工程力学静力学课件第六章

第六章 空间力系 重心
§6-1 工程中的空间力系问题 §6-2 力在空间坐标轴上的投影 §6-3 力对轴之矩 §6-4 空间力系的平衡方程 §6-5 重心
【本章重点内容】
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩 空间力系的平衡方程 重心
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系 ：
作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且 也不能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。
一、空间力系的简化
• 空间力系的简化 • 与平面一般力系的简化方法一样，空间力系也
可以简化为一个合力和一个合力偶。
空间汇交力系的合力FR称为力系的主矢
FR F F
力系的主矢在FR三个坐标轴的投影分别为
FRx FRy
Fx Fy
FR
FRz
Fz
( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
实验法测算重心
出于以下两种原因，需要运用实验的方法来测算物体的重心。 （1）由于实际物体外形非常复杂，应用前述的方法难以求出物体的重 心，需要通过实验测算。 （2）对复杂物体进行初步设计后，由于加工误差，成型产品与设计值 有一定的差别，为了准确获得物体（产品）重心，需要通过实验测算 物体的重心。 实验方法主要有：悬挂法和称重法。
2、分割法—将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部 分容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重 心坐标公式可以查表）。
例题6-4：试求图示截面重心的位置。 解：将图示截面分成图示三部分
A1 40cm2 , x1 10cm, y1 1cm A2 54cm2 , x2 0.75cm, y2 20cm A3 30cm2 , x3 6cm, y3 39cm
d、力不在垂直转轴的平面内
右手螺旋法
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
空间力系中，力对z轴之矩 M z F 等于力在垂直于z轴
的平面内的投影Fxy 与力臂d（即轴与平面的交点O到力Fxy 的垂直距离）的乘积。 正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转动为正，反之为负。
力对轴之矩代数量的正负号
C
W1
Wn W2
z1 z c z 2 z n
y1 y2
yc
x1
xWc x2
Y xn
n
my W my Wi , i 1
W .xC W1 x1 W2 x2 Wn xn
n
mz W mz Wi , i 1
W .zC W1 z1 W2 z2 Wn zn
X
空间一般力系平衡的充要条件：
各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，以及这些力
对于每一个坐标轴之矩的代数和也等于零。
空间力系满足上述六个方程，则物体必然保持平衡状态。
三、空间汇交力系的平衡方程
由于： M x F 0, M y F 0, M z F 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
一、力在空间直角坐标轴上的投影 1、直接投影法 力F直接向坐标轴投影的方法称为直接投影法。
已知力F与三个坐标轴的夹角 、、
力F在坐标轴的投影为：
Fx F cos Fy F cos （6-1a） Fz F cos 直接投影法
一、力在空间直角坐标轴上的投影 2、间接（二次）投影法
cos Fx , cos Fy , cos Fz
FR
FR
FR
合力偶M o称为空间力系的主矩
力系的主矩在M
三个坐标轴的投影分别为
o
M ox M oy
M x (F ) M y(F)
M oz
M z (F )
Mo
M
x(F2)来自M y (F )2 2
M z (F )
重心坐标式
xC
xiVi V
yC
yiVi V
zC
ziVi V
均质物体的重心也称 为物体的形心
对于均质连续体
设γi为物体单位体积的重量,则: △vi, 对于连续体,n→∞
wi= γi
xC
n
lim
n
i 1
i
vi
xi
n
lim
n
i 1
i
vi
xdV
V
dV
V
体积重心:
xC
xdV
V
yC
ydV V
zC
zdV
二、例题
例6-1 已知：Fn、 、 求：力 F在n 三个坐标轴上的投影。
Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
§6-3 力对轴之矩
力对点之矩（力矩）
M0F F h
§6-3 力对轴之矩
个微小部分的面积为A1，A2，……An
xC
xiVi V
V hA V1 hA1,V2 hA2 ,,Vn hAn
重心坐标式
y
yC
yiVi V
zC
ziVi V
重心坐标式
xC
xi Ai A
yC
yi Ai A
xc
o
C yc
x
§6-7 物体重心的求法
1、对称性法—当研究的物体具有对称轴、对称面或对称中心的均匀物体，其 重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。例：球体、立方体、等腰三角形等。
yn
重心 坐标 公式
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
如以Wi mi g,W Mg代入,可得质心的坐标公式 :
重心 坐标 公式
xC
Wi xi W
yC
Wi W
yi
xC
mi xi M
yC
mi yi M
在均匀重z力C 场W内Wi ， zi 质心与其重z心C 位 置重mMi合 zi
对于均质连续体
设γi为物体单位体积的重量,则:
wi= γi △vi,
对于连续体,n→∞
xC
n
lim
n
i 1
i
vi
xi
n
lim
n
i 1
i
vi
xdV
V
dV
V
2、均质物体的重心坐标公式
均质物体的重量是均布的，如物体单位体积的重量为γ， 物体体积为V，则：
W V
物体每个微小部分的重 量分别为 :
W1 V1,W2 V2 ,,Wn Vn
可得Z形截面重心位置为：
xC
xi Ai A
10 40 0.75 54 (6) 30 40 54 30
2.1cm
yC
yi Ai A
1 40 20 54 39 30 40 54 30
18.47cm
3、负面积法—若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心。此时，仍可
应用分割法，但切取的部分面积在计算时取负值。
右图： A点：
B点：
D点： 切削力： Fx Fy Fz 径向轴承约束反力： FAx FAz
径向止推轴承约束反力： FBx FBz FBy
空间力系实例：
FRx
有效推进力 飞机向前飞行
FRy
有效升力
飞机上升
FRz
侧向力
飞机侧移
M Ox
滚转力矩
飞机绕x轴滚转
M Oy
偏航力矩
飞机转弯
M Oz
俯仰力矩
飞机仰头
力对轴之矩： 用来量度力使物体绕轴转动效应的物理量
例题6-1 半径为r的斜齿轮，其上作用有力F，见下图。
求力F沿坐标轴的投影及 力F对Y轴之矩
例6-1
解：力F在三轴上的投影为：
Fx Ft F cos sin （圆周力）
Fy Fa F cos cos （轴向力）
Fz Fr F sin
方法二：将空间力系平衡问题转化为平面力系平衡问题来求解
在Axz平面
在Ayz平面
在Axy平面
例题6-3
在Axz平面
在Ayz平面
在Axy平面
§6-5 平行行力系中心和重心
重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动 力学问题有关。 因此需要了解什么是重心？重心的位置怎样确定？
1. 平行力系中心
abc三点不能共线四各类力系的平衡方程形式一览表力系独立的平衡方程数平衡方程的常见形式空间一般力系3个投影式3个力矩式空间平行力系1个投影式2个力矩式空间汇交力系3个投影式空间力偶系3个力矩式平面一般力系2个投影式1个力矩式1个投影式2个力矩式3个力矩式平面平行力系1个投影式1个力矩式2个力矩式平面汇交力系2个投影式共线力系1个投影式thanksyourattention
（6-6）
四、空间平行力系的平衡方程：
由于： Fx 0, Fy 0, M z F 0
Fz 0
Mx F 0
My F 0
（6-7）
求解空间力系的平衡问题时， 可以直接利用 空间一般力系的6个平衡方程，也可以将空间 力系转化为三个坐标平面内的平面力系来处理。
例题6-2 方法一：直接利用空间力系平衡方程求解
结论:平行力系中,合力作用点C的位置只与各平行力 的作用点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关。 点C称为该平行力系的中心。
mx (R) mx (Fi)
RyC=F1y1+ F2y2+……Fnyn =Σ Fiyi
z
R
而 R=Σ Fi
xC
Fi xi Fi
yC
Fi yi Fi
o
zC
Fi zi Fi
先将力向一个坐标平面投影， 再求出力在三个轴的投影。
已知力F与z轴正向间的夹角 以及
先将力F投影到xoy平面上
F F sin
一次投影
再将力F投影到x、y轴上， 及将力F投影到z轴上。
Fx F sin cos Fy F sin sin
二次投影
Fz F cos
间接投影法（二次投影法）
cos M ox , cos M oy , cos M oz
Mo
Mo
Mo
二、空间力系的平衡方程
空间力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。
FR 0 M FR 0
空间力系的平衡方程：
Fx 0 M x F 0
Fy 0 M y F 0
（6-5）
Fz 0 M z F 0
（径向力）
F对y轴之矩为：
my F my Ft F r cos sin
二、合力矩定理
空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各 分力对同一轴之矩的代数和，称为空间力系的合 理矩定理。
M x FR M x Fi
空间力系合力矩定理 常用来确定物体的重心位置，以及用分力矩计算合力矩
§6-4 空间力系的平衡方程
平行力系的合力W, 就是物体的重力 平行力系的中心，这个点称为物体的重心。
§6-6 重心坐标公式
Z
1、重心坐标的一般分式
由合力矩定理，合力W对轴之矩等 于各分力对同轴之矩的代数和。如 对x, y, z轴之矩有：
n
mx W mx Wi , i 1
W .yC W1 y1 W2 y2 Wn yn
（6-1b）
反过来，如果已知力F在三个轴x、y、z上的投影
Fx、Fy、Fz，求力F
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx Fx2 Fy2 Fz2 cos Fy Fx2 Fy2 Fz2 cos Fz Fx2 Fy2 Fz2
（6-2）
cos 2 cos 2 cos 2 1
;
y1
4R
3
A2
r
b2
2
;
y2
4r b
3
A3 r 2 ; y3 0
y R
r b
x
yC
yi Ai A
y1 A1 y2 A2 y3 A3 A1 A2 A3
3
4 R3 r b3 R2 r b2 r 2
3.9cm
可得偏心块C的坐标分别为：
xC 0, yC 3.9cm
一、力对轴之矩 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。只 不过轴通过该点，与该平面垂直
Mz(F) Mo(F) F h
空间的力对轴之矩：
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
力
对 轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； （b）力与轴垂直，力对轴的力矩等于零； （c）力在轴垂直的平面，力对轴的力矩等于零
空间力系的分类
空间一般力系
空间平行力系
空间汇交力系
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
平面力 F 在x轴，y轴投影分别为
Fx F cos Fy F cos
合力的大小为：
F Fx2 Fy2
方向为： cos Fx
F 作用点为力的汇交点.
Fx Fx 2 Fy2
cos Fy
Fy
F
Fx2 Fy2
例题6-5：试求图示偏心块截面的重心。R =10 cm, r =1.3 cm, b=1.7 cm
y R
解：将图示截面分成三部分：
半径为 R 的半圆、半径为（r+b）的半圆和半径为
r
r 的整圆。图示形状相当于从 R 半圆和（r+b）半
b
x
圆中挖掉半径为 r 整圆。
三部分的面积及其坐标为：
A1
R 2
2
x
C y
重心的概念
重力是地球对物体的吸引力，如果将物体想象成由 无数的质点组成，则每个质点都受地球引力作用，则这 些引力便构成空间汇交力系（交与地心）。由于物体的 尺寸比地球半径小得多，因此可近似地认为个这力系是 一空间平行力系，此平行力系的合力W,就是物体的重力。 通过实验我们知道，不论物体如何放置，这些平行力系 的合力的总是通过物体内的一个确定的点——平行力系 的中心，这个点称为物体的重心。
V
设γi为物体单位面积的重量,则: pi= γi △Ai, 对于连续体,n→∞
面积重心:（均质等厚物体，如薄壳）
xC
xdA
A
yC
ydA A
zC
zdA
A
线重心:（均质等截面曲杆，如绳、索等）
xC
xdl l
yC
ydl l
zC
zdl
l
3、均质薄板的重心
设板厚度为h，面积为A，将薄板分成若干微小部分，每