概率统计简明教程(同济)Chapter3

0.0125

课堂: P27, 5.



问题: 若已知取到的是次品, 它属于三个 厂的概率分别是多少{由果寻因}? 这就 要利用 Tomas Bayes (英国, 1763年)公式. 贝叶斯公式: 设事件A1, A2, …, An两两不相容, 事件B 满足 B = BA1 BA2 … BAn,
P( AB) P( B) 0 : P( A | B) . P( B)

乘法公式: P( A) 0 : P( AB) P( A) P( B | A).
P( B) 0 : P( AB) P( B) P( A | B). 推广? P( A1 A2 An1 ) 0(n 2) :
P( B | A1 ) 0.02, P( B | A2 ) 0.01, P( B | A3 ) 0.03
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 )
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
P( AB) 2 P( B | A) P( B); P( A) 3 P( AB) 2 P( B | A) P( B). P( A) 3


无论A发生与否对B的概率没有影响, 就 称事件A与事件B(相互)独立. 直观意义: 事件A与B没有“关系”, “影 响”. 这往往可根据事件的实际意义判 断(P23).



例8(P23) Solution 待求概率的事件为A, Ai = {第i 台需工人维护}( i = 1, 2, 3). A1, A2, A3相互独立.
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )

A1, A2,…, An相互独立(?)
例9(P24)
1 2


1 2
n

n

例10(P25) Solution A = {保险公司赔付}, Ai = {第i 个投保人出现意外}( i = 1, 2, …, n).
A Ai
n n P( A) P A 1 P A i i i 1 i 1
主观概率(P27)?
主观概率的确定? 例12(P27)

5 P( B | A) . 7

样本空间变了!

条件概率的计算公式:
P( AB) P( A) 0 : P( B | A) . P( A)


Remark (1) 在事件A已经发生的情况下 计算P(B|A),为何要求P(A) > 0? (2) P(B|A)是A已先发生条件下, B发生的 概率; P(AB)是A与B同时发生的概率(不 知A已经发生).
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
2 3 0.85 0.88 0.868 5 5

再看下节补例(1)?
第三节 贝叶斯公式

补例某电子设备制造厂所用元件是由三 家元件制造厂提供的. 根据以前的记录 有以下数据:
元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
p 1 p 1 p

p 1 p
p k (1 p) nk
k k P( Ak ) Cn p (1 p) nk
k k 1 [ p (1 p)]n Cn p (1 p) n k k 0 n

例11(P26) Solution Ak = {恰有k件次品}, k = 0, 1, 2, …, 5 B = {至多有三件次品}
P( B | A) P( B) P( B | A) P( A) P( B) P( A)
P ( A) 0

A与B相互独立的数学定义 : P( AB) P( A) P( B)

三个随机事件A, B, C相互独立:
(1) P( AB) P( A) P( B)
A, B, C两两独立 (2) P( AC ) P( A) P(C )
90718 90135 P( AB) P( B) 0.00583 100000
P( AB) 0.00583 P( A) 0 : P( B | A) 0.00643. P( A) 0.90718

例3(P19) Solution A = {第一次为次品} B = {第二次为次品}
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn )
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( An ) P( B | An )


全概率公式的直观意义: 事件B的发生有各种可能的原因 BAi(i = 1, 2, …, n), 则P(B)与P(BAi) (i = 1, 2, …, n)有关, 且 等于它们的全部的“总和”.
B Ak A0 A1 A2 A3
k 0 3
3 P( A3 ) C5 0.23 (1 0.2)53 0.0512
P( B) 1 P( B) 1 P( A4 ) P( A5 ) 0.9933
*第六节

主观概率
可重复试验.

不可重复试验?

P( Ai B) P( B) 0,1 i n : P( Ai | B) , P( B)
P( Ai ) P( B | Ai ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( An ) P( B | An )

(2) P( A | B) P( A1B) P( A1 ) P( B | A1 ) 1
i 1 n
1 P( Ai ) 1 0.99
i 1
n
n
第五节 伯努利(Bernoulli)试验 和二项概率

独立重复试验?


伯努利(Bernoulli)试验? 每次试验只有两个可能的试验结果: A发 生或A不发生, 且A发生的概率为p.

Ak = {在n重伯努利试验中事件A发生k 次}.
(3) P( BC ) P( B) P(C ) (4) P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) A BC : P( A) P( BC | A) P( A) P( BC ) B AC, C AB

例7(P23) Solution A = {抽出的卡片有红色}, B = {抽出的卡片有白色}, C = {抽出的卡片 有黄色}. A, B, C相互独立 A, B, C两两独立, 反 过来不成立.

P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 )

本质上就是条件概率, 但思考问题的方 式变了(见下面的例 (P18) Solution A = {个体在50岁存活} B = {个体在50到51岁之间死亡}


设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混 合的,且无明显标志. (1) 在仓库中随机取一只元件,求它是次 品的概率; (2) 在仓库中随机取一只元件, 发现是次 品,试分别求出此次品来自三家工厂的 概率.




Solution B = {取到的一只是次品}, Ai ={所取到的产品是由第i家工厂提供的}, i = 1, 2, 3. B = BA1 BA2 BA3, (1) P( A1 ) 0.15, P( A2 ) 0.80, P( A3 ) 0.05
P( A) 0.1 90 P( B | A) 99 P( A) 0 : P( AB) P( A) P( B | A).
90 0.1 0.091. 99

课堂: P27, 1.
第二节 全概率公式

设事件A1, A2, …, An两两不相容, 事件B 满足 B = BA1 BA2 … BAn, 则
Chapter 3 条件概率与事件的 独立性


一般情况: 在某些外加条件下随机事件 的概率. (1) 信号传输. (2) 抽取奖券.

第一节 条件概率

P(B|A): 在事件A已经发生的条件下事件 B发生的概率. P(A|B)?


例1(P17) Solution A = {从第一个口袋中取出白 球}, B = {从第二个口袋中取出白球}
P( B) P( B)
0.15 0.02 0.24 0.0125
P( A2 ) P( B | A2 ) P( A2 | B) 0.64 P( B) P( A3 ) P( B | A3 ) P( A3 | B) 0.12 P( B)
第四节 事件的独立性


一般说来, 事件A发生与否对事件B发生 的概率有影响, 但例外情况也很多. 例6(P22) Solution A = {第一次取到白球}, B = {第二次取到白球}.
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn )


例4(P20) Solution B = {从仓库中随机提取的一台 是合格品}, Ai = {提取的一台是第i车间 生产的}, i = 1, 2. B = BA1 BA2 P( B) P( BA1 ) P( BA2 )