线性代数课程习题

《高等代数》课程习题
第1章行列式
习 题 1.1
1． 计算下列二阶行列式： （1）
2345 （2）
2
16
3- （3）
x
x
x x cos sin sin cos - （4）
1
1
12
3++-x x x x
（5）
2
2
32ab b a a （6）
β
β
α
αcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a
2． 计算下列三阶行列式：
（1）341123
31
2
-- （2）0000
0d c b a （3）d c e b
a 0000 （4）z
y y x x 0
0002121
（5）369528
7
41 （6）0
111011
1
-- 3． 用定义计算行列式：
（1）
4
10670
5
33020010
0 （2）
1
01
4
300211321221---
（3）5
00000
0004000300
02000
1000 (4)
d
c
b a 1
0011001
1001---.
4.用方程组求解公式解下列方程组:
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++2
32120321
321321x x x x x x x x x
习 题 1.2
1． 计算下列行列式：
（1）1
23112
1
01 (2)15810
644372---- （3）3610285
140 （4）6555655
56
2.计算行列式
（1）
2
341341241231
234（2）
12
11
4
3
5121
2734201
----- （3）5
2
4
222
425
-----a a a
（4）3
2
2131399298203123- （5）0
53
20041
40013
20252710
2135---- 3.用行列式的性质证明：
（1）32
2
)(111
22b a b b a a
b ab
a -=+（2）3
3
3
222
1113
33
33
322222
211111
12c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：
（1）022
223
3
56
=-+--λ
λλ（2）
0913
2
5
1
32
322132112
2
=--x x
5.计算下列行列式
（1）
8
3
6
4
21
3131524273
------ （2）ef
cf
bf
de cd bd
ae ac ab
---
（3）2
12
3
54867
75951
3363442
43
55---------- （4）1
1
1
1
1
0000000002211
n n a a a a a a ---
（5）
x
a
a
a x a a a x
（6）a
b
b a b a b a 0
00
0000
000
00
习 题 1.3
1． 解下列方程组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321
321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++0
112325322425
43214321
4
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：
(1) ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++-=++0
200321
321321x x x x kx x kx x x (2)
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++=++0
300
321
321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.4
1．计算下列行列式
（1）
3010002113005
004， （2）
11
33
5206341020
1-- （3）2
2
2
111
c b a c b a
（4）
3
35
11
1
2
43152113
------， （5）n
n n n n b a a a a a b a a a a D ++=
+
21
2112111
11
2．用克莱姆法则解线性方程
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321
321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3
322
2125
43143214
321321x x x x x x x x x x x x x x
3．当λ为何值时，方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=++0
020
321
321321x x x x x x x x x λλ
可能存在非零解？
4.证明下列各等式
(1) 2
2
2)(11122b a b b a a b ab a -=+
(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(2
2
2
222
2
22c b a c a b c c c b b b
a a a ---=++++++ (3) )
)()()()()()((11114
4
4
4
2222
d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a
+++------=
5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .
第2章矩阵 习 题 2.2
1．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=313210
C ， 求3A -2B +C 。

2．已知 0103
22131203122=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--X 求矩阵X 。

3．计算下列矩阵
（1）[]231312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡， （2）[]⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡231312 ，
（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡973412100010001 （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-220
131210131
43113412，（5）[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-231112312 4．设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ， ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21213112
1B
求（1）AB ―3B ； （2）AB ―BA ； （3）（A ―B ）（A +B ）；（4）A 2
―B 2
5．已知
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A
设 f （x ）=x 2―2x ―1，求f （A ）。

6．如果)(2
1
E B A +=
，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。

7．设⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=020213121A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=137325751B
(1)计算行列式|(2A ―B )T +B |的值.
(2)求行列式|A 3―A |. 8.证明：(ABC )T =C T B T A T .
习 题 2.3
用分块矩阵的乘法计算下列各题
1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10
10
1210001200
00
01000021A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=11
123
12110
2010100
01000001
B 求AB .
2. ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-=ββα
α20
000000000
2A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ββ
α
α
2
00000
0002
B 求ABA .
习 题 2.5
1.用|
|*1A A A =-求矩阵的逆矩阵
(1),⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 其中ad ―bc ≠0; (2)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321A
(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=113111321A (3) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-=0031020100A 2.用矩阵的初等变换求逆矩阵
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=213541702A (2)⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10
210032107531
(3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------1111111111111111 (4)⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1210232112201023 3.设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明
(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.
4.解下列矩阵方程
(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643152X (2)⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--412011111011220111X
(3)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102341010100001100001010X 5.若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

习 题 2.6
1.求下列矩阵的秩
(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013 (2)⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------815073*********
(3)⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14011
3130215120122
11 (4)⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡11010
0110000110
00011
00101
2.问能否适当选取矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=k A 24293633121
中的k 的值,使(1) r (A )=1,(2) r (A )=2,(3) r (A )=3.
3.试证明：
)()(B r A r B O O A r +=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡. 习 题 2.7
1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y x A 4321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5231v u B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2312t w C ,且A+B=C ,求x ，y ，u ，v ，w ，t 。

2．计算（1）3
001001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ；
（2）n
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100010011 （n >0）
3.求逆矩阵:
(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123 (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1210
23211220102
3 4.求矩阵的秩:
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013; (2)⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14011313021512012
211
5.已知矩阵 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A
(1)设AX-2A +5E =0,求X.
(2)设AX=A +2X ,求X .
6.已知AP=PB ,其中 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321,100000001P B ,求A 与A 100. 7.设A 为3阶方阵,A*为A 的伴随矩阵,A T 为A 的转置矩阵,A -1为A 的逆矩阵,若行列式|A|=4,
(1)求行列式|)*3()21(
|1
A A T --的值. (2)求行列式|)*2
1
(|A .
8.设A 是n 阶方阵,E 是n 阶单位矩阵,A +E 是可逆矩阵,且f (A )=(E -A )(E +A )-1,求f (f (A )). 9.证明
2
2222
2222
2222
2
2
2
2
00
0000
000
d c b a d c b a d c b a d
c b a a b c
d b a d c c d a b d c b a ++++++++++++=
------
10.设A 为n 阶满秩方阵(n ≥2),A *为A 的伴随矩阵,求证(A *)*=|A | n －
2A .
第3章线性方程组
习 题 3.1
1、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。

（1）⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+-=-+8
311102322421321321x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413
2835
424
323213213
21321x x x x x x x x x x x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+25344323124321
43214321x x x x x x x x x x x x
2．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+-=+-+=-+-0
97154034705320
253432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

3．问k 取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2
321
3213211k kx x x k x kx x x x kx 无解？有唯一解？有无穷多个解？有解时并求出它的解。

4．当k 取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=--+-=---0
)3(14202)8(023)2(321
321321x k x x x x k x x x x k
有非零解？并求出它的一般解。

习 题 3.2
1.设向量()9,7,5,
3=α, ()0,2,5,1-=β
(1)若α+γ=β,求γ; (2)若3α-2γ=5β,求γ.
2．将下列向量用其余向量线性表示：
（1）α1=(1，1，-1)T , α2=(1，2，1)T , α3=(0，0，1)T , β=(1，0，-2)T ;
(2) α1=(1，1，1, 1)T , α2=(1，1，-1，-1)T , α3=(1，-1，1，-1)T , α4=(1，-1，-1，1)T
β=(1，2，1，1)T 。

3．判断下列向量组的线性相关性：
（1）α1=(1，1，1)T , α2=(0，2，5)T , α3=(1，3，6)T ； （2）α1=(2，-1，3)T , α2=(3，-1，5)T , α3=(1，-4，3)T
（3）α1=(4，3，-1, 1，-1)T , α2=(2，1，-3，2，-5)T , α3=(1，5，2，-2，6)T ,
α4=(1，-3，0，1，-2)T 。

4．试证：（1）若α1，α2，α3线性无关，则2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1线性无关。

（2）若α1，α2，α3线性无关，则α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关。

习 题 3.3
1.求下列向量组的秩和它的一个极大无关组:
(1) α1=(2，1，1)T , α2=(1，2，-1)T , α3=(-2，3，0)T ；
(2) α1=(2，1，3, -1)T , α2=(3，-1，2，0)T , α3=(1，3，4，-2)T , α4=(4，-3，1，1)T
2．求下列向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组表示 ：
(1)α1=(1，-1，2, 4)T , α2=(0，3，1，2)T , α3=(3，0，7，14)T , α4=(1，-1，2，3)T (2) α1=(1，1，1)T , α2=(1，1，0)T , α3=(1，0，0)T , α4=(1，-2，-3)T
3.设向量组r ααα,,,21 与向量组s r r ααααα,,,,,,121 +(s>r)有相同的秩,证明: 向量组
r ααα,,,21 与向量组s r r ααααα,,,,,,121 +等价.
习 题 3.4
1.设}0,,,|),,,({2121211=+++∈==n n n x x x R x x x x x x x V 满足 }1,,,|),,,({2121212=+++∈==n n n x x x R x x x x x x x V 满足
问V 1,V 2是否是向量空间?为什么?
2.试证:由向量α1=(0，1，1)T , α2=(1，0，1)T , α3=(1，1，0)T 所生成的向量空间就是R
3. 3.验证α1=(1，-1，0)T , α2=(2，1，3)T , α3=(3，1，2)T 为R 3的一个基,并把β1=(5，0，7)T , β
2=(-9，-8，-13)T
用这个基线性表示 。

习 题 3.5
1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解：
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+0111353033304523432143214321x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++-=++-0
11178402463035424321
43214321x x x x x x x x x x x x
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=+-+-=+-+=+-+-=-+-0
1361520320
24303524
3214
3214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 2．求下列方程组的通解：
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+-+43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+++-=+---=-+-16
394212342121051532432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
（3）⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2
5344323124321
43214321x x x x x x x x x x x x
习 题 3.6
1.判断下列向量组的线性相关性,并求秩和一个极大无关组: (1)α1=(1，2，-1, 4)T , α2=(9，100，10，4)T , α3=(-2，-4，2，-8)T ;
(2) α1=(1，2，1, 3)T , α2=(4，-1，-5，-6)T , α3=(1，-3，-4，-7)T , α4=(2，1，-1，0)T (3) α1=(1，1，1, 1)T , α2=(1，1，-1，-1)T , α3=(1，-1，-1，1)T , α4=(-1，-1，-1，1)T 2. 求下列向量组的一个极大无关组,并将组中其余向量由极大无关组线性表示: (1) α1=(1，1，3, 1)T , α2=(-1，1，-1，3)T , α3=(-1，3，1，7)T , α4=(-1，3，1，7)T (2) α1=(1，1，2, 3)T , α2=(1，-1，1，1)T , α3=(1，3，3，5)T , α4=(4，-2，5，6)T
α5=(-3，-1，-5，-7)T . 3. k 取何值时,方程组
⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--=++-=-++1
21232324321
343212
4321x x x x k x x x x k x x x kx
有解?并求它的全部解.
4.问a,b 为何值时方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325
432154321334536223231
相容?相容时求出它的全部解.
5.试证两个等价向量组的秩必相等.
6.设η1,η2,…,ηs 是非齐次线性方程组AX=B 的s 个解,k 1,k 2…,k s 为实数,满足 k 1+k 2+…+k s =1,试证: X=k 1η1+k 2η2+…+k s ηs 也是所给非齐次线性方程组的.
7.设A 是n m ⨯矩阵,B 是p m ⨯矩阵,若记分块矩阵 C =[AB ],试证:矩阵方程 AX=B ,有解的充分必要条件是 r (C )=r (A ).
8.对n m ⨯非齐次方程组Ax=B ,已知r (A )=r ,以及方程组的(n-r +1)个线性无关的解向量η1,η2, …,ηn-r+1,试证：η1－ηn-r+1，…，ηn-r －ηn-r+1是其导出组的一个基础解系.
第4 章矩阵对角化与二次型
习 题 4.1
1． 设有向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121α ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132β （1）求内积（α+β，α-β） （2）求长度 ||2α-3β|| 。

2． 已知向量组
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3322α，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1733α；（2）.110,101,011321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ααα
试将它们先正交化，再标准化。

3． 指出下列矩阵是否是正交矩阵？说明理由。

（1）⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
-
=12
13
121121
312
1
1A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------
=97949
4
94919
89498
91
A 习 题 4.2
1． 求下列矩阵的特征值及特征向量
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4211A （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2543A （3）⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=633312321A
（4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A （5）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 2．设A 是n 阶可逆矩阵，证明它的特征根λ0≠0，而且1
0-λ是A -1的特征根。

3.设λ0是A 的特征根,k 是实数,试证(1) k λ0是kA 的特征根;(2) 2
0λ是A 2的特征根.
习 题 4.3
1． 矩阵
(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=133153131A (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=120222023A (3)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=022223356A
是否可以对角化？若可以，将其对角化。

2． 将下列实对称 矩阵对角化
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=320222021A （2）⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222
A
习 题 4.4
1. 将下列二次型写成矩阵形式
（1）2
3222121321532),,(x x x x x x x x f -++=
（2）32312
3222121321643222),,(x x x x x x x x x x x x f +++--=
（3）434232312143216243),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++-+-= 2．用配方法化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换 （1）xz yz xy z y x z y x f 26252),,(2
22+++++=
（2）3231212
1321224),,(x x x x x x x x x x f ++-=
3． 用正交变换化下列二次型为标准，并求出所用的正交变换
（1）322
22121321442),,(x x x x x x x x x f -+-=
（2）4232413143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=
习 题 4.5
1． 判定下列二次型的正定性
（1）3231212
3222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
（2）323121321622),,(x x x x x x x x x f -+= 2． 求k 的值，使二次型
2
2
2
2
22)(),,,(t xz yz xy z y x k t z y x f ++-+++= 为正定的.
习 题4.6
1.将下面向量组正交化,单位化.
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001,101,011321ααα 2.试证矩阵
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-
---=
333133131333313
341A 正交矩阵.
3.设A ,B 都是n 阶正交矩阵,求证AB 也是正交矩阵.
4.求下列矩阵的特征值和特征向量.
(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201054021, (2)⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222
.
并问它们的特征向量是否两两正交?
5.求一个正交变换,将矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=020212022A
化为对角矩阵.
6.求一个正交变换,化下列二次型为标准形.
(1) 322
322213214332),,(x x x x x x x x f +++=
(2) 433241212
423222143212222),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f +--++++=.
7判定下列二次型的正定性.
(1) 31212
3222132122462),,(x x x x x x x x x x f ++---=
(2)
4
34231412
12
423222143211264221993),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f --++-+++=.
8.设A 是正定矩阵,试证1
,-A A T
也是正定矩阵.
《线性代数》课程习题答案
第1章行列式
习 题 1.1
1.计算下列二阶行列式： 解:（1）
212102
345-=-= （2）
12662
16
3=+=-
（3）
1sin cos cos sin sin cos 2
2
=+=-x x x x x x （4）1)1(1
113
32
3-=--=++-x x x x x x （5）02
3232
2
32
=-=b a b a ab
b
a a （6）
)sin(sin cos cos sin cos sin cos sin βαβαβαβ
β
αα-=-=
（7）
2log log 33
log log 1=-=a b a b
b a b a
2.计算下列三阶行列式： （1）28896361123
4
1
123
312
=+-++--=-- （2）00
00
0000=-=c
b a
d
c b a （3）e bc a
d bc
e ade c e
b d e a
d
c e b
a )(0
0000000-=-=+=
（4）)(0
0012212
1
2121
21
y x y x z y y x x z z
y y x x -==
（5）24630961263221806369528
7
41=---++= （6）2111
10
1101111011
10
1110-=--=-⋅+--⋅-=--
3.用定义计算行列式：
（1）
306
7033
4
7032
4
6700332014
10670
5
33020010
0=+-=⋅=
（2）
3957180
1
4
132
2
2131
1
11312221
1
4
113212
21300210
1
4
300211321221-=-=-----=---=
--- （3）1205
00
465
000040
3025
000
0004
0030
200
5
00000
0004000300
02000
1000==-=-
=
(4) 1.
cd ad ab abcd 11
]0
1111
[10
10
01110
11
1100
110
1
1
001++++=-+
--
-=-----=---d c d
d
c b
a d
c
d c
b a d
c b
a .
4.用方程组求解公式解下列方程组:
-10
x -14, x -22,x 100
2
1
012211,145
01302121,225
2
310112,15
2
1
312111)1(321321====--=∆=---=∆=-----=∆-=-----=∆
11
7- x ,113- x ,1110x 7
2
32121011,31
2
2111101,101
3212
1110,111
3
212
1111
)2(321321===
=-=∆=-=∆-=--=∆-=--=∆
习 题 1.2
2． 计算下列行列式：
1
1111
011121
01123112101)1(=--=--=
00
430
102
0430010
372
158********)2(=-=-=----
306
100
513
6102051
36102851
40
)3(-=-⋅=-=
161
05015001166
55565111166
55
56516
16166
55565556)4(====
2.计算行列式 （
1
）
160
1
21
24101
241201
20101
231211
211012311
21212130
00110234134124123111
110234134124123101010102341341241231234)1(-=-⋅=-=---=---===
726
32
7903
132740
1903712
11
4
1111
1347112
11
4
11
11213473000112
11
403
51212734201)
2(=-⋅
-=--=----⋅=-----=
-----
10)
-(a 1)-(a 9
4
2
2)
1(9
4
22
0421)1(5
2
1
220421)1(5
2
1
220421524222
425)3(2=---=----=----=-----=
-----a a a a a a a a a a a a a a a a
4
324321236
1
10032213
1123
1
23322131400300200123322131140023003200123322131399298203123)4(=-⋅=---+-=--+-=-
108066027013210532414132105
3204
1401
3202
1352
53200
4140013
2
02
52
7
10
2135
)5(-=---=----=-----=---- 3.用行列式的性质证明：
32222
2
22222)(21)(220
1
2221
1
1
22)1(b a a b a a b a
b a
b a b a ab a b a
b a a b a ab a b b a a b ab a -=+-=----=
----=+3
3
3
22211133
3
22211133
3
22211133
3
22211133
3
222
1113
3
3222
11133322211133322211133322211133333322222
21111112)2(c b a c b a c b a a c b a c b a c b c c b c c b c c b a b b a b b a b b c b b c b b c b b a c a a c a a c a c c a c c a c c a a b a a b a a b a c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++=+++++++++
4.试求下列方程的根：
2
,1,0)2()1(21
3)
1(201303
51)1(20221351)1(2022135122223
3
5
6
)1(3212====--=---=---=+-=+--=-+--λλλλλλ
λλλλλλλλλλλλλλλ解得
-2
x 2, x -1, x 1,x ,0)4)(1(3311
1
)
1(3331
1
31
001331
1
3
10001032119132
5
132********)
2(2221222
22
22
22
2=====---=----=------=------=
--解得x x x
x x x x
x x x
5.计算下列行列式 (1)
18
7
1337
110
00
1
33717
2110
121
1017717
02110
1
2
1315210017783
6
4
21
3131524273)1(=---=----=-----=------=
------
abcdef abcdef abcdef abcdef e
c
b
e c b e c b ad
f ef cf bf de cd bd
ae ac ab 40
220020
200
1
111
1
1
111111)2(=-=-=---=---=--- 84
8
35112
8
035012
35446733423543
23
04
06
73
03
42
03
52
3230
04
0670515013
03402
35022
32
1
406705
1501
3
340
2035022
323
24067
0515123
340
20350212
3548677
59513
3
6
344
24355)3(-=---=-----=---=---=----=----=------=----------
n
n n n n a a a n n n n a a a a a a a a a n
212212211)1()1(12
110000000000001
1111000000000,,1)4(+-=-+=---++得的结果再加到前一列上每一列加到它前一列上列开始从
1
)]()1([0
00
00])1([0
001]
)1([11
1]
)1([)1()1()1()
5(--++=---++=--++=++=++++++=
n a x a n x a
x a x a x a n x a x a x a a a n x x
a a
x
a a a n x x
a a n x a
x
a n x a a a n x x
a a a
x
a
a a x
n
n n n n b a b
a
b b a b b a
b a b a b a a a
b
b a b a b a D )1(00
0000
000000)1(0
00
0000000000
00
000000000)6(21
-+=-+==++
习 题 1.3
3． 解下列方程组
.2,3,2,11210
430222
2
5
,1682
1035023
25,1122410520322,56243522325)1(321321-=-===---=∆=--=∆-=---=∆-=-=∆x x x 所以得解解
.
1,3,2,1142
2
1
3
2
13221215
111,42611
1
3
523242211511,
28411
2035
1224
1
211151,14211
21051324
1
2
2
1115142
8
127353
218
1207
3503
210
11111121351324
1211111)2(43214321-=====-----=∆-=----=∆-=-----=
∆-=------=
∆-=------=------=
----=
∆x x x x 所以解得解
4． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：
.
410
)4)(1(2211)1(220110112111111)1(=-==-+=--+=--++=--k k k k k
k k k k k
k k 或解得 .1,0)1(1
22
31
112
1231
1311
1
1)2(2==-=+--=
+--=-k k k k k k k
k 解得
习 题 五1.4
1．计算下列行列式
8701002130053
0100213043010002113005004)
1(-=-=，
456
59656
059066540
513526
5
4
51335206
54
100010
11
335206341020
1)
2(=-==--=---=--
).)()((1
11
)3(2
2
2
b c a c a b c b a c b a
---=由范德蒙行列式有
.
4015
1010
8215
10011210
807
2161
126
48720161
1026
4082
1133351110243152113)4(=--=----=-----=-----=
------，
.0
001
1
11
)5(2112121
211211n n
n
n
n n n n b b b b b a a a b a a a a a b a a a a D
==
++=
+
2．用克莱姆法则解线性方程
.
1,1,3,6011
2311434
12,
60411321131
4
2
,180421124111
1
4
,604232431
12)1(321321====--=∆=--=∆=----=∆=----=∆x x x 所以解得
.
-1 x , 2 x , 2 x , 1 x ,182
2
1212111125111,363
201122111120511,363
221112111120
1
5
1,183202112211110
1
1518
3
211311
213
2011
3011
201
1113
20111211112011
1)2(43214321====-=--=∆==
∆=--=
∆=--=
∆=----=---=
--=
∆所以得解
1
,1,
0)1(21
1
1211
1
0121
12101112111:.3212=-==-=----=----=--λλλλλλλλ
λλλ解得解
4.证明下列各等式
右边
左边=-=+-=----=
----=+=32
222
2
22222
)(2
1)(220
122211122)1(b a a
b a a b a
b a
b a b a ab a b a b a
a b a ab a b b a a b ab
a
))()((440
01
41
1141
1211211224
412441244124
41
244124412)2()1()2()1()2()1()2(2
2
2
22
22222
2
2
2
2
22
22222
2222222
2
2222
222c b a c a b a
c a c a
b a b a
c a c a b a b a a c c b b a a c c b b a a c c c b b b a a a c c c c c b b b b b a a a a a c c c b b b a a a ---=----=----==+++=++++++=++++++++++++=++++++
)
)()()()()()(()
()()()()
()()()()(001
)
)()(()
()()(111
)
)()((00011111111)
4(2222222222222
242
242242224
4
4
4
2222d c b a d c d b c b d a c a b a a b b a d d a b b a c c b
d b
c a b b a
d d a b b a c c a b b b
d b
c b
a d a c a
b a d d a
c c a b b
d c
b a d a
c a b
d a d c a c b a b ad d ac c ab
b a d a
c a b
d c b a d c b a d c b a +++------=+-++-+--=
+-++-++-----=+++---=---------=
.
22
1
23)(.2,21,23,
12410,)(:.522+--==-=-=⎪⎩
⎪
⎨⎧-=++=+-=++++=x x x f c b a c b a c b a c b a c bx ax x f 故解得将已知条件代入得设解
第2章矩阵
习 题 2.2
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-887378313210
10042621590312623.1C B A
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-
--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3438433132340232343101323231
1203123210322131.2X 3．计算下列矩阵
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡693231462231312)1(， [])11(231312)2(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡973412973412100010001)3( ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-634216220
131210131
43113412)4(， []⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0301022311661224231112312)5(
4．设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ， ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212131121B
求（1）AB ―3B ； （2）AB ―BA ； （3）（A ―B ）（A +B ）；（4）A 2
―B 2
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-234371101
6363933634020222642121311213212131121111111111
3)1(B AB
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-111335244
513353420402022264111111111212131121212131121111111111
)2(BA AB ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+-5115214204
0303040232121222010))(()3(B A B A
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-410451132845974102195113111311
)4(22B A
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=243331223100
010001
02242622412112540810001000101121311
22011213112)(.52
A f
.
)(21)22(41)2(41.
442:.622
22
222
2
2
2A E B E B A E BE B A E B E AE A B E A B E B A
A =+=+=⇒++==⇒+-=⇒-===充分条件
必要条件
证
80042424062|)2(|,042424062
13732575111914971111373257511171411991)2()1(:.7-=-=+-⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+-B B A B B A T T
T 所以解9602200208304240||,22002083042400202131212220229333261)2(33=-=-⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-A A A A 所以
T T T T T T T T T T A B C A B C AB C C AB ABC ====)()(])[()(:.8证
习 题 2.3
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯⨯⨯31
224
13
2023231200010
00021
.,111121201,231001.,101121012,1021:.1221
232121
322122
332121B A B A O E
A A
B B B O E B B B A O O A A A A 则设则设解⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3233
23221
121
212121200000
000002,,,20,02,20,02:.2βββαααββαα
ββααB A O
O B A AB B O
O B B A O
O A A B B A A 则设解 习 题 2.5
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---=
=-=-==≠-=-a c b d bc ad A a A b A c A d A bc ad A 1,,,,,0||)1(:.1122211211所以解(2)⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-====-====≠=-=-10021072
1,1,2,
7,0,1,2,0,0,1,011
02103
21||)2(1333231232221131211A A A A A A A A A A A 所以
(3)⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=113111321A
.15228211
021,1,2,
1,5,8,1,2,2,0,21131113
21||)3(1333231232221131211⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-==-==-==-===-==-A A A A A A A A A A A 所以
(4)
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-=00
3
1020
100A ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=====-======-=-001021
0300
0032031020023,0,0,
2,0,31
,0,32,0,0,320031
0201
||)4(1333231232221131211A A A A A A A A A A A 所以 ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-----++↔-85885285
135151518528857
85
3,858852851310
0515151
010
85288578530018588528513100515151
010178175171304185885285131000418181710
010*********
885000418181710010
541130171300211780010541100213001702010541100213010541001702)1(:.11481785
8
8
1381322
13513
2232
321
31
22
1A E A r r r r r r r r r r r r r r r r 所以解
()⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---−−→−⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=--+--+-1000
21007210381131100010001100010052100010381131000
110001000110001007210001017501003110001000210001003010021070010531
10001000010021000010321
000017
531)2(1
35273221313
2414
24
3A E A r r r r r r r r r r r r 所以
()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤------⎢⎢⎢
⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤-------⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
----⎢
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→
−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤---⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-----−−→−⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤---⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡------=---++-++-↔----4141414
1414141414141414141414141,4141414141414141414141414141414110
00
01000010
00014141
4141212121212121212141414143100
0020000
20011
141414141001101010001100
022*********
11100001101010001220022002020111
11001010100110001022020202200111
1100001000010
0001
1111111111111111)3(12
121212122232
3121222
332323
4431
2A E A r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
r r r 所以
()⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤-------⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡−−→−⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
--------⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤--------⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--−−→−⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-----−−→−⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
--⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−→
−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-----=-++-+--+-↔↔--10612631110104211
,10612631110104211100001000010000110612631110102211100001000010002110612631111612201124100
0010002100321106124301100001
0010001100121023212010430110000100120011001210232120100301100001001200594012102321100001000010000112102321122
010
23)4(12322242321313
24
14
24
3342
3423
14
231A E A r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 所以.
)(,)
)(()()(:.31
21
321
2121--=---+++=-=----+++=-+++=--k A k
K k A
A A E A E E A
A A A A
A A E A E A A A E A E A E k 故此证
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--80
232
12
64
215312
64
31
52
,21533152
)1(:.41
1
X 所以解
(2)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--412011111011220111X
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----66463118311
6141201111122221241261412011111011220111,22221241261011220111)2(1
1
X 所以(3)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102341010100001100001010X
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----20143101
2010100001100001010100001010010100001100001010100001010,010100001010100001,100001010100001010)3(1
1
1
1
X 所以B A AA B A A BA A BA BA A B BA AB 1111111)()(,:.5-------====⇒=所以因为证
习 题 2.6
1.求下列矩阵的秩
2,00005640121
1564056401211443112112013)1(:所以秩为解⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---,
.3,16000059117014431
1273321059117014431815073131214
431815073131223123)2(2
3131
22
1372所以秩为⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----------r r r r r r r r .3,00000
222001512012
211
2220015120151201221114011313021512012
211)3(23141
32所以秩为⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--r r r r r r
.
5,10000
02000011000011000101
1200002000011000011000101120
00011
000020000110001
01111
00011
000011000110001
0111010
01100001100001100101)4(4543434
5231
412秩为⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−
→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+↔-+---r r r r r r r r r r r r r r
.
)3(,2)(6)2(,1)(6)1(0000
600031
2124293633121:.21
31
223没有适当的数的任何数时当时当解=-≠=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-A r k A r k k k A r r r r
[][]).()()().,()(),(),(,:;.3B r A r B O O A r B r A r B O O A B r B O A r O A B O O A +=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡故零的行数是为化为阶梯形后元素不全所以为零的行数是秩化为阶梯形后元素不全分块阵为零的行数是秩化为阶梯形后元素不全分块阵中因为在证
习 题 2.7
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=⇒=+=⇒=+=-=⇒=+=⇒=+⇒⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=+63250333213121231256
3331:.1t y y x x w v v u u t w y x v
u
C B A 得由解 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡323
2
3
22
23
30330010010
020********)1(:.2λλλλλλλλλλλλλ
λλλλ解 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡≥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--00000000102.1000100100000000100010001000000010000000010100
010001
2)1(000000010100010001100010001000000010100010001100010011)2(22
1
n
n
n n n
n
n
n n n n n n 时当。