函数的概念及其表示

第1节函数的概念及其表示
[要点梳理]
1．函数与映射的概念
类别函数
映射
两个集合A 、B
设A ，B 是两个非空数集
设A ，B 是两个非空集合
对应关系f ：A →B
如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的
任意
一个
数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应
如果按某一个确定的对应关系f ，
使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应
名称
称f ：A →B 为从集合A 到集合B
的一个函数
称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射
记法
函数y ＝f (x )，x ∈A
映射：f ：A →B
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域
.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4．分段函数：
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．函数是特殊的映射，是A ，B 为非空数集的映射，其特征：第一，在A 中取元素的任意性；第二，在B 中对应元素的唯一性．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
一、思考辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．(
)
(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．()(3)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．(
)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(
)
(5)f (x )＝|x |
x 与g (x )＝⎩⎨⎧<-≥0
101x x ，表示同一函数．(
)
(6)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．(
)
二、小题查验
1．函数y ＝x ln (1－x )的定义域为(
)
A ．(0，1)
B ．[0，1)
C ．(0，1]
D ．[0，1]
2．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧≤>0
30log 2x x x x
，则f (f (41
))的值是()A ．9
B ．
19
C ．－9
D ．－
1
9
3．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是
(
)
4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是______________.
5．函数f (x )＝
x －4
|x |－5
的定义域是__________________.6．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.
1．下列所给图象是函数图象的个数为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(
)
A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2
C ．f (x )＝x 2－1
x －1
，g (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝
x 2－1
3．设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则
称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2x －2－
x;⑤f (x )＝2sin x －1.
其中是“美丽函数”的序号有______________.
[命题角度1]用换元法与配方法求函数解析式
1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝__________________.2．已知f (
x
2
＋1)＝lg x ，则f (x )的解析式为________________.[命题角度2]用待定系数法求函数解析式
3．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝_____________.4．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则f (x )的解析式为
__________________.
[命题角度3]用解方程组法求函数解析式
5．定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为
_____________________．
6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (
x
1
)·x －1，则f (x )＝_____________.
[命题角度1]求给定函数解析式的定义域
1．函数f (x )＝
1－|x －1|
a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________________.
2．函数y ＝lg (2－x )
12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是________________.
[命题角度2]求抽象函数的定义域
3．已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为(
)
A ．(－1，1)
B ．(－1，—
2
1)C ．(－1，0)
D ．(
2
1
，1)4．已知函数f (2x ＋1)的定义域是(－1，0)，则f (x )的定义域为____________.5．已知f (2x )的定义域是[－1，1]，则f (log 2x )的定义域为_____________.
[命题角度3]已知定义域确定参数问题
6．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为______________.
[命题角度1]求函数值、值域(最值)1．设函数f (x )＝⎩⎨
⎧≥<-+-12
1
)2(log 11
2x x x x ，则f (－2)＋f (log 212)＝(
)
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝
(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________________.
[命题角度2]解方程或解不等式问题
3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧≥<+0
20
1x x e x ，则方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是__________.
4．设函数f (x )＝⎩⎨
⎧>≤+0
201x x x x
，则满足f (x )＋f (x —21
)＞1的x 的取值范围是____________.5．设函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥<-11311
x x
x e
x ，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是_______________.
[课时训练]
一、选择题
1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )
的图象可能是(
)
2．函数y ＝－x 2－x ＋2
ln x
的定义域为(
)
A ．(－2，1)
B ．[－2，1]
C ．(0，1)
D ．(0，1]
3．已知f (
x x
+1)＝x 2＋1x
2＋1x ，则f (x )＝()
A ．(x ＋1)2(x ≠1)
B ．(x －1)2(x ≠1)
C ．x 2－x ＋1(x ≠1)
D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)
4．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧>+-≤-1
)
1(log 1
221x x x x ，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝(
)
A ．－
74
B ．－
54
C ．－
34
D ．－
14
5．已知函数f (x )＝⎪⎩
⎪
⎨⎧>-+≤13412x x x x x ，则f (x )的定义域是(
)
A ．[1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[0，1)∪(1，＋∞)
6．设函数f (x )＝x －1，则f (
2
x
)＋f (x 4)的定义域为(
)
A ．[
2
1
，4]B ．[2，4]C ．[1，＋∞)
D ．[
4
1
，2]7．已知f (x )＝⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤≤-+1
020121
2
x x x x x ，若f (2m －1)<12，则m 的取值范围是(
)
A ．m >
1
2B ．m <
12
C ．0≤m <
12
D ．1
2
<m ≤1
二、填空题
8．图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝_____________.
9．若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是____________. 10．已知函数f(x)＝ax－b(a＞0)，f(f(x))＝4x－3，则f(2)＝__________.
11．若函数f(x)＝x2＋2ax－a的定义域为R，则a的取值范围为____________.
三、解答题
12．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x＋5.
13．已知函数f(x)＝x·|x|－2x.
(1)求函数f(x)＝0时x的值；
(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范
围．
14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/
时)满足下列关系：y＝x2
200＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．。