高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.3 诱导公式(一)学案 湘教版必修2-

3.2.3 诱导公式(一)
[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
[知识链接]
1．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
答所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2π－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
[预习导引]
1．诱导公式一～四(其中k∈Z)
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，
tan(α＋2kπ)＝tanα.
(2)公式二：.sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα.
(3)公式三：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.
(4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，
tan(π－α)＝－tanα.
2．诱导公式一～四的记忆方法
kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面添上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”.
要点一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值：
(1)sin1320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
31π6； (3)tan (－945°)．
解 (1)方法一 sin1320°＝sin (3×360°＋240°) ＝sin240°＝sin (180°＋60°)＝－sin60°＝－
3
2
. 方法二 sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin (180°－60°)＝－sin60°＝－
32
. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫4π＋7π6
＝cos (π＋π6)＝－cos π6＝－32
.
方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.
(3)tan (－945°)＝－tan945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan225°＝－tan (180°＋45°) ＝－tan45°＝－1.
规律方法 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数． 跟踪演练1 求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．
解 ①当n 为奇数时， 原式＝sin 2π3·⎝ ⎛
⎭⎪⎫－cos 43π
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3
＝sin π3·cos π3＝32×12＝3
4.
②当n 为偶数时，
原式＝sin 23π·cos 4
3π
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝－3
4.
综上，原式＝±
34
. 要点二 给值求值问题
例2 已知cos (α－75°)＝－1
3，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
解 ∵cos (α－75°)＝－1
3<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角． ∴sin (α－75°)＝－1－cos 2
α－75°
＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132
＝－223.
∴sin (105°＋α)＝sin []180°＋α－75°
＝－sin (α－75°)＝22
3
.
规律方法 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．
跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－3
5，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．
解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝3
5，
∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－4
5
.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝1
5
.
要点三 三角函数式的化简 例3 化简下列各式：
(1)sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )； (2)
1＋2sin290°cos430°
sin250°＋cos790°
.
解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，
原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α
＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，
原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]
＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1. 综上，原式＝－1. (2)原式＝
1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°
sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°
＝
1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|
cos70°－sin70°
＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°
＝－1. 规律方法 三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2
α＝tan π4.
跟踪演练3 化简下列各式：
(1)cos π＋α·sin 2π＋αsin －α－π·cos －π－α； (2)cos190°·sin －210°cos －350°·tan －585°
. 解 (1)原式＝－cos α·sin α
－sin π＋α·cos π＋α
＝
cos αsin α
sin α·cos α
＝1.
(2)原式＝cos 180°＋10°[－sin 180°＋30°]
cos －360°＋10°[－tan 360°＋225°]
＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan 180°＋45°]＝－12－tan45°＝1
2
.
1．求下列三角函数的值：
(1)si n690°；(2)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－203π；(3)tan(－1845°)． 解 (1)sin690°＝sin(360°＋330°)＝sin330° ＝sin(180°＋150°)＝－sin150°＝－sin(180°－30°) ＝－sin30°＝－1
2
.
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°) ＝－tan45°＝－1.
2．化简：cos 180°＋αsin α＋360°
sin －α－180°cos －180°－α.
解 原式＝
－cos α·sin α
[－sin α＋180°]·cos 180°＋α
＝
sin αcos α
sin α＋180°cos 180°＋α
＝
sin αcos α
－sin α－cos α＝1.
3．求
sin π＋αcos π－α
cos 3π－αsin 3π＋α
.
解 原式＝－sin α－cos α
－cos α－sin α
＝1.
4．证明：2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)n
cos α，n ∈Z .
证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，
左边＝2sin α＋2k πcos α－2k π
sin α＋2k π＋sin α－2k π
＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k
cos α＝cos α， ∴左边＝右边．
当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，
左边＝2sin α＋2k π－πcos α－2k π＋πsin α＋2k π－π＋sin α－2k π＋π
＝2sin α－πcos α＋πsin α－π＋sin α＋π ＝2[－sin π－α]－cos α－sin α＋－sin α
＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.
右边＝(－1)
2k －1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边．
综上所述，2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π
＝(－1)n
cos α，n ∈Z 成立．
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π之间的角求值
公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将角转化为0～π
2之间的角求值
公式四
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
2.这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
一、基础达标
1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( ) ①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝cos β；④cos α＝－cos β. A ．1B ．2 C ．3
D ．4
答案 B
解析 ∵α＋β＝π，∴α＝π－β，∴sin α＝sin(π－β)＝sin β，cos α＝cos(π－β)＝－cos β，∴正确的是①④. 2．sin585°的值为( ) A ．－
22B.2
2
C ．－
3
2
D.32
答案 A
3．若n 为整数，则代数式sin n π＋α
cos n π＋α的化简结果是( )
A ．±tan α
B ．－tan α
C ．tan α D.1
2
tan α 答案 C
4．若cos(π＋α)＝－12，3
2π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A.12B ．±32 C.
32 D ．－32 答案 D
解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32
(α为第四象限角)．
5．tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－α
sin －α－cos π＋α的值为( )
A.
m ＋1
m －1
B.
m －1
m ＋1
C ．－1
D ．1
答案 A
解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1
m －1.
6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( )
A.
1－k
2
k B ．－
1－k
2
k
C.
k
1－k
2
D ．－
k
1－k
2
答案 B
解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ， ∴sin80°＝1－k 2
.∴tan80°＝
1－k
2
k
.
∴tan100°＝－tan80°＝－
1－k
2
k
.
7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝. 答案 －
33
解析 cos ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33.
二、能力提升
8．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.5
3 B ．－
53
C ．±53
D ．以上都不对
答案 B
解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2
＝－23，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2
α ＝－
1－49＝－53
. 9．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则 sin α－2π＋2cos 2π－α
2sin －α－cos 2π＋α
的值为．
答案 －m ＋2
2m ＋1
10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2013)＝1，则f (2014)＝. 答案 3
解析 f (2013)＝a sin(2013π＋α)＋b cos(2013π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，
f (2014)＝a sin(2014π＋α)＋b cos(2014π＋β)＋2
＝a sin α＋b cos β＋2＝3. 11．若cos(α－π)＝－2
3
，求
sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3π
cos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．
解 原式＝sin α－sin 3π＋αcos 3π－α
－cos α－－cos αcos α
＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2
α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，
∴cos α＝2
3.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝2
3，
sin α＝1－cos 2
α＝
53
， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－5
2.
当α为第四象限角时，cos α＝2
3，
sin α＝－1－cos 2
α＝－
53
， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝5
2
.
综上，原式＝±
52
. 12．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2
－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，
求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2
－13＝0的两实根，
所以tan α·1tan α＝13×(3k 2
－13)＝1，
可得k 2
＝163
.
因为3π<α<7π
2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0，
又tan α＋
1tan α＝－－3k 3
＝k ， 所以k >0，故k ＝43
3
，
所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝43
3，
所以sin αcos α＝
3
4
， 所以(cos α＋sin α)2
＝1＋2sin αcos α ＝1＋2×
34＝2＋32
. 因为cos α＋sin α<0， 所以cos α＋sin α＝－
3＋1
2
. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α) ＝cos α＋sin α＝－3＋1
2
. 三、探究与创新
13．在△ABC 中，若si n(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．
解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，
平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22
， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34
π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．
∴A ＝π4，cos B ＝32
， ∴B ＝π6，∴C ＝712π.。