东明县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

东明县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（ ）
A ．﹣6
B ．6
C ．3
D ．﹣3
2． ∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是（
）
A ．不存在x ∈R ，使∃x 2﹣2x+3≥0
B ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0
3． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ）
A ．C ．D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）
A ．a+3
B ．6
C ．2
D ．3﹣a
4． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A
∈5． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（
）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
6． 若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是（ ）]
)1(+=x f y )(x f y =A ．
B ．
C ．
D ．1=x 1-=x 2=x 2
-=x 7． 设为双曲线的右焦点，若的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
F 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>OF 另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
1
||2OF A ． B
C ．
D ．
3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．8． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（
）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（，﹣3，﹣2）
9． 如图所示的程序框图，若输入的x 值为0，则输出的y 值为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．0
C ．1
D ．或0
10．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p ∧q
B ．￢p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∧￢q
11．已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为
真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q
⌝∧12．下列计算正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、213
3
x x
x ÷=4554
()x x =455
4
x x x =445
5
x x -=二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a 14．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
15．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．　
16．一质点从正四面体A ﹣BCD 的顶点A 出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB 由A 到B ，第2次运动经过棱BC 由B 到C ，第3次运动经过棱CA 由C 到A ，第4次经过棱AD 由A 到D ，…对于N ∈n *，第3n 次运动回到点A ，第3n+1次运动经过的棱与3n ﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n 次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．　
17．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且
||=2，则= ．18．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π；②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题；④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0．其中正确命题的序号是 ．　
三、解答题
19．如图，已知五面体ABCDE ，其中△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）证明：AD ⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A ﹣BD ﹣C 所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE 的体积．
20．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F C P ⎛ ⎝1
PF 交轴于，且为坐标原点．
y Q 22,PF QO O =u u u u v u u u v
（1）求椭圆的方程；
C （2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率M C M ,MA MB ,A B 分别为，且，证明：直线过定点．
12,k k 122k k +=AB
21．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
x x1x2x3
ωx+φ0π2π
Asin（ωx+φ）+B00﹣0
（Ⅰ）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．
22．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．
23．已知函数，且．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．
24．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．
东明县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵ =（2+3）（k ﹣4）
=2k +（3k ﹣8）
﹣12
=0，
又∵=0．∴2k ﹣12=0，k=6．
故选B
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的　
2． 【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0．故选：C ．　
3． 【答案】A
【解析】A ．C ．D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12，故选：A ．4． 【答案】A 【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而，即B 、C 正确，又因为且，1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉0N ∈05<所以，即D 正确，故选A. 10A ∈考点：集合与元素的关系.5． 【答案】 C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a ≥b 时，则输出a （b+1），反之，则输出b （a+1），∵2tan =2，lg =﹣1，∴（2tan ）⊗lg =（2tan
）×（lg
+1）=2×（﹣1+1）=0，∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne ⊗（
）﹣1=（
）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．故选：C ．　
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数向右平移个单位得出的图象，又是偶函数，对称轴方程)1(+=x f y )(x f y =)1(+=x f y 为，的对称轴方程为.故选A ．0=x ∴)(x f y =1=x 考点：函数的对称性.7． 【答案】B 【
解
析
】
8． 【答案】C
【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．　
9． 【答案】B
【解析】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=0，x ＞1？，否；x ＜1？，是；y=x=0，
输出y=0，结束．故选：B ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．　
10．【答案】B
【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x 为假命题，则￢p 为真命题．
令f （x ）=x 3+x 2﹣1，因为f （0）=﹣1＜0，f （1）=1＞0．所以函数f （x ）=x 3+x 2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2为真命题．则￢p ∧q 为真命题．故选B ．　
11．【答案】D
【解析】
考
点：命题的真假.12．【答案】B 【解析】
试题分析：根据可知，B 正确。

()
a a β
ααβ⋅=考点：指数运算。

二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()
20{x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x -==
当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则.1a e
=
回归原问题，则原问题中.
a e =
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
14．【答案】　50π　
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．
故答案为：50π．
15．【答案】　（﹣2，﹣6）　．
【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，
则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=﹣（2，6）=（﹣2，﹣6），
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．
16．【答案】　D　．
【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为：
A→B→C→A→D→B→A→C→D→A
接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A…
周期为9．
∵质点经过2015次运动，
2015=223×9+8，
∴质点到达点D．
故答案为：D．
【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．
17．【答案】　（﹣，）　．
【解析】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
18．【答案】　①③④　．
【解析】解：①∵，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立的充分不必要条件，故②错误；
③易知命题p为真，因为＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正
确；
④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④．
故答案为①③④．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥BC，
又AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
又AD⊂平面ACD，
∴AD⊥BC．
（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．
由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，
∴平面BCD的一个法向量是=，
设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，
由条件得，=，=（﹣2，0，a）．
∴即，
不妨令x=1，则y=，z=，
∴=．
又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，
∴．
∴=cosθ=，
∴==，解得a=2．
∴V ABCDE=V E﹣ADC+V E﹣ABC
=+
=+
=
=8．
∴该几何体ABCDE的体积是8．
【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　
20．【答案】（1）；（2）证明见解析.2
212
x y +=【解析】
试
题解析：
（1），∴，∴，
22PF QO =u u u u v u u u v
212PF F F ⊥1c =，2222
221121,1a b c b a b +==+=+∴，
22
1,2b a ==即；2
212
x y +=（2）设方程为代入椭圆方程
AB y kx b =+，，
222
12102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭22221
,112
2
A B A B kb b x x x x k
k --+==++g ，∴，
11,A B MA MB A B y y k k x x --==()
112A B A B A B A B MA MB A B A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=
=g ∴代入得：所以， 直线必过．11k b =+y kx b =+1y kx k =+-()1,1--考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件知，，，
∴，，
∴，．
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，
∴，
∵函数g（x）在区间[0，m]（m∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M，N，
∴最高点为，最低点为，∴，，
∴，又0≤θ≤π，∴．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．
22．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，
解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
23．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ）由，得，
因为，
所以对于任意，都有．
设，则．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，．
因为对于任意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的普通方程为．
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ2=16，
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=16．
（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：+y﹣4=0的距离：d==2，
∴cos，
∵0，∴，
∴．。