数理方程-第4章-研究生

( n 2 ) kt l
.
则un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) an e 由叠加原理设 u ( x , t ) u n ( x , t ) an e
n 1 n 1 ( n 2 ) kt l ( n 2 ) kt l
n sin x, l n sin x, l
问题(2)的解为 n a n a n v( x, t ) (an cos t bn sin t )sin x, l l l n 1

2 l n 其中an [ f ( x) w( x)]sin xdx, n 1, 2, l 0 l 2 l n bn g ( x)sin xdx, n 1, 2, 0 n a l 于是u ( x, t ) v( x, t ) w( x).

n a n a n t bn sin t )sin x, l l l
n 由u ( x,0) f ( x) an sin x, l n 1 ut ( x,0) g ( x) bn
n 1
n a n sin x, l l
n a n 分别是f ( x), g ( x)关于正交函数系{ sin x} l l 展开的系数，其中 an，bn 0, n k n k 0 sin l x sin l xdx l , n k . 2 2 l n 这样有an f ( x)sin xdx, n 1, 2, , 0 l l 2 l n bn g ( x)sin xdx, n 1, 2, 0 n a l
下面利用初始条件确定系数an , 由u ( x,0) f ( x) an sin
n 1
n x, l
n an是f ( x)关于正交函数系{ sin x} l 展开的系数，其中 0, n k l n k sin x sin xdx . l 0 l l ,n k 2 2 l n 这样有an f ( x)sin xdx, n 1, 2, l 0 l
则un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) (an cos 由叠加原理设 n a n a n t bn sin t )sin x, l l l n 1 n 1 下面利用初始条件确定系数an，bn u ( x, t ) un ( x, t ) ( an cos
l
第二节 热传导方程
ut ku xx ,0 x l , t 0 u |t 0 f ( x),0 x l u | u | 0, t 0 x l x 0
解：设分离变量形式解为 1) u ( x, t ) X ( x)T (t ); 2) 分离方程得XT kX T , 对于使X ( x)T (t ) 0的点( x, t ), 有 X 1 T ， X kT
2
为使v满足齐次方程，令a 2 wxx h 0, 于是vtt a 2 vxx .
再由条件有 u |t 0 v |t 0 0, ut |t 0 vt |t 0 0, u |x 0 v |x 0 w(0) 0, u |x l v |x l w(l ) 0,
则 X X 0， T kT 0. (1)
3) 分离边界条件 u (0, t ) X (0)T (t ) 0, T (t ) 0, 故X (0) 0,同理X (l ) 0. 4) 解固有值问题 0 xl X X 0， X (0) X (l ) 0.
则 X X 0， T a 2T 0.
3) 分离边界条件 u (0, t ) X (0)T (t ) 0, T (t ) 0, 故X (0) 0,同理X (l ) 0. 4) 解固有值问题 0 xl X X 0， X (0) X (l ) 0.
再由条件有 u |t 0 v |t 0 w( x) f ( x), u |x 0 v |x 0 w(0) A, u |x l v |x l w(l ) B, 为使v还满足齐次边界条件， 令w(0) A，w(l ) B, 于是 v( x,0) f ( x) w( x).
为使v还满足齐次边界条件， 令w(0) 0，w(l ) 0, 于是 v( x,0) w( x), vt ( x,0) 0.
则 a 2 wxx h 0, (1) w(0) w(l ) 0, vtt a 2 vxx , v( x,0) w( x), (2) vt ( x,0) 0, v |x 0 v |x l 0. h 先解(1)得,w( x) 2 (lx x 2 ). 2a

二、有热源的热传导方程 ut ku xx F ( x),0 x l , t 0 u |t 0 f ( x),0 x l u | A, u | B, t 0 x l x 0
解：设解的形式为u ( x, t ) v( x, t ) w( x), 得vt k (vxx w) F ( x), 为使v满足齐次方程，令kwxx F ( x) 0, 于是vt kvxx .
解：设解的形式为u ( x, t ) v( x, t ) w( x), 则vtt a 2 (vxx w) F ( x), 为使v满足齐次方程，令a 2 wxx F ( x) 0, 于是vtt a 2 vxx .
再由条件有 u |t 0 v |t 0 w( x) f ( x ), ut |t 0 vt |t 0 g ( x), u |x 0 v |x 0 w(0) A, u |x l v |x l w(l ) B, 为使v还满足齐次边界条件， 令w(0) A，w(l ) B, 于是 v( x,0) f ( x) w( x), vt ( x,0) g ( x).
n a n 而(2)的解为：v( x, t ) an cos t sin x, l l n 1 2 l n 其中an [ w( x)]sin xdx l 0 l 2 l h n 2 ( x lx )sin xdx 2 l 0 2a l 2hl 2 3 3 2 (cos n 1) n a 4hl 2 , n为奇 n3 3 a 2 0, n为偶 所以u ( x, t ) v( x, t ) w( x).
第四章 分离变量法
第一节 波动方程
utt a 2u xx ,0 x l , t 0 u |t 0 f ( x), ut |t 0 g ( x),0 x l u | u | 0, t 0 x l x 0 且f (0) f (l ) 0, g (0) g (l ) 0. 解：设分离变量形式解为 1) u ( x, t ) X ( x)T (t ); 2) 分离方程得XT a 2 X T , 对于使X ( x)T (t ) 0的点( x, t ), 有 X 1 T 2 ， X a T
则 a 2 wxx F ( x) 0, (1) w(0) A，w(l ) B, vtt a 2 vxx , v( x,0) f ( x) w( x), (2) vt ( x,0) g ( x), v |x 0 v |x l 0.
,
第三节 非齐次问题
一、有外力的弦的振动问题 utt a 2u xx F ( x),0 x l , t 0 u |t 0 f ( x), ut |t 0 g ( x),0 x l u | A, u | B, 0, (1) w(0) A，w(l ) B,
vt kvxx , (2) v( x,0) f ( x) w( x), v | v | 0. x l x 0
解(1)得 x x l 1 w( x) A ( B A) [ F ( )d ]d l l 0 k 0 x 1 [ F ( )d ]d . 0 k 0
,
utt a 2u xx h,0 x l , t 0, h为常数 例： u |t 0 ut |t 0 0,0 x l u | u | 0, t 0 x l x 0
解：设解的形式为u ( x, t ) v( x, t ) w( x), 则vtt a (vxx w) h,
三、非齐次方程问题 ut a 2u xx f ( x, t ),0 x l , t 0 u |t 0 ( x),0 x l u | u | 0, t 0 x l x 0
解：1）求特征函数 ut a 2u xx 0 u |x 0 u |x l 0 X X 0 u X ( x)T (t ) X (0) X (l ) 0 n X n sin x.n 1, 2, l
先解(1) 1 wx 2 a

x
0
F ( )d C ,
1 x w( x) 2 ( F ( )d )d Cx D, a 0 0 再由w(0) A，w(l ) B，确定C , D.最后有 x x l 1 w( x) A ( B A) [ 2 F ( ) d ]d l l 0 a 0 x 1 [ 2 F ( )d ]d . 0 a 0
n 2 固有值为n ( ) , n 1, 2, l n 固有函数为X n ( x) sin x, n 1, 2, l n 因此，方程的通解为X n ( x) Bn sin x. l
5) 求定解问题的形式解 n 2 当 n ( ) 时，方程(1)的通解为 l Tn (t ) Cn e
再解(2)得， v ( x , t ) an e
n 1 ( n 2 ) kt l
n sin x, l ,
2 l n 其中an [ f ( x) w( x)]sin xdx, n 1, 2, 0 l l 于是u ( x, t ) v( x, t ) w( x).
(1)
n 2 固有值为n ( ) , n 1, 2, l n 固有函数为X n ( x) sin x, n 1, 2, l 因此，方程的通解为X n ( x) Bn sin n x. l
5) 求定解问题的形式解 n 当 n ( ) 2 时，方程(1)的通解为 l n a n a Tn (t ) Cn cos t Dn sin t. l l