椭圆的标准方程课件第一课时

x2 y2 方 程 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b
焦 点
a,b,c 的关系
F(± F(±c，0)
F(0， F(0，±c)
b = a −c
2 2
2
a、 、 中 最大 b c a
小结： 小结：
点的轨迹方程的求解方法： 点的轨迹方程的求解方法： 定义法和直接法
例2和例3 椭圆方程的 2 3 推导方法
例１:
应用举例
x2 y2 若方程 + =−1表示椭圆，则实数k的取值范围是多少 k − 5 3− k 2 2
解:先化简为
x y + =1 5− k k −3
若原方程表示椭圆则需满足
5−k > 0 k −3 > 0 5 − k ≠ k − 3
∴ 3 < k < 5且k ≠ 4
练习：x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆， 求k的取值范围
焦点定位 焦 点
a,b,c之间
的关系
c2=a2-b2
问题3： 问题 ：已知椭圆方程，如何求解椭圆的焦点坐标？ 问题：指出下列方程中，哪些是椭圆的方程？ 若是椭圆的方程，判定椭圆的焦点在哪个轴 上，求出a,b以及焦点坐标． a,
x2 y2 (1) + =1 5 4
(2)x2 + y2 =1
x2 y 2 (3) − = 1 16 9
例题3 已知B、C是两个定点，|BC|=8，且三角形
ABC的周长为18。 求这个三角形的顶点A的轨迹方程； 注意：1 建立适当平面直角坐标系 2 研究点A的几何意义
小 结
图
F1
y
M
y
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
形 定 义
{M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
作业 巩固练习
A1.2 选作 选作B2
《非常学案》习题
对于含有两个 M 根式的方程， 根式的方程， F1 O F2 可以采用移项
y
x
者 设M(x,y)为椭圆上的任意一点， M(x,y)为椭圆上的任意一点， 为椭圆上的任意一点 分子有理化 ∵|F1F2|＝2c(c>0),
∵ ∴
进 c,0)、 则：F1(-c,0)、F2(c,0) 行化简。 行化简。
| M 1 | + | M 2 |= 2a F F
0<K<1
定义法
例２
已知动点P(x,y)到定点F 3,0)、 P(x,y)到定点 ：已知动点P(x,y)到定点F1(-3,0)、 ，求动点P的轨迹方程。 求动点P的轨迹方程。 (3,0)的 F2(3,0)的 距离之和等于 8
解题步骤 1、判断：⑴和是常数； 、判断： 和是常数； 个定点之间的距离。 ⑵常数大于两 个定点之间的距离。 故动点的轨迹是椭圆。 故动点的轨迹是椭圆。 2、根据已知求出a、c，再推出 、b 、根据已知求出 、 ，再推出a、 写出椭圆的标准方程。 写出椭圆的标准方程。
x2 y2 (4) + =1 2 3
(5)x = 2y
2
(6)2x + 3y = 1
2 2
练习： 练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1） a=4，c= 15 ，焦点在 y 轴上 2）两个焦点的坐标是（-3，0）和（3，0） 并且经过点（0，4） 小结：根据焦点位置先设椭圆标准方程，再求解 小结：根据焦点位置先设椭圆标准方程，再求解a,b
在绘图板上作图，思考提出的问题：
1．在作图时，两个图钉为定点，绳子两端固定在白纸 ．在作图时，两个图钉为定点， 的两个定点上,用铅笔将固定好的绳子拉直 用铅笔将固定好的绳子拉直， 的两个定点上 用铅笔将固定好的绳子拉直，视笔尖为 动点做出一个三角形,然后顺时针移动铅笔 绳子紧绷） 然后顺时针移动铅笔（ 动点做出一个三角形 然后顺时针移动铅笔（绳子紧绷） 看看其轨迹如何？ 看看其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等， ．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等， 画出的图形还是椭圆吗？ 画出的图形还是椭圆吗？ 3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ ．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ 4. 能否说出椭圆，焦点，焦距的定义？ 能否说出椭圆，焦点，焦距的定义？
它所表示的椭圆的焦点在 轴上 它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点在 轴上， 焦点是 F1 ( −c, 0) F2 (c, 0) ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中 a 2 = b 2 + c 2 其中
y F2 M
O
x F1
如果椭圆的焦点在y轴上 那 如果椭圆的焦点在 轴上,那 轴上 么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 么椭圆的标准方程又是怎样的呢
自学二：
认真阅读课本35页----37页，思考下面问题： 1 研究如何推导椭圆的方程，并记忆 椭圆标准方程的形式特点 2 课本是以焦点在x轴建立的直角坐标系来推导方程的， 若焦点在y轴上如何推导椭圆的标准方程？（同桌讨论） 3 已知椭圆方程，如何求解椭圆的焦点坐标？
问题1 求椭圆的方程： 问题1.求椭圆的方程：
陈建军
学习目标： 学习目标：
1.识记椭圆的定义。 识记椭圆的定义。 识记椭圆的定义 2.会推导椭圆的标准方程。 会推导椭圆的标准方程。 会推导椭圆的标准方程 3.掌握求椭圆标准方程的常用方法。 掌握求椭圆标准方程的常用方法。 掌握求椭圆标准方程的常用方法
自学一：
先阅读课本33页，然后以同桌为一组试着按课本的 方法体会椭圆形成的条件。
椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于 大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆
两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ [1]平面上 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a [3]常数 2a 要大于焦距 2c 2a>2c 思考： 2a=2c表示什么图形 2a<2c又表示什么图形
求轨迹方程的一般步骤： 求轨迹方程的一般步骤： 建立适当直角坐标系 设点坐标 列等式
代入坐标
化简方程
问题1 求椭圆的方程： 问题1.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y M M F1
O
y F2 x
O
F2
x F1
方案一
方案二
以直线F 以直线F1F2为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴， 的垂直平分线为y 建立如图坐标系。 建立如图坐标系。 两边平方或
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
a,b定形 定形 方 程
x2 y 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
F(±c，0) F(±
y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
F(0，±c) F(0，
2 2
令 a2 −c2 = b2, b> 0 >
∴ b2x2 + a2y2 = a2b2
则椭圆的方程为： 则椭圆的方程为：
x y + 2 =1 2 a b
2
2
y
M ( x, y )
x2 y2 + 2 =1 2 a b
(a > b > 0 )
F1
O
F2
x
叫做椭圆的标准方程。 叫做椭圆的标准方程。 椭圆的标准方程
2 2
(x −c) + y + (x + c) + y = 2a
2 2
∴ ∴ ∴ ∴
(x − c)2 + y2 = 2a − (x + c)2 + y2
Q a > c > 0 ∴ a −c > 0
2 2
这样设法不仅 2 4a (x + c) + y = 4a + 4cx 可以使方程简 2 2 2 2 4 2 单整齐，而且 单整齐cx + c2x2 a (x + 2cx + c + y ) = a + 2a ， 还有明确的 2 2 2 2 2 b2 2 2 (a −c )x + a y =意义。 c ) a (a。 − 意义