第二章机器人运动学

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.2.2 平移的齐次变换 一、点在空间直角坐标系中的平移变换
如图2.13所示，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当 它平移至A点后，坐标为(XA，YA，ZA)。其中
X A X A X
YA YA Y
Z A Z A Z
2.2.2 平移的齐次变换 一、点在空间直角坐标系中的平移变换
坐标系{B}可以这样来确定： 1）取手部的中心点为原点OB； 关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向 矢量a称为接近矢量，指向朝外； 2）两手指的连线为YB轴，YB 轴的单位方向矢量o称为姿态矢
量，指向可任意选定；
3）XB轴与YB轴及ZB轴垂直， XB轴的单位方向矢量n称为法向 矢量，且n = o a，指向符合
1
0
Y
0 0 1 Z
0 0 0
1
式中：第四列元素X、
Y、Z分别表示沿坐
标轴X、Y、Z的移动量。
X A X A X
YA YA Y
Z A Z A Z
或写成如下形式：
X A 1
YA
0
Z
A
1
0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
X X A
Y
YA
Z 1
Z
A
1
也可以简写为 A' Trans(X , Y, Z)A
1 0 0 X
Trans(X , Y , Z ) 0
位置和该连杆在空间的姿态，则称该连杆在空间是完全 确定的。
连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位 置可用一齐次坐标表示为：
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。
令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位矢量，各单
位方向矢量在静系上的分量为动系各坐标轴的方向余
弦，以齐次坐标形式分别表示为：
n [nX o [oX
1 1 1 1 1 1
Q 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2
1
1
111
1
1 1
2 2
1 1
1
1
若让楔块绕Z轴旋转–90°，再沿X轴方向平移4，
则楔块成为图2.8(b)所示的情况。此时楔块用新的8 个点来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为
4 4 6 6 4 4
Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2
nY oY
nZ oZ
0]T 0]T
a [aX
aY
aZ
0]T
连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：
nX oX aX X0
d [n o a
P]
nY nZ
oY aY oZ aZ
Y0
Z
0
0 0 0 1
连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的 动系位姿表示。
例2.2 图2.5表示固连于连杆的坐标系{B} 位于OB点，XB = 2，YB = 1， ZB = 0。在XOY平 面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30° 的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的
为
X A X A cos YA sin
YA
X A sin
YA cos
Z A Z A
或用矩阵表示为：
X A cos
YA
sin
Z A 0
sin cos
0
0 X A
0 YA
1 Z A
X A cos sin 0 0 X A
YA
sin
cos
0
0 YA
Z
2
nY
oX
2
tan
oZ aY 2 aX nZ 2 nY oX 2
nX oY aZ 1
kX
oZ aY
2 sin
kY
aX nZ
2 sin
kZ
nY oX
2 sin
sin 1
2
oZ
aY
2
aX
nZ
2
nY
oX
2
tan
oZ aY 2 aX nZ 2 nY oX 2
4 4矩阵表达式。
图2.5 动坐标系{B}的位姿表示
解 XB的方向列阵：n cos30 cos60 cos90 0T 0.866 0.500 0.000 0T
YB 的方向列阵： o cos120 cos30 cos90 0T 0.500 0.866 0.000 0T
ZB的方向列阵： a 0.000 0.000 1.000 0T
例2-3 图表示手部抓握物体 Q ,物体为边长2个单位的 正立方体,写出表达该手部位姿的矩阵式。
解： 因为物体 Q 形心与手部坐标系
O ′X ′Y′ Z′的坐标原点 O ′相重合,所 以手部位置的(4×1)列阵为
p=[1 1 1 1]T
手部坐标系X′轴的方向可用单位矢量n 来表示:
α=90°,β=180°,γ=90° n: nx=cosα=0
Px P= Py
Pz 1
二、齐次坐标
当w不为1时，则相当于将该列阵中各元素 同时乘以一个非零的比例因子w.
仍表示同一点P。 P = [a b c w]T 式中：a = wPX；b = wPY；c = wPZ。
三、坐标轴方向的描述
如图所示,i、j、k分别是直角坐标系中X、Y、Z坐标 轴的单位向量。若用齐次坐标来描述X 、Y 、Z 轴的 方向,则
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
0 0 1 0 7 2
1
0
0
0
3
7
0 1 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例2.5 图2.12所示单臂操作手的手腕也具有一个自 由度。已知手部起始位姿矩阵为
X=[1 0 0 0] T Y=[0 1 0 0] T Z=[0 0 1 0] T 从上可知,我们规定:
(4×1)列阵[ a b c 0] T中第四 个元素为零,且 a2 b2 c2 1 ,则表 示某轴的方向;
三、坐标轴方向的描述
规定:
(4×1)列阵[ a b c w ] T 中第四个元素不为零,则表示空间
第2章主要内容：
• 2.1 齐次坐标与动系位姿矩阵 • 2.2 齐次变换及运算 • 2.3 机器人位姿分析 • 2.4 机器人正向运动学 • 2.5 机器人逆向运动学
2.1齐次坐标与动系位姿矩阵
2.1.1齐次坐标 一、空间任意点的坐标表示
在直角坐标系A 中,空间任一点 P 的位置可用3×1的位置 矢量表示。
2.1.2 动系的位姿表示
在机器人坐标系中，运动时相对于连杆不动的坐标系 称为静坐标系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系。
动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示。 动系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及 对动坐标系各坐标轴方向的描述。 一、连杆的位姿表示
设有一个机器人的连杆，若给定了连杆PQ上某点的
A
1
0
0
0 0
1 0
0 1
Z
A
1
也可简写为
A' Rot(Z， )A
式中：Rot(Z，)表示齐次坐标变换时绕Z轴的转动齐次 变换矩阵，又称旋转算子，旋转算子左乘表示相对于固定坐 标系进行变换，旋转算子的内容为
c s 0 0
Rot(Z , ) s c 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
ny=cosβ=-1 nz=cosγ=0
同理,手部坐标系 Y′轴与 Z ′轴的方向可分别用单位矢量 o 和 a 来表示。
0 1 0 1
手部位姿可用矩阵表达为：
T n
o
a
P
1 0
0 0 1 0 1 1
0
0
0 1
三、目标物齐次矩阵表示 如图2.8所示，楔块Q在图2.8(a)所示位置， 其位置和姿态可用8个点描述，矩阵表达式为
《工业机器人技术基础》 第二章 机器人运动学
机器人运动学要解决的问题
• 机器人运动学通过研究机器人的关节变量和末 端执行器的位姿关系，建立机器人本体运动的 数学模型，为机器人的运动控制和机构设计提 供依据。
• 正向运动学问题（用于机构设计） 已知各关节变量，求取机械手末端位姿； • 逆向运动学问题（用于运动控制） 已知机械手末端位姿，求取各关节变量；
1
0
0
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
6
0
1
0
2
0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 2
0 0 0 1 0 0
0
1
0
0
0
1
手部绕手腕轴旋转是相对动坐标系作旋转变换，所以
G3 G1Rot(Z ,90)
0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2
1 0 0
6
1
0 0 0 0 1
0 6
0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 2
式中：c=cos；s=sin。
同理，可写出绕X轴转动的旋转算子和绕Y轴转动 的旋转算子：
1 0 0 0
Rot( X , ) 0 c s 0 0 s c 0
0 0 0 1
二、点在空间直角坐标系中绕过原点任意轴的一般
旋转变换
图所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转角的
情况。kX、kY、kZ分别为k矢量在固定参考系坐标轴X
nX oY aZ 1
kX
oZ aY
2 sin
kY
aX nZ
2 sin
kZ
nY oX
2 sin
式中：当取0°到180°之间的值时，式中的符号取“+” 号。
三、算子左、右乘规则 若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相
对动坐标系进行变换，则算子右乘。
例2.4 已知坐标系中点U的位置矢量U=[7 3 2 1]T，将 此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图2.11所示， 求旋转变换后所得的点W。
0 1 0 2
G1
1 0
0 0
0 1
6 2
0 0 0 1
若手臂绕Z0轴旋转
+90°，则手部到达G2；
若手臂不动，仅手部绕手
腕Z1轴旋转+90°，则手
部到达G30写出手部坐标
系{G2}及{G3}的矩阵表达
式。
解 手臂绕定轴转动是相对固定坐标系作旋转变换，故有
G2 Rot(Z ,90)G1
0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 6
、Y、Z上的三个分量，且
k
2 X
kY2
kZ2
1
可以证得，绕任意过原点的单位矢量k转角的旋转算子为
kX kX vers c kY kX vers kZ s kZ kX vers kY s 0
Rot(k, ) kX kY vers kZ s kY kY vers c kZ kY vers kX s 0
1
1
1
1
11
6 6
1 1
1 1
1
1
2.2齐次变换
连杆的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩
阵表示转动和平移,有必要引入齐次坐标变换矩阵。 2.2.1 旋转的齐次变换
一、点在空间直角坐标系中绕坐标轴的旋转变换
如图，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转 角后至A点，坐标为(XA，YA，ZA)。A点和A点的坐标关系
某点的位置。 图中矢量 v 的方向用(4×1)列阵可表达为: v=[a b c 0] T
a=cosα, b=cosβ, c=cosγ
例2-1 用齐次坐标写出图中矢量 u 、v、w 的方向列阵。
解 矢量 u: cosα =0, cosβ =0.707, cosγ=0.707 u=[0 0.707 0.707 0] T 矢量 v: cosα =0.707, cosβ =0, cosγ =0.707 v=[0.707 0 0.707 0] T 矢量 w: cosα =0.5, cosβ =0.5, cosγ =0.707 w=[0.5 0.5 0.707 0] T
k
X
kY
vers 0
kY s
kY kZ vers kX s 0
kZ kZ vers c 0
0 1
式中： vers 1 cos
反之，若给出某个旋转算子
nX oX aX 0
R
nY
oY
aY
0
nZ 0
oZ 0
aZ 0
0 1
求出其等效转轴矢量k及等效转角为
sin 1
2
oZ
aY
2
aX
nZ
坐标系{B}的位置阵列
P 2 1 0 1T
则动坐标系{B}的4 4矩阵表达式为
0.866 0.500 0.000 2.0
T 0.500
0.866
0.000
1.0
0.000 0.000 1.000 0.0
0
0
0 1
二.手部位置和姿态的表示
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标 系{B}的位姿来表示,如图所示。
其左上标A代表选定的参考坐标系
AP [ px
py
p ]T z
式中:
是点P在坐
标系A中的三个位置坐标分量。
二、齐次坐标
将一个n维空间的点用n + 1维坐标表示，则该 n + 1维坐标即为n维坐标的齐次坐标。
一般情况下w称为该齐次坐标中的比例因子，当取 w = 1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式， 即
右手法则。
手部的位置矢量为固定参考系原点指向
手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢
量为n、o、a。于是手部的位姿可用4 4矩
阵表示为：
nX oX aX PX
T n
o
a
P
nY
oY
aY
PY
nZ oZ aZ PZ
0 0 0 1
例2-3 图表示手部抓握物体 Q ,物体为边长2个单位的 正立方体,写出表达该手部位姿的矩阵式。