值为原点O到直线的距离d==．
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为（）
A．2x﹣y﹣3=0B．x=2
C．2x﹣y﹣3=0或x=2D．以上都不对
【分析】分两种情况考虑，当直线l的斜率不存在时，得到直线x=2显然满足题意；当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，根据已知点的坐标表示出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出A到直线l的距离和B 到直线l的距离，让两距离相等即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可，综上，得到所有满足题意的直线l的方程【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意；
当直线l的斜率垂存在时，设直线l的斜率为k，
则直线l为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0，
由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：
，化简得：﹣k=k﹣4或k=k﹣4（无解），解得k=2，
所以直线l的方程为2x﹣y﹣3=0，
综上，直线l的方程为2x﹣y﹣3=0或x=2．
故选：C．
【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．学生做题是容易把斜率不存在的情况遗漏．
8．（5分）四面体ABCD的棱长AB=CD=6，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（）
A．B．C．D．
【分析】把四面体ABCD放到长方体中，不难发现AB=CD=6，其余棱长均为正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径
【解答】解：四面体ABCD放到长方体中，AB=CD=6，其余AC=BC=AD=DB=
设长方体的边长分别为a，b，c．
不难看出：，解得：，
四面体外接球半径：2R=，
∴R=．
故选：C．
【点评】本题考查外接球的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC中点，则
平面ABE分该四棱锥的两部分的体积比是（）
A．2：3B．2：5C．3：5D．3：8
【分析】由底面ABCD是菱形，得AB∥CD，可得平面ABE分该四棱锥的两部分别是三棱锥A﹣PEF、五面体EBC﹣FAD五面体EBC﹣FAD位V EBC
=V F﹣ABCD+V E
﹣FAD
=，即可得平面ABE分该四棱锥的两部分的体积比．﹣FBC
【解答】解：如图，取PD中点F，由底面ABCD是平行四边形，得AB∥CD∥EF，可得平面ABE分该四棱锥的两部分别是三棱锥A﹣PEF、五面体EBC﹣FAD
=．V，V E﹣FBC=V B﹣EFC=∵，V P
﹣DBC
五面体EBC﹣FAD位V EBC
=V F﹣ABCD+V E﹣FBC=
﹣FAD
则平面ABE分该四棱锥的两部分的体积比是3：5．
故选：C．
【点评】本体考查了几何体的分割，等体积法，考查了转化思想，属于中档题．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（）
A．B．C．D．
【分析】证明AB⊥平面APC可得AB⊥AD，故而当AD⊥PC时，截面ABD的面积最小．求出AD的最小值即可得出答案．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB⊥PA，PA∩AC=A，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AD，
∴S
=AB•AD=AD．
△ABD
显然当AD⊥PC时，AD最短，即△ABD的面积最小．
∵PC==，
∴AD的最小值为==．
故选：C．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，属于中档题．
11．（5分）设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面BCC1B1内一点，若面D1PM分别与面ABCD和面BCC1B1所成的锐二面角相等，则PC1长度的最小值是（）
A．B．C．D．1
【分析】过点P作D1M的平行线交BC于点Q、交B1C1于点E，连接MQ，则PQ 是平面D1PM与平面BCC1B1的交线，MQ是平面D1PM与平面ABCD的交线，EF与BB1平行，交BC于点F，过点F作FG垂直MQ于点G，推导出点E一定
是B1C1的中点，从而点P到点C1的最短距离是点C1到直线BE的距离，以A 为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到点C1的最短距离．
【解答】解：如图，过点P作D1M的平行线交BC于点Q、交B1C1于点E，连接MQ，
则PQ是平面D1PM与平面BCC1B1的交线，MQ是平面D1PM与平面ABCD的交线．
EF与BB1平行，交BC于点F，过点F作FG垂直MQ于点G，则有MQ与平面EFG 垂直，
∴EG与MQ垂直，即角EGF是平面D1 PM与平面ABCD的夹角的平面角，
且sin∠EGF=，
MN与CD平行交BC于点N，过点N作NH垂直EQ于点H，
同上有：sin∠MHN=，且有∠EGF=∠MHN，
又∵EF=MN=AB，∴EG=MH，
而2S
=EG•MQ=MH•EQ，故MQ=EQ，
△EMQ
而四边形EQMD1一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E一定是B1C1的中点，点P到点C1的最短距离是点C1到直线BE的距离，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
E（2，1，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），=（0，1，2），=（0，2，2），∴点P到点C1的最短距离：
d=||•=2=．
故选：A．
【点评】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12．（5分）已知异面直线a，b成70°角，A为空间中一点，则过A且a，b都成55°的平面个数有（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过A作a，b的平行线a′，b′，则a′，b′所成夹角为70°或110°，设a′，b′确定的平面为α，符合条件的平面为β，α∩β=l，则l平分a′，b′的夹角，且α⊥β时，a′，b′与平面β所成的角最大．根据线面角的最大值即可得出符合条件的平面β的个数．
【解答】解：过A作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，
∵异面直线a、b成70°角，∴直线a′、b′确所成锐角为70°．
设过A点的平面β与a′，b′所成的角相等，α∩β=l，则l平分a′，b′所成的锐角或钝角．
（1）若l平分a′，b′所成的锐角，则当α⊥β时，直线a′，b′与平面β所成的角最大，最大角为35°，
故此时没有符合条件的平面．
（2）若l平分a′，b′所成的钝角，则当α⊥β时，直线a′，b′与平面β所成的角最大，最大角为55°，
故此时符合条件的平面有1个．
又a′∥a，b′∥b，∴a，b与平面β所成的角等于a′，b′与平面β所成的角．
所以过A与a、b都成55°角的平面只有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了看见线面位置关系的判断，结合图形寻找线面角的最大值是关键．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知直线l经过A（﹣1，2）且原点到直线l的距离为1，则l的方程为x=﹣1或3x+4y﹣5=0．
【分析】当直线的斜率不存在时，方程为x=﹣1，经检验满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣2=k（x+1），由2=，求得k
值，即得直线l的方程．
【解答】解：当直线的斜率不存在时，方程为x=﹣1，经检验满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣2=k（x+1），（k≠0），则2=，解得k=﹣，
此时直线l的方程为3x+4y﹣5=0．
综上所述，直线l的方程为：x=﹣1或3x+4y﹣5=0．
故答案是：x=﹣1或3x+4y﹣5=0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，要注意要对直线是否存在斜率进行讨论．
14．（5分）一个几何体的三视图如图，则它的体积为36．
【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为一个横放的直四棱柱，利用体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为一个横放的直四棱柱．
该几何体的体积V=×6=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了直四棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，P为二面角内一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A和B且PA=PB=3，则P到棱l的距离为6．
【分析】过A作AC⊥l，交l于点C，连结BC、PC，由三垂线定理及逆定理得：BC⊥l，PC⊥l，从而∠ACB=60°，∠PAC=∠PBC=90°，P、B、C、A四点共面，进而∠PCA=∠PCB=30°，由此能求出P到棱l的距离．
【解答】解：如图，二面角α﹣l﹣β为60°，P为二面角内一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A和B且PA=PB=3，
过A作AC⊥l，交l于点C，连结BC、PC，
由三垂线定理及逆定理得：BC⊥l，PC⊥l，
∴∠ACB=60°，∠PAC=∠PBC=90°，P、B、C、A四点共面，
∴∠PCA=∠PCB=30°，
∴PC=2PA=6．
∴P到棱l的距离为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查点到棱的求法，考查三垂线定理及逆定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
16．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，∠BAC=∠BAD=∠CAD=45°，点P到三个侧面的距离均等于，则PA=3．
【分析】构造正三棱锥A﹣BCD，令∠BAC=∠BAD=∠CAD=45°，P为底面等边△BCD的中心，令底面等边△BCD的边长为a，侧棱长为b，利用等体积法，可得答案．
【解答】解：构造正三棱锥A﹣BCD，
令∠BAC=∠BAD=∠CAD=45°，
P为底面等边△BCD的中心，
令底面等边△BCD的边长为a，侧棱长为b，
由余弦定理可得：，
令PE⊥平面ABD，则PE=，
则根据等体积法可得：
3•S△ABD•PE=，
即（）=•PA，
解得：PA=3
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，等体积法求棱锥的高，难度中档．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10分）已知直线垂直于直线l'：3x+2y﹣6=0，且在两坐标轴上的截距之和为﹣2，求直线l的方程．
【分析】首先设出方程为2x﹣3y+c=0，利用在两坐标轴上的截距之和为﹣2，求出c，得到直线方程．
【解答】解：设l：2x﹣3y+c=0，令，令
由题意知：，得到c=12．
故l：2x﹣3y+12=0
【点评】本题考查了直线方程的求法；关键是由已知正确设出直线方程，利用待定系数法求参数c．
18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠BAD=90°，AB∥CD，PA=AD=2AB，E是PC中点．
（1）求证：BE∥面PAD；
（2）求证：BE⊥面PCD．
【分析】（1）取PD中点F，连接EF，AF，推导出四边形EFAB是平行四边形，从而BE∥AF，由此能证明BE∥平面PAD．
（2）推导出PA⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AF，再求出AF ⊥PD，从而AF⊥平面PCD，由此能证明BE⊥面PCD．
【解答】证明：（1）取PD中点F，连接EF，AF，
∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠BAD=90°，AB∥CD，
PA=AD=2AB，E是PC中点，
∴EF AB，∴四边形EFAB是平行四边形，
∴BE∥AF，
∵AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）∵CD⊂平面ABCD，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵∠BAD=90°，AB∥CD，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，
∵PA=AD，F是PD中点，∴AF⊥PD，
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD，
∵BE∥AF，∴BE⊥面PCD．
【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，PB与底面ABC成30°角，△PAC的面积为1．
（1）若PC⊥AB，求证：P在底面ABC的射影H是△ABC的垂心；
（2）当二面角P﹣AC﹣B为多少时，△ABC的面积最大？
【分析】（1）只需证明AC⊥BH，AB⊥CH，即可得H为△ABC的垂心；
（2）过B作BD⊥AC于D，连接PD，
由（1）知：∠PDB即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，记∠PDB=θ，
S△ABC==即可
【解答】（1）证明：由题意知：
同理：AB⊥CH，所以H为△ABC的垂心；
（2）解：过B作BD⊥AC于D，连接PD，
由（1）知：∠PDB即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，记∠PDB=θ，
在△PBD中，∠PBD=30°，∵△PAC的面积为1．
∴S
==
△ABC
当且仅当θ=60°时等号成立．
【点评】本题考查了线线垂直的判定，二面角的求法，属于中档题．
20．（12分）已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于
A、B两点，O为坐标原点．
（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求|PA|•|PB|的最小值及此时直线l的方程．
【分析】（1）设，直线l经过点P（2，2），得到关于a，b的等式，利用基本不等式求出面积最小时的a，b值，然后求出直线方程；
（2）利用A，B坐标表示|PA|•|PB|，然后利用基本不等式求最小值时的a，b，写出直线方程．
【解答】解：设，直线l经过点P（2，2），则
（1），当且仅当a=b=4时，等号成立，即l：x+y
﹣4=0
（2）A（0，b），B（a，0），所以
，当且仅当a=b=4时等号成立，即l：x+y﹣4=0
【点评】本题考查了直线方程以及基本不等式的运用；关键是由已知得到的灵活运用．
21．（12分）在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点．（1）求B到面AMB1的距离；
（2）求BC与面AMB1所成角的正切值；
（3）求面AMB1与面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
【分析】（1）设B到面AMB1的距离为h，由
，能求出B到面AMB1的距离．（2）连接A1B交AB1于E，D1C交MN于F，连接EF，过B作BH⊥EF，垂足为H，则BH即为B到面AMB1的距离．设B1M和AM的延长线相交于G，则∠BGH 即为BC与面AMB1所成角．由经能求出BC与面AMB1所成角的正切值．（3）过B作BE⊥AN，垂足为E，连接B1E，则∠BEB1即为面AMB1与面ABCD所成的锐二面角的平面角．由此能求出面AMB1与面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）设B到面AMB1的距离为h，
∵在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，
∴．
∴3h=4，解得h=．
∴B到面AMB1的距离为．
（2）连接A1B交AB1于E，D1C交MN于F，连接EF，
过B作BH⊥EF，垂足为H，则BH即为B到面AMB1的距离．
由（1）知BH=．
设B1M和AM的延长线相交于G，则∠BGH即为BC与面AMB1所成角．
∵．
∴cos∠BGH==，
∴tan∠BGH==．
∴BC与面AMB1所成角的正切值为．
（3）过B作BE⊥AN，垂足为E，连接B1E，
则∠BEB1即为面AMB1与面ABCD所成的锐二面角的平面角．
，∴cos∠BEB1=．
∴面AMB1与面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查线面角的正切值的求法，考查面面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥面ABCD，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：面PBD⊥面PAC；
（2）求AC与PB所成角的余弦值；
（3）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．
【分析】（1）由PA⊥BD，PC⊥BD⇒BD⊥面PAC⇒面PAC⊥面PBD．
（2）如图过B作直线AC的平行线交DA的延长线于点E，则∠PBE（或补角）就是AC与PB所成角，
由余弦定理得答案．
（3）过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF，易得∠BFD即为所求，由余弦定理得答案
【解答】（1）证明：
又；
（2）解：如图过B作直线AC的平行线交DA的延长线于点E，则∠PBE（或补角）就是AC与PB所成角，
在△PBE中，PE=PB=，BE=AC=2×2×cos30°=2
由余弦定理得：
∴AC与PB所成角的余弦值为；
（3）解：过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF，
由（1）知：BD⊥PC，所以，
则∠BFD即为所求，
∵BD=DF=．
∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为﹣．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，线线角、二面角的求解，属于中档题．。