指数函数典型例题5(答案)

指数函数典型例题
1根式的性质
例1 已知1
12
2
a a
-
+=3，求下列各式的值：
（1）1
a
a
-+； （2）22
a a -+； （3）
3
3221
122
a a
a a
-
-
--．
补充：立方和差公式3322
()()a b a b a ab b ±=±+ .
小结：① 平方法；② 乘法公式；
③ 根式的基本性
质
=
（a ≥0）等.
注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.
≠
.
变式：已知1
12
2
3a a
-
-=，求：
（1）1
12
2
a
a
-
+； （2）332
2
a
a
-
-.
练1. 化简：1111
2
2
4
4()()x y x y -÷-.
练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值.
（1）112
2
x x -
+； （2）332
2
x x
-
+.
2指数函数的图象和性质 比较指数函数的大小
已知函数
2
()f x x bx c
=-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x
f b
与()x
f c 的
大小关系是_____．
分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)
f x f x +=-，
∴函数
()f x 的对称轴是1x =．
故2b =，又(0)3f =，∴3
c =．
∴函数
()f x 在(]1-，∞上递减，在[)
1+，∞上递增．
若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x
x
f f ≥；
若0x <，则321x x
<<，∴
(3)(2)x x
f f >．
综上可得(3)(2)x
x
f f ≥，即()()x
x
f c f b ≥．
评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
求解有关指数不等式 已知2
321(25)
(25)
x
x
a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2
2
25(1)441a a a ++=++>≥，
∴函数2
(25)
x
y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14
x >
．∴x 的取值范围是1
4⎛⎫
+
⎪⎝⎭，∞．
评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的
指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 求定义域及值域问题
求下列函数的定义域与值域.
(1)y ＝231
-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.
解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231
-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵
3
1-x ≠0，
∴231
-x ≠1，
∴y ＝231
-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.
(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.
∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.
求函数y =的定义域和值域．
解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．
令26x t -=，则y =
，
又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤
．
∴函数的值域是[)01，．
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
指数函数的最值问题
函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是
_______．
分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x x
y a a =+-可化为2(1)2
y t =+-，其对称轴为1t =-．
∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，
∴1
x
a a
a ≤
≤，即1
t a a
≤≤．
∴当t a =时，2
max
(1)214y a =+-=．
解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x
a a a
≤≤
，即1a t a
≤≤
，
∴
1t a =
时，2
m ax
11214y a ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，
解得13
a =
或1
5
a =-（舍去），∴a 的值是3或1
3
．
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，
整体代入等．
已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值
解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931
≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3
即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

设
，求函数
的最大值和最小值． 分析：注意到
，设
，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．
解：设 ，由
知，
，函数成为
，
，对称轴
，故函数最小值为
，因端点 较
距对称
轴 远，故函数的最大值为
．
已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值. ．解： )1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)
1(
122a t a
t t y <<-+=，对称轴为1-=t .
当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略
解得 a =3 (a = －5舍去)
已知函数
（
且
）
（1）求 的最小值； （2）若 ，
求 的取值范围． ．解：（1）
， 当 即 时，
有最小值为
（2） ，解得
当
时，
； 当 时， ．
解指数方程
解方程223380x x +--=． 解：原方程可化为2
9(3)80
39
0x x
⨯
-
⨯-=，令3(0)x
t t =>，上述方程可化为
2
98090
t t --=
，解得9t =或19
t =-（舍去），∴39
x =，∴2x =，经检验原方程的
解是2x =．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
单调性问题
求函数y ＝2
32
31+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛x x 的单调区间.
分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设
y ＝u
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2
-3x+2，其中
y ＝u
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛31为减函数
∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设
y ＝u
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减， 当x ∈(-∞，
2
3)时，u 为减函数，
∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2
3，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.
指数函数综合题 已知函数f(x)＝
1
1+-x x
a a (a>0且a ≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
解：(1)易得f(x)的定义域为｛x ｜x ∈R ｝. 设y ＝
1
1+-x x
a a ,解得a x ＝-
1
1-+y y ①∵a x >0当且仅当-
1
1-+y y >0时，方程①有解.
解-1
1-+y y >0得-1<y<1.
∴f(x)的值域为｛y ｜-1＜y ＜1}. (2)∵f(-x)＝
1
1+---x
x a
a ＝
x
x a
a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数.
(3)f(x)＝
1
2)1(+-+x
x
a a ＝1-
1
2
+x
a .
1°当a>1时，∵a x +1为增函数，且a x +1>0. ∴
1
2+x
a 为减函数，从而f(x)＝1-1
2+x
a ＝
1
1+-x
x
a a 为增函数.2°当0<a<1时，类
似地可得f(x)＝1
1+-x x
a a 为减函数.
已知函数f （x ）=a －
1
22+x
（a ∈R ），
（1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．
（2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。

（1）证明：设x 1＜x 2
f （x 2）－f （x 1）=
)
21)(21()
22
(22112
x
x
x
x ++-＞0
故对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2）x R ∈ ，又f （x ）为奇函数
(0)0
f ∴= 得到10a -=。

即1a =。