数学竞赛中的高斯函数

数学竞赛中的高斯函数
一、 知识概要
1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。

则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。

任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而
{}[]x x x =-为x 的小数部分。

2，性质
1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+；
4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；
7，[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩
8，若n N +
∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
个；
11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：
()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

（x 不是整数时） （x 是整数时）
证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n 所含p 的方次
数之总和。

由性质10可知，在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数，有2n p ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
个2
p 的倍数，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数， ，当1
m m p n p +≤<时，120m m n n p p ++⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，所以命题成立。

高斯函数是非常重要的数学概念。

它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。

解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。

二、 解题示例
例1，若实数r 使得192091546100100100r r r ⎡
⎤⎡⎤⎡
⎤+
+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，求[]100r 。

解：等式左边共73项，且因
192091,,,100100100
都小于1，则每一项为[]r 或[]1r +，注意到 737546738⨯<<⨯，故必有[]7r =。

进一步有：73735546⨯+=，所以原式左边从第1
项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。

即：
56577;8.0.568,0.5787.437.44100100r r r r r ⎡⎤⎡
⎤+=+=∴+<+≥∴≤<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
例2，计算：
100
123101n n =⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
∑的值。

解：由题意得：对于任意的{}()2310123231,2,,100,
,23101101101
n n n n Z -∈∉+= ， ()()100
123101231012323231;22.22501100101101101101101n n n n n n =--⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤∴+=+=∴=⨯=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦
∑ 说明：本例采用了分组凑整的思想。

例3，对自然数n 及一切实数x ，求证：
[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡
⎤++
+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 。

（厄尔密特等式） 证明：对任意的自然数n ，构造函数()[][]121n f x nx x x x x n n n -⎡
⎤⎡⎤⎡
⎤=--+
-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
，则：[][]()()112111n f x nx x x x x f x n n n n -⎛
⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+
=+-+-+--+-+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ ，所以，函数()f x 为周期函数，其周期1T n =，因此，原命题只需证()0f x =在区间10,n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内成立即可。

而这一结论显然是成立的。

例4，对任意的n N +
∈，证明：===。

证明：首先证明1+>。

令1x =+，则241x n >+。

当()
2x m m Z +=∈时，22441x m n =>+，于是2
1m n ≥+，那么
2244443x m n n =≥+>+；
当()
21x m m Z +=-∈时，2244141x m m n =-+>+，2m m n ->即2
1m m n -≥+，
那么()
22
414543x m m n n =-+≥+>+。

所以命题成立，也就是：1≤
<<+。

故：
==。

又：
2
2121241n n n n =++++=+
()2
21212143n n n n =++<+++=+
∴===
注：本例的证明采用了“两边夹”法则。