1.2.充要条件(1)

∴ p是q的充分而不必要的条件.
四边形的对角线相等 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等
四边形是平行四边形
∴p是q的既不充分也不必要的条件.
3、由上述命题的充分条件、必要条件的判断 过程，可确定：命题按条件p和结论q的充分 性、必要2)必要不充分条件，
即 pq但 q p
但 x+y>2, xy>1
x>1, y>1 即p
q
反例：取x=3，y=0.5，则
x+y=3.5>2，xy=1.5>1，
但 y=0.5<1. ∴ p是q的必要非充分条件.
练习、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 1)" x 0, y 0" 是" xy 0"的 （充分不必要条件）
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
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例 1 .下列“若 p ,则 q ”形式的命题中，哪 些命题中的 p 是 q 的充分条件？ （1）若 x 1 ，则 x 4 x 3 0 ；
2
（2）若 f x x ,则 f x 在 R 上为增函数； （3）若 x 为无理数，则 x 为无理数.
解:命题(1)（2）是真命题，（3）是假命题.
所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.
2
p q 如果“若p则q”为假命题，那么由p推不出q 记作： ,
此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
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【说明】p是q的充分条件的前提是命题“若p,则q”为真命题
例 2．下列“若 p ,则 q ”形式的命题中，哪 些命题中的 q 是 p 的必要条件？ （1）若 x y ,则 x2 y 2 ； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形 的面积相等； （3）若 a b, 则ac bc .
1.2 充分条件与必要条件（1）
复习引入
1. 命题： 可以判断真假的陈述句. 可写成：若p,则q. 记做: p q 2. 四种命题及相互关系：
原命题 若 p则 q
互 否 互逆
逆命题 若 q则 p
互 否
互为 逆否
否命题 若¬ p则 ¬ q
互逆
逆否命题 若¬ q则 ¬ p
2
引例.（1）若x>a2+b2, 则 x>2ab . （真命题） 可写成：x a 2 b2 x 2ab .
a2+b2=0 即p
q
但 a2+b2=0 ab=0 即q p ∴ p是q的必要非充分条件.
(2) ∵ xy≥0
即p q |x|+|y|=|x+y|， 又 |x|+|y|=|x+y| xy≥0，即q p 即p q 方程x2-x-m=0有实根， m>0， 即q p
∴ p是q的充要条件.
x20 解： （ 1 ）( x 2)( x 3) 0 x 2 0 ( x 2)(x 3) 0
∴ p是q的必要而不充分的条件.
两直线平行， （2）∵同位角相等
∴p是q的充要条件. （3）∵ x=3 x2=9， x2=9 （ 4） ∵
x=3，
我们说： “x>a2+b2”是“x>2ab”的充分条件； 而说：“x>2ab”是“x>a2+b2”的必要条件. ∵ 命题（1）的逆否命题： “ 若x≤2ab，则x≤a2+b2 . ” （也是真命题）
这就是说， 要使 x>a2+b2 成立， 就必须有 x>2ab成立.
因此， “x>2ab”是“x>a2+b2”成立的必要条件.
(3) ∵m>0
但方程x2-x-m=0有实根
∴ p是q的充分非必要条件.
(4) ∵ p: x<-1或x>3 , q: x<-1 ∴p
{x|x<-1或x>3} {x|x<-1} q 但q p ∴ p是q的必要非充分条件.
(5) p: x+y>2, xy>1; q: x>1,y>1.
∵ x>1, y>1 x+y>2, xy>1 即q p
2） " a N " 是" a Z "的 （充分不必要条件） （必要不充分条件） 3） " x 2 1 0" 是" x 1 0"的
（充要条件） 4）同旁内角互补 " " 是" 两直线平行"的 （必要不充分条件） 5)" x 5" 是" x 3"的 6)" a b " 是" a c b c "的 （充要条件）
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充分条件与必要条件定义：
一般地,如果已知 p q ,即命题“若p则q” 为真命题， 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 例 （ 1） x 1 x 2 1
x 1是x 2 1的充分条件 x 1是x 1的必要条件
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（2）两三角形全等 两三角形面积相等
7）已知ABC不是直角三角形， " A<B" 是 "tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
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课后作业
1. 习题1.2A、B组 2. 《乐学七中》1.2.1
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（2）若两三角形全等，则两三角形的面积相等. 可写成： 两三角形全等 两三角形的面积相等 我们说： 而说：
“两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条 件.
（真命题）
“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；
充分条件与必要条件定义：
一般地,如果已知 p q ,即命题“若p则q” 为真命题， 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 说明:（1）上述定义中，“p═›q” 即如果具备了条件 p，就足以保证q成立，所以称p是q的充分条件. （2）注意条件和结论是相对而言的，由于“p═›q” 的等价命题是“¬ q═›¬p”,即若q不成立，则p不成 立，所以称q 是p成立的必要条件. （3）q 成立时， p可能成立，也可能不成立，即q成 立不保证p一定成立.
解：命题(1)（2）是真命题，（3）是假命题. 所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件.
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定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p q, q p,即p q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件 . 也说p与q互为充要条件 .
即 p q但q p
即 p q且 q p
(3)充要条件，
即 p (4)既不充分又不必要条件 ， q且 q p
例4. 给出下列各组条件, p是q的什么条件? (1) p: ab=0, q: a2+b2=0; (2) p: xy≥0， q: |x|+|y|=|x+y|; (3) p: m>0, q: 方程x2-x-m=0有实根； (4) p: |x-1|>2, q: x<-1. (5) p: x+y>2, xy>1; q: x>1, y>1. 解： (1) ∵ ab=0
3.若p q, q p, 则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.
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例3 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ （1）p: (x-2)(x-3)=0；q: x-2=0. （2）p: 同位角相等；q: 两直线平行 . （3）p: x=3；q: x2=9 . （4） p: 四边形的对角线相等； q: 四边形是平行四边形 .