高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版

平面向量的基本定理及坐标表示
自主梳理
1．平面向量基本定理
定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.
1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．夹角
（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，
则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．
(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.
(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________．
2.(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π
2
a ⊥b
3．平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．
3.互相垂直
4．平面向量的坐标表示：
①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．
4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴 ②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是________的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为__________，反之亦成立.(O 是坐标原点)
②终点A (x ，y )
注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 5．平面向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模
已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，
a －
b ＝________________________，λa ＝________________.|a |＝____________.
(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) x 21＋y 2
1 （2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
已知A （1
1
x y ，），B （2
2
x y ，），则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． |AB →|＝______________. (2)终点 始点
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
6．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． x 1y 2－x 2y 1＝0
注意：.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成
x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等.
7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为_____________________．
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________．
7.(1)⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y ). 当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化.
基础检测
1.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________.(7,3)
2.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为____.(－3，－5)
3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.0
4.在平面坐标系内，已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0).给出下面的结论：
①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.
其中正确结论的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
5.若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于 ( B )
A.3a ＋b
B.3a －b
C.－a ＋3b
D.a ＋3b
6．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32
＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．]
7．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
cos α，13，且a∥b ，则锐角α为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
B [∵a ∥b ，∴32×1
3
－sin αcos α＝0，
∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.] 8.已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函
数y ＝sin π12
x 的图象上，则实数λ等于
( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－32
A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π
12
x 得，
－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝5
2
.]
9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1.
10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120° .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，
若OC →＝xOA
→＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______. 解析 建立如图所示的坐标系，
则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，
即B (
－12，3
2
)．
设AOC ∠＝α,则OA →＝ (cos α，sin α)．
∵OC →＝xOA
→＋yOB →
＝(x,0)＋⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
－y 2，32y ＝(cos α，sin α)． ∴
⎩⎪⎨⎪⎧
x －y
2＝cos α，
32y ＝sin α.
∴
错误!
∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 探究点一 平面向量基本定理的应用
例1如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为
DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d
表示AB →，AD →.
解 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12b ， ①
b ＝AM →＋MD →＝
c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12a . ②
将②代入①得
a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a
∴a ＝43d －23c ＝2
3
(2d －c )，代入②
得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23
(2d －c )＝2
3(2c －d ).
∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ).
方法二 设AB →＝a ，AD
→＝b .
因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12
a ，
因而⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝b ＋12
a
d ＝a ＋1
2b
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2
3
2d －c b ＝23
2c －d
，
即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23
(2c －d ). 变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．
解析 如右图，OC →＝OD →＋OE → ＝λOA →＋μOB →
在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°， 可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.
（2）在△ABC 中，AD →＝14
AB →，DE ∥BC ，与边 AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，
如图，设AB→＝a，AC→＝b，试用a和b表示DN→.
解∵AD→＝1
4
AB→，DE∥BC，M为BC中点，
∴DN→＝1
4
BM→＝
1
8
BC→＝
1
8
(b－a).
探究点二平面向量的坐标运算
例 2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝
b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2) 求M、N的坐标及向量MN→的坐标.
解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－
3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2) 设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，
∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).
∴M(0,20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，
∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴MN→＝(9，－18).
变式训练2
（1）已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．
解析∵向量AB→与a同向，
∴设AB→＝(2t,3t) (t>0)．
由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4.
∵t>0，∴t＝2.∴AB→＝(4,6)．
设B
为(x ，y )，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x －1＝4，
y ＋2＝6.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝4.
(5,4)
（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标.
解 如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)， D (x ，y ). (1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →， 而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5).
由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＝－2，y ＝－5.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，
y ＝－5.
∴D 1(－3，－5).
(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD →2. 而AB →＝(4,0)，CD →2＝(x －1，y ＋5).
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －1＝4，y ＋5＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝－5.
∴D 2(5，－5).
(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD →3＝CB →. 而AD →3＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝2，
y ＝5.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝5.
∴D 3(1,5).
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5).
探究点三 在向量平行下求参数问题
例3 已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，
解之得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝59
，
n ＝8
9.
(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，
且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，
∴k ＝－16
13
.
(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)， a ＋b ＝(2,4)， 由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧
4
x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5
，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝－1
或
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5y ＝3，
∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3).
变式训练3 （1）已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若
(a －c )∥b ，则k ＝________.
解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，
且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－6
3
，∴k ＝5.
（2）已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1). ①求|a ＋3b |；
②当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？
解 ① 因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，
∴|a ＋3b |＝72＋32
＝58.
②k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－1
3
.
此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－73，－1，
a ＋3
b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，
即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反.
（3）已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4，5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →， ①求点P 在第二象限的充要条件.
②证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线； ③试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形.
①解 OP
→＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，
P
在第二象限的充要条件是⎩⎪⎨
⎪⎧
t 1＋3t 2<0
2t 1＋3t 2>0
有解.∴－3
2
t 2<t 1<－3t 2
且t 2<0.
②证明 当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →，
∴AP →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线. ③解 由OP →＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，
得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况.
当OA →＝BP →，有⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋3t 2－4＝12t 1＋3t 2－5＝2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＝2
t 2＝1
；
当OA →＝PB
→，
有⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋3t 2－4＝－12t 1＋3t 2－5＝－2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＝0
t 2＝1
；
当OP →＝BA →，有⎩⎪⎨
⎪⎧
t 1＋3t 2＝－32t 1＋3t 2＝－3
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＝0
t 2＝－1
.
点评：
1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．
2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被
a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐
标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如
A (1,2)，
B (3,4)，则AB →＝(2,2)．
一、选择题
1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，
(λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )
A ．λ1＝λ2＝－1
B ．λ1＝λ2＝1
C ．λ1λ2－1＝0
D ．λ1λ2＋1＝0
1．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝k AC →⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝k ，kλ2＝1，
∴λ1λ2－1＝0.]
2.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m
＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( D )
A.(2,0)
B.(0，－2)
C.(－2,0)
D.(0,2) 3．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2
－cos 2
α)和
b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，m
2＋sin α，
其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λ
m
的取值范围是
( )
A ．[－6,1]
B ．[4,8]
C ．(－∞，1]
D ．[－1,6]
3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，
λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，
即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2
α＋2sin α.
又∵－2≤1－sin 2
α＋2sin α≤2，
∴－2≤4m 2
－9m ＋4≤2，解得14
≤m ≤2，
∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2
m
≤1.] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP
1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是
( )
A. 2
B. 3 C ．3 2 D ．23 5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－5)
C ．(3,5)
D ．(2,4) 二、填空题
6.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交
直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．
6．2
解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合， 则m ＋n ＝2.
方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM
→＋nAN →，
AO →＝m 2AM →＝m 2AM →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n 2
＝1. ∴m ＋n ＝2.
7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．(0，－2)
解析 设D 点的坐标为(x ，y )，
由题意知ＢＣ
→＝ＡＤ→，
即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)
8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|
·BD →
，则四边形ABCD 的面积为________．3 S ＝|AB →|＝|ＢＣ→|sin 60°＝2×2×32
＝ 3.
三、解答题 9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、
（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13
BC →.求证：EF →∥AB →. 9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题
意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13
AC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，
ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，
ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，1.
∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13，23，
(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
73，0.
∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83
，－23.
又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴ＥＦ→∥ＡB →.
10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m
＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C
2
，2sin
A )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 ∵m ∥n ，∴a cos
B ＝b cos A .
由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为三角形的内角，∴－π<A －B <π.
∴A ＝B . ∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C 2＋4sin 2
A ＝9.
∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2
A －4cos A ＋1＝0，
解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
∴△ABC 为等边三角形．
11.如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的
点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC
→，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .
(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； （2）若m +n=1,求MN 的最小值．
11．解 （1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→，
设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12
λ(ＡB →＋AC →)， 所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＝n .
（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12
(1－m )AB → ＋
1
2
(1－n )AC →， 又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB → ＋12
mAC →， 所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12
(1－m )mAB
→·AC →
＝14(1－m )2
＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316
.
故当m ＝1
2
时，|MN →|min ＝
34
. 一、选择题
1.与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为 (C )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1213
，－513
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
±1213
，±513
2.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于 (B )
A.(－2,7)
B.(－6,21)
C.(2，－7)
D.(6，－21)
3.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则
m
n
等于 ( C )
A.－2
B.2
C.－12
D.1
2
4．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于 ( A )
A.(－3,6)
B.(3，－6)
C.(6，－3)
D.(－6,3) 5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2).若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( D )
A.(2,6)
B.(－2,6)
C.(2，－6)
D.(－2，－
6)
二、填空题
6.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝___.(－2,0)或(－2,2)____________.
7.△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋
c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝__60°______.
8.已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝1
2ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝
2CB →，则实数a ＝___2_____.
9.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为___1
2
_____.
10.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1
a ＋2
b
的最小值是
___8_____. 三、解答题
11.a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨
⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.
解得k ＝λ
＝－13
，
∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－
1
3(a －3b ).
∵λ＝－1
3
<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.
12.如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB → ＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令 CP →＝p ，试用p 表示PQ →.
解 设PA →＝a ，PB →＝b ，由已知条件3CP →＝PA →＋2PB →，
即3p ＝a ＋2b ，PQ →＝λCP →＝λ3
(a ＋2b )，
又PQ →＝PA →＋AQ →＝PA →＋μAB →＝PA →＋μ(PB →－PA
→)＝(1－μ)a ＋μb ，
由平面向量基本定理⎩⎪⎨⎪⎧
λ
3＝1－μ2λ
3＝μ
.解得λ＝1，因此PQ →＝
λCP →＝p .
13.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，
C (6,8).
(1)求顶点D 的坐标；
(2)若DE →＝2EC →，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标. 解 (1)设点D (x ，y )，因为AD →＝BC →，
所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)， 所以顶点D 的坐标为(2,7).
(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
1，72，(x E －2，y E －7)＝2(6－
x E,8－y E )
⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，BF →＝⎝
⎛⎭⎪⎫－3，52，
BI →＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE →∥AI →⇒
233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝9152，y ＝299104， 则点I
的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
9152，299104.
14.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；
(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB
→且△ABM 的面积为12时a 的值.
8.(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，
有⎩⎪⎨⎪⎧
4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，
故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM
→＝(4t 2,4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA
→＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，
∴A 、B 、M 三点共线.
(3)解 当t 1＝a 2
时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2
).
又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14
a 2
，故OM →＝(－a 2，a 2).
又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2
－a 2
＋2|2＝2|a 2
－1|.
∵S △ABM ＝12，
∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2
－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。