高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)
一、填空题
1．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O
ABC 的周长最小值为___________
2．在ABC
中，AB =
BC =1
cos 7
BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π
3
BDC ∠=
．给出下列三个结论：①BCD △
②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为
8π
3
．其中正确结论的序号为______．
3．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调，且满足7312
4
f f ππ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则函数()f x 的最小正周期为π；
③ω的取值范围为(]0,4；
④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点.
其中所有正确结论的编号为________.
4．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．
5．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1
C B c b a
+=，则A 的取值范围是___________. 6．给出下列命题：
①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；
③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；
④设常数a ∈R ，函数2log ,04
()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨>⎪-⎩
若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，
2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．
其中正确命题的序号为_____．
7．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，那么(cos1)f =________.
8．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==
，12
n n n a b
c ++=，则n A ∠的最大值是________________. 9．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的图象相交，若自左至右的三个相．邻交点．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数
m =______. 10．已知1OB →
=，,A C 是以O 为圆心，22为半径的圆周上的任意两点，且满足0BA BC →
→
⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04
θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →
方向上的投影的取值范围是_____.
二、单选题
11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6
B ．-8
C ．-9
D ．-12
12．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
13．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3
ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）
A 5
B 7
C ．13
D ．3
14．已知函数()()()sin 010f x x ωϕω=+<<，若存在实数1x 、2x ，使得
()()122f x f x -=，且12x x π-=，则ω的最大值为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．5 15．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1
x
g x f x x =
++在区间
[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
16．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大
小为π04θθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．
A ．αβθ+>
B ．αβθ+<
C ．π2
αβ+>
D ．2αβθ+>
17．已知函数()2sin 1,02
2sin 1,0
2x x f x x x ππ⎧
-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区
间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-
B ．8-
C ．6-
D ．4-
18．已知函数()2sin cos 3cos2f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =
对称；②()f x 的值域为[]22-,
；③()f x 在π7π,1212⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①②④
19．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C
a c A
+=3cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A ．(
6,23⎤⎦
B ．(
0,43
C ．(
23,43
D ．(
6,43
20．设函数()3x
f x m
π，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足
()2
22
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）
A ．(,6)(6,)-∞-+∞
B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
C ．(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(,1)(1,)-∞-+∞
三、解答题
21．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；
（2）若ABC ∆是锐角三角形，求a
c
的取值范围.
22．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π
个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域.
23．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域. 24．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
25．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；
（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为1
2
-，求实数m 的值.
26．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数
()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512
x π
=
时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
有解，求实数t 的取值范围；
（2）若5a =，且sin sin B C +=
，求ABC ∆的面积. 27．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数
()()2n f x a b x R =⋅+
∈的图象关于点,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；
（II ）若()4f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．
28．已知函数())
2cos cos 1f x x
x x =+-．
（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值；
（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求cos2x 的值；
（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．
29．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()22
2sin S
B C a c +=
-． （1）证明：2A C =；
（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．
30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝
,且△ABC 的面积为
,求a ＋b 的值．
【参考答案】
一、填空题 1．6 2．①③ 3．①②④ 4．10
5．(0,]3
π
6．③④ 7．1π-##1π-+ 8．π
3
##60°
9．1或2##2或1 10．2525⎡⎢⎣⎦
二、单选题 11．A 12．A 13．B
14．A 15．B 16．A 17．B 18．B 19．D 20．C 三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】
（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21a
C c
=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】
解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，
2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，
22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，
∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，
sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，
可得：sin()sin B C C -=，
∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），
2B C ∴=.
（2）
2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C
++====+=+A B C π++=，
,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=， 022
C π
∴<<
，04
C π
<<
.
再根据32
C π
<，可得
6
C π
<，
6
4
C π
π
∴
<<
，
(1,2)a
c
∴∈ 【点睛】
本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 22．（1）23
k x ππ
=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】
（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】
（1）()2
22cos 1f x x x =-+
2cos 2x x =-
2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
令：26
2
x k π
π
π-
=+
，得23
k x ππ
=
+， 所以()f x 的对称轴为23
k x ππ
=
+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12
π个单位后得到函数()g x ，
所以()12g x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2. 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.
23．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；
（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】
（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 所以23||cos 1a =，2||cos 12x b ==， 所以333cos
cos sin sin cos()cos 2222222
x a x x b x x x
x -=+==⋅， ()222
2212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，
2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）()2
cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，
又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题.
24．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈（2）最大值和最小值
和1. 【解析】
（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得
()
24f x x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递
减区间；
（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】
（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.
所以()f x 的最小正周期22
T π
π==. 由
32222
4
2
k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，得588k x k ππππ+≤≤+，
所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.
所以当242
x ππ+=
，即8
x π=
当24
4
x π
π
+
=
或
34
π，即0x =或4x π
=时，函数取得最小值1.
所以()f x 在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π和1.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题. 25．(1)0 (2)3
2
【解析】 【分析】
（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】
（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.
（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()
cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，
22
112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113
()()1222
t g t f x mt t mt -==+-=--+，
即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12
-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313
()(1)2222
g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；
②当11m m <-≤⇒<-时，
222max 1311
()()22222
g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；
③当m m -><max 131()22222
g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍）
故答案为3
2
m = 【点睛】
当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把
sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；
二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
26．（1）(；（2 【解析】 【分析】
（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：
522122A k πππ⨯
-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2
x π
∈时，
sin(2)13
x π
<-≤，问题得解.
（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=
+B C b c ，结合sin sin B C +=
可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，
再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】
解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+
2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--
2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---
sin cos()cos sin()x x A x x A =-+- sin(2)x A =-.
因为()f x 在512
x π
=处取得最大值， 所以522122
A k ππ
π⨯
-=+，k Z ∈, 即2,3
A k k Z ππ=-+
∈. 因为(0,)A π∈，所以3
A π=
，
所以()sin(2)3
f x x π
=-.
因为(0,)2x π∈，所以22(,)333
x πππ
-∈-
所以sin(2)13
x π
<-≤，
因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．
（2）因为5a =，
3
A π
=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==
于是sin sin )+=+B C b c ．
又sin sin B C +=
，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，
整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，
所以1sin 2ABC S bc A ∆==
【点睛】
本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
27．（Ⅰ）1()22,3
1234k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢
⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭
可求得n ；
（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π
=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将
,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可.
【详解】
由题意得：()()
22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++
()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+
=-+ 其中
cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 12n ∴=，解得：2n =
()()21f x x ωϕ∴=-+
（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+
()
min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ()*412642
T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212
k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴= ()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭
，解得：2m = ()
2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝
⎭ 令232242k x k π
π
π
ππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343
k k x π
πππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,3
1234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.
28．（I ）1-；（II ；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85
f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x π
ω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等
式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.
【详解】
(
)2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝
⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝
⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝
⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 26223
62k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤
ω∴的取值范围为：10,3⎛
⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.
29．（1）见解析；（2
）2⎫⎪⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可．
【详解】
(1)证明：由()222sin S B C a c +=
-，即222sin S A a c =-， 22sin sin bc A A a c
∴=-，sin 0A ≠，22
a c bc ∴-=， 2222cos a
b
c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，
22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，
sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，
()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=，
()sin sin A C C ∴-=， A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．
(2)解：2A C =，3B C π∴=-，
sin sin3B C ∴=． sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3C a C ∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C C C C
∴=
=====+++--， ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩
， ,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪
⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭
，
43tan tan S C C
=
-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭
． 【点睛】 考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．
30．(Ⅰ) 3
π（Ⅱ）5 【解析】
【详解】
试题分析：（12sin sin A
C A =即可得sin C =60C =︒（
2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：
解：
（12sin sin A C A =，
∵,
A C 是锐角，∴sin C =
60C =︒.
（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=
∴5a b +=
点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。