复变函数02

en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y
u 1, u 0 v 0, v 1
x
y
u v , u v x y y x
12
若 f(z) 在区域D内不满足C－R方程，则 f(z)在区域 D内不解析；
若 f(z) 在区域D内满足C－R方程，并且 u与v具有一阶连续偏导数(因而u与v在区 域D内可微)，则f(z)在区域D内解析.
例题
例 判别下列函数的解析性 .
u ax by 1x 2y v bx ay 2x 1y
5
由 于lim (Δz) 0， Δz 0
所 以lim Δx 0
1

0, lim Δx 0
2

0,
Δy0
Δy0
又 因为
1Δx 2Δy
(Δx)2 (Δy)2
u
x

v
x
a, u b，
y b, v a.

y
a
b
u v , x y u v
y x
7
由二元函数可微的定义知, u(x,y)与v(x,y) 在点(x,y)可微，且满足方程
a u v , b u v
x
y
x
y
由于上面的四个偏导数都是连续的，但仅
当x = y = 0时满足C－R方程，所以函数仅
在z = 0 处可导，在复平面处处不解析.
u v , u v x y y x
15
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
u( x, y) ex cos y , v( x, y) ex sin y
ez exiy ex cos y i sin y ex 0
Arg(ez ) y 2kπ
乘法
e e e z1 z2
z1 z2
w = ez 是以2k i为周期的函数.
ez2kπi ez e2kπi ez
21
对数函数 对数函数是指数函数的反函数. 若
x x y y 故 u u v v 0
x y x y 18
所 以u 常 数 ，v 常 数 ， 因 而f (z)在D内
是 常 数.
小结 f(z) = u+iv 在区域 D内解析的判定 求出u与v的一阶偏导数, 判别它们在D
内是否连续且满足C－R方程; 若是, 则 f(z)在D内是解析函数. 若f(z) 除变量外, 形式上与实函数相同 (不含复数的专用记号), 可以直接求导. 若在D内导数处处存在，则在D内解析.
x y
y x
即满足柯西－黎曼方程.
充分性 由于u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微
8
u

u x
x
2y
v

v x
x

v y
y

3x

4y
其中1,2,3,4当x0, y0时趋于零.
f (z z) f (z) u iv
1Δx

2Δy
(Δx)2 (y)2
(Δx)2 (Δy)2
1 2
6
所 以， 当Δx 0, Δy 0时
1Δx 2Δy 0
(Δx)2 (Δy)2
因 此, u( x, y)与v( x, y)在 点( x, y)处 可微.
du aΔx bΔy;dv bΔx aΔy.
u ex cos y, x v ex sin y, x
u ex sin y y v ex cos y y
从 而 u v , u v . (C - R方 程) x y y x
由面f 于内(z上处) 面处的可ux 四导i个，xv偏处导处ex数解(c连析os续，y ，其i s所导in以数y)在: 复ez平.16
23
例 求Ln 2，Ln(－1)的值及其主值. 解 Ln2 = ln2 + 2k i (k为整数)
主值为ln2. Ln(－1) = ln|1| + i Arg(1) = i + 2k i (k为整数)
主值为 ln(1) = i.
在实变函数中，负数没有对数，而在复 数范围内，负数有对数，并且正实数的 对数也是无穷多值.
4
f (z z) f (z) f (z)z (z)z
则 Δu iΔv (a bi )(Δx iΔy)
(1 i2 )(Δx iΔy)
Δu iΔv (aΔx bΔy 1Δx 2Δy)
于是
ibΔx aΔy 2Δx 1Δy
17
只须 2x ay dx 2 y 2cx dy ax 2by
得 a 2, b 1, c 1, d 2.
例 若f (z)在区域D处处为零，则f (z)在 D内 为 一 常 数. 证明 因为f (z) u i v v i u 0
设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内有定 义，则f(z)在D内一点z = x + iy可导的充 要条件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微， 且满足柯西－黎曼方程(C－R方程).
u v , u v x y y x
3
证明 必要性 设 f(z)在D内一点z=x+iy可导，则
u v
u v
( i )x ( i )y
x x
y y
(1 i 3 )x ( 2 i 4 )y 9
f (z z) f (z) u iv
( u i v )x (uv i iv)ui)yyy
上式两边同除 z 得
10
f (z z) f (z)
z

u x

i
v x

( 1

i 3 )
x z

( 2

i 4 )
y z
由于z0时，上式的最后两项趋于零.
f (z) u i v v i u . x x y y
推论 若u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)的偏导
19
第三节 初等函数
本节将把实变函数中的一些常用的初等 函数推广到复变量的初等函数，研究这 些初等函数的性质和它们的解析性 .
指数函数 设复数 z = x + iy，则定义指数函数为
w ez e xiy e x (cos y i sin y).
20
指数函数有下列性质：
w = ez在整个复平面上解析, 且(ez) = ez. 模与辐角
x x
xyx xyx
((11 ii 33 ))xx ((22 ii44))yy
将C－(R方u 程i 代v入)(上x式 iy) xu xv v u
(y1 i3)xx, (y2 ix4 )y
时，定义 w = z = e Lnz
为复数 z 的幂函数. 由于Ln z 是多值函数，所以w = z一般
来说也是多值函数.
28
幂函数的几种常见形式
当 = n（n是正整数）时，w = zn为复
平面内单值解析函数，它就是 z 的n次
乘方 w z n enLnz
(z rei )
对于arg z，设 z = x + iy, 则当x<0时，有
lim arg z π, lim arg z π
y0
y0
因此，arg z在原点与负实轴上都不连续，
于是lnz 在除去原点与负实轴的复平面上
连续.
26
因为z = ew在区域 <arg z < 内的反函
数w = ln z 是单值的, 由反函数的求导法
w = Ln z = ln|z|+ i Arg z
= ln|z| + i arg z + 2k i 结论 对数函数w =Ln z是一个多值函数，
并且每两个值之间相差2 i 的整数倍. 若记 ln z = ln|z|+ i arg z 则有 Ln z = ln z + 2k i (k为任意整数) 称 ln z为Ln z 的主值. 对于每一个k，上 式为一单值函数，称为Ln z 的一个分支. 当z = x > 0时，Ln z 的主值 ln z = lnx .
ew = z (z0) 则称复数w为复数 z 的对数函数, 记为
w = Ln z
对数函数的主值与分支 设w = u + iv, 把它代入 ew = z = rei 有
euiv eu eiv rei
eu r z , v 2kπ Arg z
22
因为 u = ln|z| ，v = i Arg z 所以
则可知
(ln z)

1 (ew )

1 ew

1 z
所以ln z 在除去原点与负实轴的复平面上 解析. 因此Ln z 的各个分支在除原点与负 实轴的复平面上解析, 并且有相同的导数.
27
幂函数 对于实数 a 和 x > 0 ，有 xa = ealnx.
推广到复数的情形，对于复数 ,当z0
(z) f (z z) f (z) f (z)
z
其中 (z)0 (z0).变形得
f (z z) f (z) f (z)z (z)z
令 f (z z) f (z) u iv f (z) a bi , (z) 1 i2
x
y
虽然它们均为连续函数, 但不满足C－R 方程，所以 f (z) z在复平面内处处不可 导，处处不解析.
u v , u v x y y x
14
(2) f (z) z Re( z) x2 ixy
得 u x2 ,v xy
u 2x, u 0 v y, v x
1
第二节 解析函数的充要条件
用函数解析的定义判断函数的解析性 往往比较困难；要判别一个函数在某 个区域内是否解析，关键在于判别函 数在此区域内是否可导。但是，要判 别一个函数可不可导，并且求出导数， 只根据导数的定义，这往往是很困难 的.因此，需要寻找一个简单的方法.
2
函数可导的充要条件 定理