2020年高考文数二轮专题复习：题型2第8讲第2课时不等式选讲含解析

第2课时不等式选讲

［考情分析］本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域

及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等.结合函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点.

热点题型分析

热占1八、、含绝对值不等式的解法

方法结论

V

含绝对值不等式的解法：

(1) |f(x)|>a(a>0)? f(x)>a或f(x)< —a；

(2) |f(x)|<a(a>0)? —a<f(x)<a；

(3) 对形如|x —a|+ |x—b|w c, |x —a|+ |x—b|》c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.

【题型分析】

已知函数f(x)=|2x+ 4|+ |x —a|.

(1) 当a< —2时，f(x)的最小值为1,求实数a的值；

(2) 当f(x)= x+ a+ 4|时，求x的取值范围.

解⑴当a< — 2 时，函数f(x)=|2x+ 4|+ x—a|

—3x+ a — 4 x<a，

=—x—a— 4 a<x< —2，

3x —a+ 4 x> —2 .

可知，当x= —2时，f(x)取得最小值，最小值为

f(—2) = 一a —2= 1，解得a= —3.

(2)f(x) = |2x+ 4|+ |x —a|> |(2x+ 4) —(x—a)|

=|x+ a+ 4|，

当且仅当(2x+ 4)(x—a)< 0时，等号成立，

所以若f(x)= |x+ a + 4|，则

当a<—2时，x的取值范围是{x|a< x< —2};

当a= —2时，x的取值范围是{x|x= —2};

当a>—2时，x的取值范围是{x| —2<x< a}.

【通法指导】

形如|x—a|+ |x—b|> c(或w c)型的不等式主要有三种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(—％, a］，(a，b)，［b，+^)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值符号分别列出

对应的不等式组求解，然后取各个不等式组的并集;

⑵几何法：利用|x — a|+ |x — b|>c 的几何意义：数轴上到点X 1= a 和b 的距 离之和大于c 的全体实数；

(3) 图象法：作出函数y i = X — a|+ |x — b|和y 2= c 的图象，结合图象求解.

【针对训练】

(2019太原模拟)已知函数f(x)= x + m| + |2x — 1|.

(1)当m =— 1时，求不等式f(x )w 2的解集；

⑵若f(x)< |2x + 1|的解集包含弓，2〔求m 的取值范围.

解 (1)当 m =— 1 时，f(x)= |x — 1|+ |2x — 1|，

4

当 x > 1 时，f(x)= 3x — 2<2,所以 Kx <3；

1 1

当2<x<1 时，f(x) = x <2，所以2<x<1;

1 1

当 x <2时，f(x) = 2 — 3x <2，所以 o w x <2，

(2)由题意可知f(x)< |2x + 1在* 2上恒成立，当x € |3，2时，f(x) = x + m| + |2x — 1|=

|x + m| + 2x — 1< |2x + 1匸2x + 1,所以 x + m|w 2,即一2w x + m <2,则

热点2含绝对值不等式的恒成立(存在性)问题

方法结论

V 1 •两个定理

定理1：如果a , b 是实数，则|a + b|< |a|+ |b|,当且仅当ab >0时，等号成立； 定理2：如果a , b , c 是实数，那么|a — c|w |a — b|+|b — c|,当且仅当(a — b)(b —c)> 0时，等号成立.

2 •恒成立问题

f(x)>a 恒成立？ f(x)w a 无解？ f(x)min >a ；

f(x)<a 恒成立？ f(x) > a 无解？ f(x)max <a.

3.存在性问题

综上可得原不等式八工)冬2的解集为

—2 — x W m W 2 — X ，^L ( — 2 — — 11 4，(2— 0,因此, m 的取值范围为

-¥，0

f(x)>a 有解? f(x)max>a ；f(x)<a 有解? f(x)min<a.

【题型分析】

(2018 全国卷U )设函数f(x) = 5—X+ a|—|x—2|.

⑴当a= 1时，求不等式f(x) > 0的解集；⑵若f(x)< 1,求a的取值范围.

j-2x + 4，x< —1,

解⑴当a= 1 时，f(x)= 2,—1<x<2,

—2x+ 6, x>2.

所以f(x)》0的解集为{x|—2<x< 3}.

(2)f(x)< 1 等价于x+ a|+ |x—2|>4.

而|x+ a|+ |x—2|> |a+ 2|,且当x= 2时等号成立.

故f(x)< 1 等价于|a + 2|>4.

由|a + 21》4可得a w —6或a》2, 所以a的取值范围是(一x,—6] U [2 ,+x).

【通法指导】

解含参数绝对值不等式问题的两种常用方法：

(1) 将参数分类讨论，将其转化为分段函数求解；

(2) 借助绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求, 求解参数的取值范围.

【针对训练】

(2017全国卷川)已知函数f(x)= x+ 1|—x—2|.

(1) 求不等式f(x)> 1的解集；

(2) 若不等式f(x)> x2—x+ m的解集非空，求m的取值范围.

—3, x v—1,

解(1)f(x)= 2x—1,—1w x< 2,

3, x>2.

当x v —1时，f(x) > 1无解；

当一1< x< 2 时，由f(x) > 1,得2x—1> 1, 解得1< x< 2；

当x>2时，由f(x)》1，解得x>2.

所以f(x)》1的解集为{xx> 1}.

(2)由f(x)> x —x+ m,得

2

m< |x+ 11—|x—2|—x + x.

而|x+ 1|—|x—2|—x2+ x w |x|+ 1 + |x|—2 —x2+ x