国家开放大学《离散数学》综合练习题参考答案

国家开放大学《离散数学》综合练习题参考答案
一、单项选择题
1．若集合A ＝{ a ，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是(
)。

A ．{a ，{a }}∈A
B ．{1，2}∉A
C ．{a }⊆A
D ．∅∈A
2．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是(
)。

A ．A ⊂
B ，且A ∈B B ．B ⊂A ，且A ∈B
C ．A ⊂B ，且A ∉B
D ．A ⊄B ，且A ∈B
3.若集合A ＝{ a ，{1}}，则下列表述正确的是( )。

A ．{1}∈A
B ．{1}⊆A
C ．{a }∈A
D ．∅∈A
4.设集合A = {1, a }，则P (A ) = (
)。

A ．{{1}, {a }}
B ．{,{1}, {a }}
C ．{,{1}, {a }, {1, a }}
D ．{{1}, {a }, {1, a }}
5.若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（
）。

A ．10
B ．100
C ．1024
D ．1
6.集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y A }，则R 的性
∅∅∈
质为（ ）。

A ．自反的
B ．对称的
C ．传递且对称的
D ．反自反且传递的
7．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = { 1 , 1， 2 , 2， 2 , 3， 4 , 4}，
S = { 1 , 1， 2 , 2， 2 , 3， 3 , 2， 4 , 4}， 则S 是R 的（
）闭包。

A ．自反
B ．传递
C ．对称
D ．以上都不对
8.设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 (
)
A ．8、2、8、2
B ．8、1、6、1
C ．6、2、6、2
D ．无、2、无、2
9.设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ ）不是从A
到B 的函数。

A ．R 1
B ．R 2
C ．R 3
D ．R 1和R 3
10.设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为（
）。

A ．2 B ．3 C ．6
<><><><><><><><><>7
D ．8
11．设图G ＝<V, E>，v ∈V ，则下列结论成立的是 (
) ．
A ．deg(v)=2|E|
B ．deg(v)=|E|
C ．
D ．
12．设无向图G 的邻接矩阵为，则G 的边数为( )．
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
13．如右图所示，以下说法正确的是 (
) ．
A ．{(a, e)}是割边
B ．{(a, e)}是边割集
C ．{(a, e) ,(b, c)}是边割集
D ．{(d, e)}是边割集
14．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是(
)．
A ．（a ）是强连通的
B ．（b ）是强连通的
C ．（c ）是强连通的
D ．（d ）是强连通的
E v V
v 2)deg(=∑∈E v V
v =∑∈)deg(⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡01010
10
01
000001
110010011
0ο
ο
οοa b
c
d
ο
e
15．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn 中存在欧拉回路．
A．m为奇数
B．n为偶数
C．n为奇数
D．m为偶数
16．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2
B．v＋e－2
C．e－v－2
D．e＋v＋2
17．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．
A．G连通且边数比结点数少1
B．G连通且结点数比边数少1
C．G的边数比结点数少1
D．G中没有回路．
18．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为（）．
A．8
B．5
C．4
D．3
19.下列命题公式是等价公式的为( )．
A．⌝P∧⌝Q⇔P∨Q
B．A→(⌝B→A) ⇔⌝A→(A→B)
C．Q→(P∨Q⇔⌝Q∧(P∨Q)
D．⌝A∨(A∧B) ⇔B
20.下列公式( )为重言式．
A．⌝(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q
B．(B→(A∨B)) ↔(⌝A∧(A∨B))
C ．A ∧⌝B ↔A ∨B
D ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 21.命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
22.设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 (
)
A ．
B ．
C ．
D ．
23.表达式中的辖域是(
)．
A ．P (x , y )
B ．P (x , y )∨Q (z )
C ．R (x , y )
D ．P (x , y )∧R (x , y ) 二、填空题
1．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，
，
则R 的有序对集合为（R = { 2 , 2 ，2 , 3 ，3 , 2 ，3 , 3 }）。

2．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系
R ＝
那么R －1＝（{<6，3>，<8，4>}）。

3．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , a >, <b , b >, <b , c >, <c ,
d >}，若在R 中再增加两个元素（<c, b>, <d, c>），则新得到的关系就具有对称性。

4．设A ={1, 2}上的二元关系为R ={<x , y >|x ∈A ，y ∈A , x +y =10}，则R 的自反
Q P ⌝∧Q P ∧⌝Q P ∨⌝Q P ⌝∨))()((x G x C x ⌝∧⌝∀))()((x G x C x ⌝→⌝∀))()((x G x C x ⌝→⌝∃))()((x G x C x ⌝∧⌝∃))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀x ∀},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><
闭包为（I A ）。

5．设R 是集合A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含（<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>）等元素。

6．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是（{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}）。

7. 已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是（15）。

8. 设给定图G (如右图所示)，则图G 的点割集是（{f }、{c , e }）。

9. 无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且（结点度数都是偶数）。

10. 若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为（W (G -S )≤ |S|）。

11. 设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去（4）条边后使之变成树．（……边后，可以确定图G 的一棵生成树）
12.命题公式的真值是（1）。

13.含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是（(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )）
14.设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式消去量词后的等值式为（(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))）。

15.谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为（x ）。

三、判断题
1．若偏序集<A ，R >的哈斯图如右图所示，则集合A 的最大元为a ，最小元
不存在。

（×）
()P Q P →∨)()(y yB x xA ∀∨∃ο
ο
ο
ο
a b d οοg
h
οοοοa b c
d
ο
e ο
f
2．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，下列关系f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}可以构成函数f ：A →B 是。

（×）
3. 设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，下列关系f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；可以构成函数f ：A →B 是。

（×）
4. 设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，下列关系f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}可以构成函数f ：A →B 是。

（√）
5. 1．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．（×）
6. 如右图所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图．（√）
7. 设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图．（×） 8. （1）公式是逻辑有效式(永真式)．（×） （2）下面的推理是否正确 ① P （a ） P ② （∀x ）P （x ） US ①
解：（1）该公式是永真式．
因为 ⇔
（2）错误．
② 应为（∀x ）P （x ）
UG ①
全称指定规则与全称推广规则不能混淆．
9. 判断下列各题正误，并说明理由．
（1）公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式． （2）求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表，并判断它的类型. 解：（1）该公式是永真式．
因为
))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((ο
οοο
a b c d
ο
e ο
f
οg 图G
（2）作真值表
P
Q
P ∧Q
⌝P ⌝Q
⌝P ∨⌝Q
(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝Q )
0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
所以，该公式为永假式． 四、计算题
1．设集合A ={{1}, {2}, 1, 2}，B ={1, 2, {1, 2}}，试计算
（1）A -B ；
（2）A ∩B ；
（3）A ×B ．
解：（1）A -B ={{1}, {2}, 1, 2}- {1, 2, {1, 2}}={{1}, {2}} （2）A ∩B ={{1}, {2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}
（3）A ⨯ B ={{1}, {2}, 1, 2}⨯{1, 2, {1, 2}}={<{1}, 1>, <{1}, 2>, <{1}, {1, 2 }>, <{2}, 1>, <{2}, 2>, <{2}, {1, 2 }>, <1, 1>, <1, 2>, <1, {1, 2 }>, < 2, 1>, < 2, 2>, < 2, {1, 2 }}
2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R ∙S ，S ∙R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )． 解：R ={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 1>}, S = ∅， R ∙S =∅， S ∙R =∅， R -1= R ， S -1= ∅，
r (S )=I A ．
s (R ) ={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 1>}
3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}。

（1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；
（3）求出集合B 的最大元、最小元。

解：（1）R =I ⋃{<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>,
<1, 6>, <1, 7>, <1, 8>, <2, 4>,
<2, 6>, <2, 8>, <3, 6>, <4, 8>}
R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()(R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)(1⇔
（2）关系R 的哈斯图如下图所示
（3）集合B 没有最大元，最小元是：2．
4. 设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试
(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数；
(4) 画出其补图的图形．
解：(1) 因为V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}， E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)， (v 4,v 5) }，所以G 的图形表示为：
(2) 分析：本题给定的简单图是无向图，
因此邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连
接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各写一个1；当结点v i 与v j 没有边连接时，邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各写一个0．
邻接矩阵：
(3) 由G 的图形可知，v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，3，2 (4) 由关于补图的定义3.1.9可知，先画出完全图（见图1），然后去掉原图，可得补图（见图2）如下：
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡01100
1011011011
01100001007
关系R 的哈斯图
οο
οοv 1ο
v 5
v 2
v 3
v 4ο
οο
οv 1ο
v 5
v 2v 3
v 4
οοο
οv 1ο
v 5
v 2
v 3
v 4
图1
图2
5．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G 的图形；
（2）写出G 的邻接矩阵；
（3）求出G 权最小的生成树及其权值． 解：（1）因为V ={ a , b , c , d , e }，
E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ),
(b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e )}， 所以G 的图形如右图表示．
（2）由图得图G 的邻接矩阵为：
（3）图G 有5个结点，其生成树有4条边，用Kruskal 算法（避圈法）求其权最小的生成树T ：
第1步，取具最小权1的边(a , c )； 第2步，取剩余边中具最小权1的边(c , e )； 第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路 的具最小权2的边(a , b )；
第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路 的具最小权3的边(b , d )．
所求最小生成树T 如右下图，其权为．
6. 设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉 树，计算该最优二叉树的权．
解：从2, 3, 5, 7, 17, 31中选2, 3为最低层结点，并从 权数中删去，再添上他们的和数，即5, 5, 7, 17, 31； 再从5, 5, 7, 17, 31中选5, 5为倒数第2层结点，并从 上述数列中删去，再添上他们的和数，即7, 10, 17, 31；
01101100111
00110110111110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
()11237W T =+++=c a
b e d
οο
οοο1221
6
435c
a
b e
d οο
ο
οο1
2
1
3οο
οοο3
2755
173410οοοο17
31
ο
ο65
然后，从7, 10, 17, 31中选7, 10为倒数第3层结点，
并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即17, 17, 31；
……
最优二叉树如右图所示．
最优二叉树权值为：2⨯5+3⨯5+5⨯4+7⨯3+17⨯2+31⨯1
=10+15+20+21+34+31=131
7．求公式的析取、合取、主合取\主合取范式．
解：
（析取、合取、主合取范式）
⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )
⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R ) ∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )
（主析取范式）
8．用列真值表的方法求命题公式的主析取范式．
解：列真值表
P Q R
0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1
1
1
1
1
取真值为1的项，所求主析取范式为：
(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )
9．试求谓词公式中，∀x ，∃x ，∃y 的辖
R Q P →∧)(R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔R Q P →→)(Q P →R Q P →→)(),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀
域，试问G (x , y )和B (x , y )中x ，y 是自由变元，还是约束变元？
解：∀x 的辖域： ∃x 的辖域：H (x ,y )
∃y 的辖域：G (x ,y )
G (x , y )中的x ，y 是约束变量，B (x , y )中的x , y 是自由变量.
10．请将语句翻译成命题公式：
（1）今天不是天晴．
（2）你去听课，他也去听课．
（3）如果天下雪，则我明天就不去市里．
（4）尽管他参加了考试，但他没有通过考试．
解：（1）设P ：今天是天晴；
命题公式为： ⌝ P ．
（2）设P ：你去听课，Q ：他去听课： 命题公式为：P ∧Q ．
（3）设P ：天下雪，Q ：我明天去市里； 命题公式为：P →⌝Q ．
（4）设P ：他参加了考试，Q ：他没有通过考试；
命题公式为：P ∧⌝ Q ．
11．请将语句翻译成谓词公式：
（1）所有人都不去上课．
（2）有人不去工作．
解：（1）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课．
谓词公式为： (∀x )(P (x )→ ┐Q (x ))．
（2）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作，
谓词公式为： (∃x )(P (x) ∧┐Q (x ))． 五、证明题
1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．
证明：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，
)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧
即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，
所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．
反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，
即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ， 即x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，
所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )．
因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．
2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠，则B = C ． 证明：设x ∈A ，y ∈B ，则<x ，y >∈A ⨯B ， 因为A ⨯B = A ⨯C ，故<x ，y >∈ A ⨯C ，则有y ∈C ，
所以B ⊆ C ．
设x ∈A ，z ∈C ，则<x ，z >∈ A ⨯C ，
因为A ⨯B = A ⨯C ，故<x ，z >∈A ⨯B ，则有z ∈B ，所以C ⊆B ．
故得B = C ．
3.试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．
证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，
因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，所以A ⊆B ．
设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，
因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．
故得A=B ．
4．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图
中的奇数度顶点个数相等．
证明：设，．则是由n 阶无向完全图的边删去
E 所得到的．所以对于任意结点，u 在G 和中的度数之和等于u 在中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而的每个结点都是偶数度的（度），于是若在G 中是奇数度结点，则它在中也是奇数度结点．故图G 与它的补图中的奇数度结点个数相等．
∅G ,G V E =<>,G V E '=<>E 'n K u V ∈G n K n K 1 (2)n -≥u V ∈G G
5．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加
条边到图G 才能使其成为欧拉图． 6.构造推理证明．
分析：前提：．
结论：　
证明：(1) P
(2) T (1)E (3) T (2) E (量词与否定的关系)
(4) (5)
T (4) E
7. 证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．
证明：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q
⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q
⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )
⇔⌝P ∧Q （吸收律）
⇔⌝(P ∨⌝Q )
（摩根律）
2
k
2
k
))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃)()(x xQ x xP ∀→∃))()((x Q x P x →∀)()(x xQ x xP ∀→∃)()(x xQ x xP ∀∨⌝∃)()(x xQ x P x ∀∨⌝∀))()((x Q x P x ∨⌝∀))()((x Q x P x →∀。