灰色预测模型建模方法探讨

预测值
3. 23 24. 01 38. 75 62. 54 100. 95 162. 84 262. 99 428. 49 685. 14 1105. 85 1784. 88
百分误差 ( ◊ )
0. 00 - 245. 96 - 284. 83 - 253. 38 - 456. 83 - 480. 91 - 439. 26 - 221. 24 - 176. 36 - 113. 74 - 222. 33
成、 累减生成或映射生成、 弱化数据列的随机性, 增
0 引 言
Ξ
强规律性, 再建立动态模型。 在模型研究中, 提高拟
1982 年邓聚龙教授提出灰色系统理论后, 其理
论得到了较快发展和不断完善。 灰色系统理论建立
GM ( n , h ) 模型时, 通过对原始数据处理, 如累加生
Ξ 谢开贵 硕士。 从事系统工程和可靠性评估等研究。 3 何 斌 硕士。 主要从事环境影响评价等领域的研究。 3 郑继明 34 岁, 硕士, 讲师。 公开发表论文 20 余篇。 3 收稿日期: 1997- 11- 14
) 模型 了三者为目标的多目标优化模型, 求解 Κ值, 进而对原始序列进行预测。 由 Κ的取值知 GM ( 1, 1, Κ
的精度一定比普通 GM ( 1, 1) 模型高。 实例分析效果是显著的, 拟合精度非常高。 关键词 灰色 GM 模型, 差分格式, 优化模型 中图法分类号 F 224, O 22
X
t+ 1
(1)
- X - X
t
(1)
+ aX + aX
t
t
(1)
= u = u
(1) t+ 1
( 6) ( 7) = u ( 8)
同理, 向后差分形式为:
X
t
(1)
t- 1
(1)
t
(1)
或 X
(1) t+ 1
- X
(1)
+ aX
不同的序列满足不同的差分格式, 有的满足 ( 6) 式, 有的满足 ( 8) 式, 而有的满足 ( 6) 与 ( 8 ) 式的组合
Abstract T he m ethod of m odel2con structing of GM ( 1, 1 ) is i m p roved w ith the d ifference ) is con structed . T he op ti schem e and a new g ray 2 m odel GM ( 1, 1, Κ m um m odels w ith the a i m a t m in i m izing sum of erro r squa res, erro r ab so lu tes and p ercen tage of erro r ab so lu tes, a re , and the p ri p ropo sed. A nd a m u lti2 ob ject m odel is a lso p ropo sed to so lve the va lue of Κ me , a conclu sion can be d raw n tha t the accu 2 da ta can be fo reca sted. In fact, from the va lue of Κ ) is m uch h igher than the GM ( 1, 1, ) ′ racy of GM ( 1, 1, Κ s. Som e p ractica l exam p les show the effect of the m ethod is rem a rkab le, and the accu racy of i m ita tion is very h igh. Key words GM m odel, d ifference schem e, op ti m um m odel
(0)
(1)
+ X + X
(1) 2 (1) 3
) )
… 1 … 1 … 1
(0)
- 1 2 (X
(1) 2
- 1 2 (X N P n = (X
(0) 2
(1)
1
(1) + XN ) (0) 3
,X
, …, X N ) T
a u u )e a
( 1)
利用最小二乘法求解系数向量 a ,
T - 1 T a = (B B ) B P n =
百分误差 ( ◊ )
0. 0000 - 5. 2266 - 7. 7033 - 10. 1153 - 12. 4642 - 14. 7518 - 16. 9796 - 19. 1492 - 21. 2620
- X t2 + aX t 1 - t2
t1
t2
(1)
= u
( 5)
事实上, 时间序列中 t1 - t2 = 1, 故有:
(k )
+ h k e3 ) - f 2 (A
hk
(k )
由 ( 9) 式可得:
X
(1) t+ 1
其中 h k > 0 为差分步长。
(1) t+ 1
- X
t
(1)
= - aΚ X
t
(1)
)X - a (1 - Κ
+ u ( 13)
Step 1: 给出初始数据 y t , X
t
(1)
.
给出终止误差 Ε 0 , 选择一满足初始条件的初始 点A
表 2 用建立的 GM ( 1, 1) 模型预测结果
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
dt
X
+ aX
(1)
= u
( 4)
将 ( 4) 式差分化: 向前差分形式为:
实际值
2 4 8 16 32 64 128 256 512
预测值
2. 0000 3. 7909 7. 3837 14. 3816 28. 0114 54. 5588 106. 2660 206. 9780 403. 138
) 有: 形式: ( 2. 5) × Κ+ ( 2. 7) × ( 1 - Κ
X
t+ 1
(1)
- X
t
(1)
= - a[Κ X
t
(1)
)X + (1 - Κ
t+ 1
(1)
]+ u ( 9)
分析表 1 、 表 2 数据, 不难得出下列几点:
・57・
1998 年第 3 期 重庆邮电学院学报 CU PT
1 GM ( n , h ) 模型的改进
设原始数据列为 {X 累加生产序列为: {X
1, 2, …, N . - 1 2 (X
B =
i i i
(0)
}, i = 1, 2, …, N . 一次
i i
(1)
}, 其中, X
(1)
=
∑X
j= 1
i
(0)
,i=
实际值
3. 23 6. 84 10. 07 17. 70 18. 13 28. 05 48. 77 132. 14 247. 92 517. 40 553. 74
u0
( 12)
f 2 (A
(k )
+ h k e1 ) - f 2 (A
hk
(k )
) ) )
将 ( 12) 式代入 ( 3) 式, 即可求得预测值。
θ gk =
f 2 (A f 2 (A
(k )
+ h k e2 ) - f 2 (A
hk
(k )
( 17)
2 参数 Κ的确定
2. 1 带约束最小二乘模型的建立
・56・
谢开贵 何斌 郑继明: 灰色预测模型建模方法探讨
合优度和预测精度一直是科技工作者最感兴趣的, 也是最困难的问题。目前, 提高 GM ( 1, 1) 模型预测 精度的讨论比较多, 主要有以下几种形式: 一是对原 始序列进行变换, 如参考文献 [ 2 ]、 [ 3 ]、 [ 4 ], 增加其 离散数据光滑度再进行预测; 二是修正模型系数, 进 行动态预测如: 等维递补预测、 分段预测; 三是对残 差进行修正, 如参考文献 [ 5 ]。 但在实践中, 有些数据 用 GM ( n , h ) 预测时, 预测精度非常低, 甚至用上述 几种修正方法也无能为力。 下面举两个实例来说明。 在参考文献 [ 2 ] 中的例子, 用灰色系统方法预测 全国电视机产量。 对原始序列建立 GM ( 1, 1) 模型的 预测结果见表 1 。
表 1 用灰色系统方法预测全国电视机产量结果 ( 万台)
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(1) 表 1 中预测结果一致偏大, 表 2 中预测结
果一致偏小, 两例的误差明显都不服从正态分布;
(2) 表 2 中原始数据为指数序列, 但用指数预
测模型 ( 灰色预测模型结果: X = A eB t 形式) 预测 时, 百分误差越来越大, 而不是百分之百的拟合。 那么造成上述预测误差一致偏大或偏小是否是 与建模系统方法不当有关呢?
N - 1
(1)
单增, 序列 X
(1) t+ 1
- X
t
(1)
与X
t
(1)
,X
(1) t+ 1
有明显的正
相关关系) 。 式 ( 9) 就是 GM ( 1, 1) 模型的一般差分格
). 式。 由其建立的灰色模型记为 GM ( 1, 1, Κ
由式 ( 9) 知, 只要给出一个 Κ 0 , 便有:
B0=
[Κ 0X [Κ 0X
其中 0 ≤ Κ≤ 1 ( 由 ( 6) , ( 8) ) 式知, 当 X
X
t
t
(0)
≥ 0 时,
估计的统计性能优于最小二乘估计, 最小一乘准则 的稳健性比最小二乘准则的稳健性好, 而且受异常 点的影响也较小。 故以误差绝对值之和最小为目标 已被广泛应用。 以误差绝对值之和最小为目标时, 参数 b, c, u 的估计由下述带约束的最小一乘回归模型给出:
(0) 3
(0) , …, X N ) T
( 11)
采用差分拟牛顿法
[ 6 ], [ 7 ]
求解 ( 15 ) 式 ( 不含不等
由最小二乘原理知: δ a0 a δ =
u
式约束 ( 16) 式) , 计算步骤如下。 算法中以向前差分为例, 记差商:
- 1 T = (B T B 0Pn 0B 0 )
D iscuss ing about the M ethod of M odel-Con struct ing of Gray Foreca st ing M odel X ie Ka igu i H e B in
(D ep a rtm en t of sy stem E ng ineering & A pp iled M a them tics,
灰色预测模型建模方法探讨
谢开贵 何 斌
( 重庆大学系统工程及应用数学系, 重庆 400044)
郑继明
( 重庆邮电学院基础部, 重庆 400065)
) 模型。 文中 摘 要 作者在本文中用差分格式对灰色 GM ( 1, 1) 建模方法作了改进, 建立了 GM ( 1, 1, Κ
给出了以误差平方和最小、 误差绝对值之和最小、 绝对百分误差和最小为目标的优化模型, 同时还给出
( 2)
从而可得出原始序列预测公式为:
X
δ(0) = ( e- a - 1) (X t+ 1
(1) 0
-
at
( 3)
下面再看一组指数增长序列 X 结果见表 2。
= {2, 4, 8,
其中 t = 1, 2, …。GM ( 1, 1) 微分方程为
dX
(1)
16, 32, 64, 128, 256, 512}。 建立 GM ( 1, 1) 模型, 预测
(1) 1 (1) 2
+ (1 - Κ 0) X + (1 - Κ 0) X
(1) 2 (1) 3
] ]
…1 …1 …1
( 10)
-
m in f 2 (A ) =
∑y
t= 1
t
- bX
t
(1)
- cX
t+ 1
(1)
- u ( 15)
[Κ 0X N (1) 2 (1)
(1)
Hale Waihona Puke 1(1) + (1 - Κ 0) X N ]
wwwcnkinet1998重庆邮电学院学报cu可以看出对于误差平方和误差绝对和平均绝对百分误差本文提出的方法都优于普通gm中只要适当增大w一定能做到误差平方和也比普通gm得到的误差平方和小
Vol . 10 N o. 3 Jou rna l of Chongqing U n iversity of Po sts and T elecomm un ica tion s Sep. 1998
s. t b ≥ 0, c ≥ 0
( 16)
(k ) (k ) (k )
P n = (X
- x1 ,X
(1) 3
- X
(1) 4
(1) (1) , …, X N - X N - 1 ) T =
其中: A = ( b, c, u ) , A
T
(k )
= (b , c , u
)
T
(X
(0) 2
,X
C hong qing U n iv ersity , C hong qing 400044)
Zheng J i m ing
(D ep a rtm en t of B asic C ou rses, C hong qing U n iv ersity of P osts and
T elecom m un ica tions, C hong qing 400065)