2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷(二)(附答案)

2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）
1.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是()
A. B.
C. D.
2.如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是()
A. a+b=0
B. |a|=|b|
C. a=−b
D. a=1
b
3.如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地
的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是()
A. 南偏东47°
B. 南偏西43°
C. 北偏东43°
D. 北偏西47°
4.用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是()
A. 0.1(精确到0.1)
B. 0.06(精确到百分位)
C. 0.061(精确到千分位)
D. 0.0605(精确到0.0001)
5.如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则
这个几何体是()
A.
B.
C.
D.
6.长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度
为x km，则下列方程中正确的是()
A. 5x−6(x−836)=1284
B. 6x−5(x+836)=1284
C. 6(x+836)−5x=1284
D. 6(x−836)−5x=1284
7.如图，在△ABC中，AB=AC>BC.小丽按照下列方法作图：
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作AC的垂直平分线，交AD于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是()
A. 点E是△ABC的外心
B. 点E是△ABC的内心
C. 点E在∠B的平分线上
D. 点E到AC、BC边的距离相等
8.某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口
进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是()
A. 1
2B. 1
4
C. 1
6
D. 1
16
9.如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原
点O，其面积为8，反比例函数y=m
x
的图象经过点D，则m的值为()
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3
的度数是()
A. 90°
B. 120°
C. 135°
D. 180°
11.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x+1=0没有实数解，则k的取值范围是
()
A. k>2
B. k<2且k≠1
C. k≥2
D. k≤2且k≠1
12.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的
一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为()
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
13.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=
1，且经过点P(3,0)，则a−b+c的值为()
A. 0
B. −1
C. 1
D. 2
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，用尺规作
图，作∠BAC的平分线交BC于点D，则下列说法中：
①若连接PM，PN，则△AMP≌△ANP；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC：S△ABC=1：3．
其中正确的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
15.把直线y=−x−3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第二象限，则
m的整数值有()
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
16.如图，DE是边长为4的等边△ABC的中位线，动点P
以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线
AD−DE向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动.设运动时间为t s，B、D、P、Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是()
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17.如果一个数的倒数是2021，则这个数为______ ．
18.x=−1是方程1
x−2=2
x+a
的解，a的值为______ ．
19.如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q
两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ=45°．
(1)BD的长为______ ；
(2)当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为
______ ；
(3)当BD不平分∠PBQ时，DP⋅DQ=______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
20.嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程．
(1)计算：[(9+2)2−(9−2)2]×(−25)÷9；
(2)化简：[(a+2)2−(a−2)2]×(−25)÷a；
(3)请写出嘉琪发现的结论．
21.某学校为了了解九年级学生的体育成绩，对九年级全体800名学生进行了男生1000
米跑(女生800米跑)，立定跳远，掷实心球三个项目的测试，每个项目满分10分，共30分．从中抽取了部分学生的成绩进行了统计(统计均为整数)，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，回答下列问题：
分数段频数频率
10.5～14.5 10.02
14.5～18.5 50.1
18.5～22.5 60.12
22.5～26.5m0.46
26.5～30.5 15n
(1)这次抽取了______ 名学生的体育成绩进行统计，其中：m=______ ，n=
______ ．
(2)补全频数分布直方图；
(3)学生成绩的中位数落在哪个分数段？
(4)如果23分(包括23分)以上为良好，估测该学校体育成绩良好的学生大约有多少
人．
22.已知：如图，▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，
连接AF．
(1)求证：AD=CF；
(2)嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观
点，如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由．
23.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+b经
过第一象限的点A(1,2)和点B(m,n)(m>1)，且mn=
2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，△ABC的面积为2．
(1)求B点的坐标；
(2)求直线l1的函数表达式；
(3)直线l2：y=ax经过线段AB上一点P(P不与A、B
重合)，求a的取值范围．
24.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，
以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，
切点为P，连接OP.将OP绕点O按逆时针方向旋转到
OH时，连接AH，BH.设旋转角为α(0°<α<360°)．
(1)当α=90°时，求证：BH是⊙O的切线；
(2)当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；
(3)当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．
25.某商店试销一种成本为10元/件的工艺品，设售价为x(元/件)，每天销量为y(件).经
市场调查得知：y与(x−70)成正比例，且当x=20时，y=500．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)物价部门规定，该工艺品售价最高不能超过35元/件，那么售价定为多少时，
商店试销该工艺品每天获得的利润最大？
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.
动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC−
CB−BA方向绕行△ABC一周，动直线l从AC开始，
以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点.当点P运动到点A时，直线l也停止运动．
(1)求点P到AB的最大距离；
(2)当点P在AC上运动时，
①求tan∠PDE的值；
②把△PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P′落在ED上时，ED的对应线段ED′恰好与AB垂直，求此时t的值．
(3)当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
本题考查了对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，本题考查的知识点较多，熟记其定义，是解答的基础．
2.【答案】D
【解析】解：由相反数的性质知：a+b=0，a=−b，A、C正确；
由于相反数是一对符号相反，但绝对值相等的数，所以|a|=|b|，B正确．
故选：D．
互为相反数的性质：两数互为相反数，它们的和为0．
本题主要考查的是相反数的相关定义和知识，相反数只是符号相反但绝对值相等的两个数，要特别注意0这个特殊的数字，以免造成错解．
3.【答案】A
【解析】解：∵AF//DE，
∴∠ABE=∠FAB=43°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=47°，
∵BD//CG，
∴∠BCG=47°，
∴从C地测B地的方位角是南偏东47°．
故选：A．
根据方向角的概念和平行线的性质求解，即可得出从C地测B地的方位角．
本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；
B.0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；
C.0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；
D.0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
取近似数的时候，即精确到哪一位，只需对下一位的数字四舍五入．即可得出结论．
本题考查近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
5.【答案】B
【解析】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此
几何体如图所示：．
故选：B．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，进而得出答案．
本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
6(x−836)−5x=1284，
故选：D．
根据长江比黄河长836km，设长江长度为x km，即可得到黄河的长度为(x−834)km，再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7.【答案】A
【解析】解：如图，由作图可知，点E是△ABC的三边的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．
故选：A．
根据三角形外心的定义判断即可．
本题考查作图−复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，
所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为4
16=1
4
，
故选：B．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】A
【解析】解：∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，∴矩形OCAD的面积是8，
设D(x,y)，则4xy=8，
xy=2，
反比例函数的解析式为y=m
，
x
∴m=2．
故选：A．
根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形OCAD的面积是8，设D(x,y)，根据4xy=8，可得xy=2，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，得出矩形OCAD的面积是8是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+
∠7=540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6=180°，
又∵∠5+∠7+∠8=180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故选：D．
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+
∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：根据题意得k−1≠0且△=22−4(k−1)<0，
解得k>2．
故选：A．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且△=22−4(k−1)<0，然后求出两个不等式解的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
12.【答案】B
【解析】解：连接BD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵C为半圆的中点，
∴AC⏜=BC⏜，
∠ADB=45°，
∴∠ADC=∠BDC=1
2
故选：B．
连接BD，由圆周角定理得∠ADB=90°，再证AC⏜=BC⏜，然后由圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质，属于基础题．
由“对称轴是直线x=1，且经过点P(3,0)”可知抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)，代入抛物线方程即可解得．
【解答】
解：因为对称轴x=1且经过点P(3,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)，
将(−1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a−b+c=0．
故选：A．
14.【答案】D
【解析】解：由作法得AM =AN ，MP =NP ，
而AP 为公共边，
∴△AMP≌△ANP(SSS)；所以①正确；
∴∠DAC =∠DAB =30°，
∴∠ADC =90°−∠CAD =60°，所以②正确；
∵∠B =90°−∠BAC =30°，
∴∠BAD =∠B ，
∴DA =DB ，
∴点D 在AB 的中垂线上；所以③正确；
在Rt △ACD 中，AD =2CD ，
而AD =BD ，
∴BC =3CD ，
∴S △DAC ：S △ABC =1：3.所以④正确．
故选：D ．
根据作法得到AM =AN ，MP =NP ，则可根据”SSS “对①进行判断；利用△AMP≌△ANP 得到∠DAC =∠DAB =30°，利用互余可计算出∠ADC 的度数，则可对②进行判断； 证明∠BAD =∠B 得到DA =DB ，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD =2CD ，则BC =3CD ，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
15.【答案】B
【解析】解：直线y =−x −3向上平移m 个单位后可得：y =−x −3+m ，
联立两直线解析式得：{y =−x −3+m y =2x +4
， 解得：{x =m−73y =2m−23
， ∵交点在第二象限，
∴{m−73<02m−23>0
， 解得：1<m <7．
∴m的整数值有5个．
故选：B．
直线y=−x−3向上平移m个单位后可得：y=−x−3+m，求出直线y=−x−3+m 与直线y=2x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
16.【答案】C
【解析】解：∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线，
∴AD=DB=DE=2，AB=4，∠B=60°．
分两种情况：①当0<t≤2时，点P在AD上，
∵AP=BQ=t，
∴BP=AB−AP=4−t，
∴△BPQ的面积S=1
2BQ⋅BP⋅sin∠B=1
2
⋅(4−t)⋅√3
2
=−√3
3
t2+4t，
②当2<t≤4时，点P在DE上，∵DP=t−2，BQ=t，
∴梯形BDPQ的面积=1
2(DP+BQ)⋅BD⋅sin∠B=1
2
(t−2+t)×2×√3
2
=√3t−√3，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
分两种情况进行讨论：①当0<t≤2时，点P在AD上，根据三角形的面积公式可知△BPQ的面积S=1
2
BQ⋅BP⋅sin∠B，代入数据求出S与t之间的函数解析式；②当2<
t≤4时，点P在DE上，根据图形的面积公式可知梯形BDPQ的面积S=1
2
(DP+BQ)⋅BD⋅sin∠B，代入数据求出S与t之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．
本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等边三角形的性质，解直角三角形，分两段得到由B、D、P、Q四点围成的图形面积并求出相应的函数关系式是解题的关键．
17.【答案】1
2021
【解析】解：∵2021×1
2021
=1，
∴2021的倒数是1
2021
，
∴这个数是1
2021
．
故答案为：1
2021
．
根据倒数的定义，直接得出结果．
本题考查了倒数的定义．解题的关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
18.【答案】−5
【解析】解：将x=−1代入原方程，得，1
−1−2=2
−1+a
，
解得a=−5．
故答案为：−5．
将x=−1代入原方程即可求出a的值．
本题主要考查分式方程的解，要理解方程的解是使方程成立的未知数的值．19.【答案】3√2PD=QD18
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，∠A=90°，
∴BD=√AB2+AD2=√33+32=3√2，
故答案为：3√2；
(2)解：当BD平分∠PBQ时，
∵∠PBQ=45°，
∴∠QBD=∠PBD=22.5°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，
在△ABP和△CBQ中，
{∠A=∠C
AB=BC
∠ABP=∠CBQ
，
∴△ABP≌△CBQ(ASA)，∴BP=BQ，
在△QBD和△PBD中，
{BQ=BP
∠OBD=∠PBD BD=BD
，
∴△QBD≌△PBD(SAS)，
∴PD=QD，
故答案为：PD=QD；
(3)当BD不平分∠PBQ时，
∵AB//CQ，
∴∠ABQ=∠CQB，
∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，
∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB，
∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°，∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°，∴∠BDQ=∠BDP，
∴△BQD∽△PBD，
∴BD
PD =QD
BD
，
∴PD⋅QD=BD2=32+32=18，
故答案为：18．
(1)根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论；
(2)当BD平分∠PBQ时，证明△ABP≌△CBQ和△QBD≌△PBD，可得结论；
(3)当BD不平分∠PBQ时，证明△BQD∽△PBD，列比例式可得结论．
本题考查了正方形性质，全等、相似三角形的性质和判定，勾股定理，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，第二问有难度，证明△BQD∽△PBD是关键．20.【答案】解：(1)原式=(112−72)×(−25)÷9
=(11−7)(11+7)×(−25)÷9
=4×18×(−25)÷9
=−200；
(2)原式=[(a+2)−(a−2)][(a+2)+(a−2)]×(−25)÷a
=4×2a×(−25)÷a
=−200；
(3)无论a取什么值，[(a+2)2−(a−2)2]×(−25)÷a均等于−200．
【解析】(1)根据平方差公式以及有理数的混合运算顺序计算即可；
(2)根据平方差公式化简计算即可；
(3)结合(1)(2)的结果看得结论．
本题主要考查了平方差公式，熟记平方差公式的机构特征是解答本题的关键．
21.【答案】50；23；0.3
【解析】解：(1)这次抽取的学生总数为：
1÷0.02=50，
m=50×0.46=23，n=15÷50=0.3；
(2)如图：
(3)∵各小组的频数分别为：1、5、6、23、15，
而中位数是50个成绩从小到大排列后第25个数据和第26个数据的平均数，
∴中位数落在第四小组即22.5～26.5这一小组内；
(4)800×(0.46+0.3)=608(人)，
答：该学校体育成绩良好的学生大约有608人．
故答案为50，23，0.3．
(1)由于10.5～14.5这一小组的频数为1，频率为0.02，由此求出样本总数，即样本容量，则m=样本容量×0.46，n=15÷样本容量；
(2)根据(1)中所求是数据可补全频数分布直方图；
(3)根据样本容量和各个小组的人数可以确定样本成绩的中位数落在哪一小组内；
(4)首先确定样本中23分(包括23分)以上的频率，然后利用样本估计总体的思想即可估计该校体育成绩良好的学生约有多少人．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，也考查了样本容量和中位数的定义；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断，并且能够解决问题．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∵E为DC的中点，
∴ED =EC ．
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD =CF ．
(2)答：同意．
当DC =AF 时，四边形ACFD 是矩形．
理由如下：
∵AD//CF ，AD =CF ，
∴四边形ACFD 是平行四边形．
∵DC =AF ，
∴四边形ACFD 是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AD =CF 即可；
(2)根据矩形的判定解答即可．
此题考查矩形的判定，关键是根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答．
23.【答案】解：(1)∵点A(1,2)，B(m,n)(m >1)，
∴△ABC 中，BC =m ，BC 上的高为ℎ=2−n ，
∴S △ABC =12m(2−n)=12m(2−2m )=m −1=2，
∴m =3，
∴n =23
， ∴B 点的坐标(3,23)；
(2)∵直线l 1经过A 、B 两点，
∴{2=k +b 23=3k +b ，
解得{b =83
k=−23， ∴直线l 1的函数表达式为y =−23x +83；
(3)∵将A(1,2)代入y =ax 得：2=a ，
∴a =2，
∵将B(3,23)代入23=3a ，
∴a =29
， ∴a 的取值范围是29<a <2．
【解析】(1)根据A 、B 点坐标可得BC =m ，BC 上的高为ℎ=2−n ，再根据△ABC 的面积为2可算出m 的值，进而得到n 的值，然后可得B 点坐标；
(2)把A 、B 两点坐标代入y =kx +b ，再解方程组可得b 、k 的值，进而得到函数表达式；
(3)将A(1,2)B(3,23)分别代入y =ax 求出a 的值，即可得到a 的取值范围．
此题主要考查了一次函数应用，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是正确计算出B 点坐标． 24.【答案】解：(1)证明：∵α=90°，∠AOB =90°，
∴∠AOP =∠BOH ，
又OA =OB =4，OP =OH ，
在△AOP 和△BOH 中，
{OA =OB ∠AOP =∠BOH OP =OH
，
∴△AOP≌△BOH(SAS)，
∴∠OPA =∠OHB ，
∵AP 是⊙O 的切线，
∴∠OPA =90°，∠OHB =90°，
即OH ⊥BH 于点H ，
∴BH 是⊙O 的切线；
(2)如图，过点B 作⊙O 的切线BC ，BD ，
切点分别为C ，D ，连接OC ，OD ，则有OC ⊥BC ，
OD ⊥BD ， ∵OC =2，OB =4，
∴cos∠BOC =OC OB =24=1
2，
∴∠BOC =60°，
同理∠BOD =60°，
当点H 与点C 重合时，由(1)知：α=90°，
∴∠OHB=90°．
∵圆弧PH的长为90π×2
180
=π；
当点H与点D重合时，α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°，
∴圆弧PH的长为210π×2
180=7
3
π，
∴当BH与⊙O相切时，旋转角α=90°或210°，点H运动路径的长为π或7
3
π；
(3)S△AHB=1
2
AB⋅ℎ，
h表示点H到直线AB的距离，作ON⊥AB于点N，H在圆O上，
在Rt△ONB中，∠OBN=45°，OB=4，
∴ON=4cos45°=2√2，
∴ℎmin=ON−r=2√2−2，
ℎmax=2√2+2，
∴当△AHB面积最大时，点H到AB的距离为2√2+2．
【解析】(1)根据题意易证△AOP≌△BOH，所以∠OPA=∠OHB，又∠OPA=90°，进而即可证明结论；
(2)过点B作⊙O的切线BC，BD，然后分情况讨论，当点H与点C重合时或当点H与点D重合时，即可得出答案；
(3)当H与AB的距离最大时，△AHB面积最大，进而可以求得答案．
本题是圆的综合题，正确理解题意，熟知外切圆的有关性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设y=k(x−70)，
∵当x=20时，y=500，
∴500=k(20−70)，
∴k=−10，
∴y=−10(x−70)，
即y=−10x+700；
(2)设商店试销该工艺品每天获得的利润为W(元)，
则W=(x−10)y=(x−10)(−10x+700)，
即W=−10x2+800x−7000，
∴W=−10(x−40)2+9000，
∴当x=40元/件时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；(3)∵W=−10(x−40)2+9000，且−10<0，
∴当x<40时，W随x的增大而增大，
又∵x≤35，
∴当x=35元/件时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大．
【解析】(1)设y=k(x−70)，将x=20，y=500代入y=k(x−70)，即可得到结论；
(2)设商店试销该工艺品每天获得的利润为W(元)，根据题意得到W=(x−10)y=(x−10)(−10x+700)，配方法求得W=−10(x−40)2+9000，根据二次函数的性质即可得到结论；
(3)根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数解析式的求解，考查了二次函数解析式的求解，考查了二次函数的实际应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，
设Rt△ABC斜边AB上的高h，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，
∵△ABC的面积=1
2AB⋅ℎ=1
2
AC⋅BC，
∴ℎ=AC⋅BC
AB =3×4
5
=12
5
，
即点P到AB的最大距离是12
5
；
(2)①当点P在AC上运动时，
设运动时间为ts，则有AP=3t，CE=t，
∵直线l//AC，
∴∠PDE=∠APD，
如图1，过点D作DG⊥AC于点G，则四边形CEDG是矩形，
∴DG=CE=t，PG=AP−AG=3t−AG，
∵tanA=DG
AG =BC
AC
，
∴t
AG =4
3
，
∴AG=3
4
t，
∴PG=3t−3
4t=9
4
t，
∴tan∠APD=DG
PG =t9
4
t
=4
9
，
即tan∠PDE=4
9
；
②∵ED′⊥AB，
∴∠BED′+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠BED′=∠A，
∵直线l//AC，
∴直线l⊥BC，
∴∠CEP+∠PED=90°，∠P′ED′+∠BED′=90°，由旋转的性质，得：∠PED=∠P′ED′，
∴∠CEP=∠BED′，
∴∠CEP=∠A，
又∵∠ECP=∠ACB，
∴△CEP∽△CAB，
∴CE
AC =PC
BC
，
即t
3=3−3t
4
，
解得：t=9
13
；
(3)四边形PEFD能成为菱形，理由如下：
∵点F是点P关于直线DE的对称点，
∴DE垂直平分PF，
∴当PF也垂直平分DE时，四边形PEFD为菱形．∵直线l//AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴DE
AC =BE
BC
，
即DE
3=4−t
4
，
∴DE=3
4
(4−t)，
①当点P在AC上时，连接PF，如图2所示：
若PF垂直平分DE，则有1
2
DE=3−3t，
∴38(4−t)=3−3t ， 解得：t =47；
②当点P 在BC 上时，P 、F 、E 三点都在x 轴上，构不成四
边形；
③当点P 在BA 上时，
若点P 在直线l 的右侧，连接PF ，如图3所示：
类比①可得：38(4−t)=35(3t −7)，
解得：t =7629；
若点P 在直线l 的左侧，P 、E 、F 、D 四点构不成凸四边形；
综上所述，当t 为47或7629时，四边形PEFD 为菱形．
【解析】(1)当点P 与点C 重合时，点P 到AB 的距离最大，由三角形面积求解即可；
(2)①当点P 在AC 上运动时，设运动时间为ts ，则有AP =3t ，CE =t ，由平行线的性质得∠PDE =∠APD ，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，则四边形CEDG 是矩形，得DG =CE =t ，PG =AP −AG =3t −AG ，再由锐角三角函数定义求出PG =94t ，即可求解； ②证出∠BED′=∠A ，∠CEP =∠BED′，再证△CEP∽△CAB ，得CE AC =PC BC ，即可求解；
(3)当PF 也垂直平分DE 时，四边形PEFD 为菱形．证△DBE∽△ABC ，得DE AC =BE BC ，求出DE =34(4−t)，再分情况讨论即可．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、锐角三角函数定义、勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义是解题的关键．。