高中数学 第二章 函数 2.1 生活中的变量关系问题导学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学

2.1 生活中的变量关系
问题导学
一、依赖关系与函数关系的判断
活动与探究1
下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)商品的销售额与广告费之间的关系；
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
迁移与应用
1．下面的变量与变量之间是否具有依赖关系？是否具有函数关系？
①一天中温度与时间的关系；
②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关系；
③油菜在生长期内株高与施肥量的关系；
④人的身高与体重之间的关系；
⑤一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关系．
(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，则它们具有依赖关系，如果不发生变化，则它们不具有依赖关系．
(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：
①确定因变量和自变量．
②判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数关系．
二、结合图像分析两个变量之间的关系
活动与探究2
如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 °C?
(3)大约在什么时刻内，气温在0 °C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
迁移与应用
如图所示，小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距
离与时间的变化情况．
(1)图像表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)在10时和13时，他离家分别有多远？
(3)他在什么时间段离家最远？
(4)小明离家的时刻是离家的距离的函数吗？
(1)结合图像分析两个变量之间的关系时，首先要清楚横轴、纵轴的含义，明确单位等；其次要注意观察，分析图像中蕴含的数据信息，特别注意发现图像中的关键点，如图像与横轴、纵轴的交点，图像的最高点、最低点等．
(2)由图像判断两个变量是否具有函数关系时，首先要区分好自变量和因变量，其次要看对于自变量的每一个值，因变量是否都有唯一确定的值与之对应．
三、结合表格分析两个变量之间的关系
活动与探究3
口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；
(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？
迁移与应用
x 1 921 1 927 1 949 1 949＜x＜1 997 1 997 1 999 2 010
y 1234567
2．以下是某电视台的广告价格表(2013年1月报价，单位：元)
试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？
具有依赖关系的两个变量在实际问题中常常需要用图像或式子表示出来，通过有限的数据关系，我们可以表示出两个变量的依赖关系，从而得到其余各个数据之间的依赖关系，从而指导我们的生活，使我们的利益取得最优化．
当堂检测
1．下列说法不正确的是( )．
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
2．李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中(s为距离，t为时间)符合以上情况的是( )．
3．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有__________．(只填序号)
4．下图是我国2012年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份(单位：月)，纵轴为降雨量(单位：cm)．
由图中曲线可判断该地2012年的降雨量与时间是否具有函数关系？
5．判断下列变量间是否存在函数关系：
(1)矩形的面积一定时，其长与宽；
(2)等腰三角形的底边边长与周长；
(3)关系式y2＝x中的y与x.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．依赖关系因变量自变量
2．(1)函数(2)每一个值唯一确定
预习交流1 提示：根据定义，函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．
预习交流2 提示：人的健康状况和饮食之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因为健康状况并不单纯由人的饮食而定，还受环境、锻炼等因素的影响．课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：两个变量中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，则它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，则它们具有函数关系．解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量．反之不行．
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间是不确定性关系，即不是函数关系．
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系．
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个
时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．
综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．迁移与应用1．解：①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系．其中①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点，即任给一个时间的值，该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度就唯一确定，也就是说，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，所以它们之间的关系是确定性关系，即是函数关系．其中①中的自变量是时间，因变量是温度，反之不行，②中的自变量是时间，因变量是耗油量，反之也是，⑤中的自变量是时间，因变量是飞行高度，反之不行．而③④中两个变量尽管具有依赖关系，但油菜生长期内的株高除与施肥量有关外，还与灌水、光照等因素有关，人的身高越高，其体重不一定越重，所以它们之间的关系不具有确定性，不是函数关系．活动与探究2 思路分析：对照图像，分析时间t与气温θ的取值情况以及它们之间的对应关系，结合函数关系的定义判断它们之间的关系．
解：(1)上午8时的气温是0 °C，全天最高气温大约是9 °C，在14时达到．全天最低气温大约是－2 °C，在4时达到．
(2)大约在8时和22时，气温为0 °C.
(3)在8时到22时之间，气温在0 °C以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以气温与时间具有依赖关系，也具有函数关系．
迁移与应用解：(1)图像表示了时间与距离两个变量之间的关系，时间是自变量，距离是因变量．
(2)在10时和13时，他离家分别为10千米和30千米．
(3)他在12时至13时离家最远．
(4)不是，因为对于某一个确定的离家距离，与之对应的时间的值不是唯一的．
活动与探究3 思路分析：用横轴表示温度t，用纵轴表示口香糖黏附力F，根据表格中的数据在坐标系中描出各点，即可画出图像；结合图像可分析黏附力F与温度t之间的关系．
解：(1)图像如下：
(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 °C 时，口香糖的黏附力最大．
迁移与应用1．解：x，y的取值范围分别是A＝{1 921,1 927，1 949，1 997，1 999,2 010}∪{x|1 949＜x＜1 997}，B＝{1,2,3,4,5,6,7}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系．
2．解：不是函数关系，因为广告价格既与播出时间段有关，也与播出时长有关．
【当堂检测】
1．C
2．C 解析：因为李明骑车上学路上停留了一段时间，故该段图像平行于横轴，所以只有C符合条件．
3．①③④
4．解：因为对于2012年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得2012年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．
5．解：(1)矩形的面积一定时，其长取每一个确定的值，其宽都有唯一确定的值与之对应，所以长与宽存在函数关系，且长是自变量，宽是因变量，反之也是．
(2)等腰三角形的周长受底边边长和腰长两个因素的影响，当其底边长取每一个确定的值时，其周长不能唯一确定，故周长与底边边长之间不具有函数关系．
(3)在关系式y2＝x中，当y取每一个值时，x都有唯一的值与之对应，所以y与x存在函数关系，且y是自变量，x是因变量，反之不行．。