江苏各市2019届高三上学期期末数学试卷【数列类题】汇编及解析

2019届高三上学期期末数学试卷【数列类题】汇编（一）试题细目表地区+题号类型考点思想方法2018·南通泰州期末·8填空等比数列2018·无锡期末·9填空等差数列2018·镇江期末·7填空等比数列2018·扬州期末·9填空等比数列、等差数列2018·常州期末·8填空等比数列2018·南京盐城期末·10填空等差数列前n项和2018·苏州期末·8填空等比数列2018·苏北四市期末·11填空等差数列2018·南通泰州期末·20解答数列综合、新定义2018·无锡期末·19解答数列综合、存在性2018·镇江期末·20解答数列综合、恒成立2018·扬州期末·20解答数列综合、存在性2018·常州期末·19解答数列综合、存在性2018·南京盐城期末·19解答数列综合、存在性2018·苏州期末·19解答数列综合、存在性2018·苏北四市期末·20解答数列综合（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·8）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8646a a a =+，则3a 的值为.【答案】32.（2018·无锡期末·9）已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且4a ，54，72a 成等差数列，则12n a a a ⋅⋅⋅ 的最大值为．【答案】10243.（2018·镇江期末·7）设等比数列{a n }的前n 项和Sn ，若a 1= -2,S 6=9S 3,则a 5的值为【答案】-324.（2018·扬州期末·9）已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________.【答案】13275.（2018·常州期末·8）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为．【答案】36.（2018·南京盐城期末·10）.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为．【答案】40347.（2018·苏州期末·8）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为．【答案】948.（2018·苏北四市期末·11）已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为．【答案】111.（2018·南通泰州期末·20）若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,2,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,判断数列{}n a 是否为“(2)R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“(3)R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明：{}n b 是等差数列.【答案】【解】（1）当n 为奇数时，12(1)(21)30n n a a n n --=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++=2(2)12(2)12(21)2n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时，1(21)210n n a a n n --=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++=2(2)2(2)42n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“(2)R 数列”.（2）由题意可得：332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d .因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以112211(1)b nd b nd b n d +≤+≤++，所以2112()n d d b b -≥-①，21121()n d d b b d -≤-+②.若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得：13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===.设31333131p p p p b b b b --+--=-3331p p b b λ++=-=，则31323131()((1))n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得：331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-.所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=-23(1)((2))b p d b p d =+--+-23b b d =-+，3131p p b b λ+-=-1212((1))b pd b p d b b d =+-+-=-+，3331p p b b λ++=-3131()b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得：32d λ=，所以23d λ=，所以321(1)n b b n d -=+-1(321)3d b n =+-+，312(1)n b b n d -=+-1(1)b d n d λ=+-+-1(311)3d b n =+--，33(1)n b b n d =+-1(1)b n d λ=++-1(31)3d b n =+-，所以1(1)3n d b b n =+-，所以13n n d b b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列.2.（2018·无锡期末·19）已知数列{}n a 满足121111(1)(1)(1)n na a a a ---= ，*n N ∈，n S 是数列{}n a 的前n 项的和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数,p q 的值；（3）是否存在*k N ∈，使得116k k a a ++为数列{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为121111(1)(1)(1)n na a a a ---= ，*n N ∈，所以当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由1211(1)(1)a a -- 11(1)n n a a -=和12111111(1)(1)(1)n n a a a a -----=，两式相除可得，111n n na a a --=，即11(2)n n a a n --=≥所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列.于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p q a S a S +=⎧⎪⎨=⎪⎩，于是654p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩，或546p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩.当654p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩时，16(3)542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546pq a S =⎧⎪⎨=⎪⎩时，154(3)62p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k ，使得*116()k k m a a a m N ++=∈，则(1)(2)161k k m +++=+，平方并化简得，22(22)(23)63m k +-+=，则(225)(221)63m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =或5m =，3k =，3m =，1k =-（舍去），综上所述，3k =或14.3.（2018·镇江期末·20）已知数列{a n }的前n 项和Sn ，对任意正整数n ，总存在正数p ,q ,r 使得r q S p a n n n n -==-,1恒成立：数列{b n }的前n 项和n T ，且对任意正整数n ，n n nb T =2恒成立.（1）求常数p ,q ,r 的值；（2）证明数列{b n }为等差数列；（3）若22b =，记nn n n n n n n n n a b n a b n a b n a b n a b n P 121321222242222---++++++++++=，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】因为n n S q r =-①，所以11n n S q r --=-②，（2n ≥）①－②得：11n n n n S S q q ---=-，即1n n n a q q -=-，（2n ≥），又1n n a p -=，所以11n n n p q q --=-，（2n ≥），2n =时，2p q q =-，3n =时，232p q q =-又p ,q 为正数,解得p ＝q ＝2，又因为11a =，1S q r =-，且11a S =，所以1r =（2）因为n n nb T =2③，当2n ≥时，112(1)n n T n b --=-④③－④得：12(1)n n n b nb n b -=--，即1(2)(1)n n n b n b --=-⑤，又1(1)n n n b nb +-=⑥，⑤+⑥得：11(22)(1)(1)n n n n b n b n b -+-=-+-，即112n n n b b b -+=+，（2n ≥），所以数列{b n }为等差数列.(3)因为10b =，又22b =，由（2）知数列{b n }为等差数列，所以22nbn =-.又由（1）知12n n a -=，所以1232222244422222n n n n n n n n n P ---+--=++⋅⋅⋅++，又1232221222444244222222n n n n n n n n n n n P +---+--+=+⋅⋅⋅++++，所以121214422122422224nn n n n n nn n n n n P P +--++-⋅-=+-=，令10n n P P +->得122420n n n +-⋅>，所以61123422n n n n+<=+<，解得1n =所以1n =时，10n n P P +->，即210P P ->，2n ≥时，因为24n ≥，1342n +<，所以1612322n n n n+>+=，即122420n n n +-⋅<，此时1n n P P +<，即234P P P >>>⋅⋅⋅，所以n P 的最大值为222222+27=+=222P ⨯⨯，若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，则max 72k P ≥=，所以正整数k 的最小值为4.4.（2018·扬州期末·20）已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n ，数列{b n }满足b 1=21，2b n+1=b n +nn a b .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n =nn S b 2+，求和c 1+c 2+…+c n ；(3)是否存在正整数p ,q ,r (p ＜q ＜r )，使得b p ,b q ,b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ,q ,r ，若不存在，请说明理由。