河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)

河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高一上学期期中
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给出下列四个关系：π∈R ， 0∉Q ，0.7∈N ， 0∈∅，其中正确的关系个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．两个集合A 与B 之差记作A －B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，已知A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，则A －B 等于（ ）
A ．{1，4}
B ．{2}
C ．{1，2}
D ．{1，2，3} 3．若M ＝{x |x >－1}，则下列选项正确的是（ ）
A ．0⊆M
B ．{0}∈M
C ．∅∈M
D ．{0}⊆M
4．集合{}20|1,x x ax a R --=∈的子集个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．1
D ．与a 的取值有
关 5．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．下列四个命题中的真命题为（ ）
A ．∈x ∈Z ，1<4x <3
B ．∈x ∈Z ，5x ＋1＝0
C ．∈x ∈R ，x 2－1＝0
D ．∈x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 7．已知,a b R +∈，则下列不等式中不成立的是（ ）．
A ．a b
+≥B ．11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
C 22
a b
≥+ D ．2≥+ab a b
8．以下命题正确的是（ ）
A ．0,0a b c d ac bd >><<⇒>
B ．11a b a b >⇒<
C ．,a b c d a c b d ><⇒->-
D ．22a b ac bc >⇒>
9．已知－3<a <－2，3<b <4，则2
a b
的取值范围为（ ） A ．(1，3)
B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭
， C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭
， D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 10．设集合1{|,}24k M x x k Z ==
+∈，1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则（ ） A ．M N B ．M ⫋N C ．N ⫋M D ．M N ⋂=∅ 11．设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为（ ）
A ．M >N
B ．M <N
C ．M ＝N
D ．不能确定 12．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．
D ．二、填空题
13．命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定是_______.
14．设{}6A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，则()A A B C =______．
15．已知命题p ：“x R ∃∈，23208
kx kx +-≥”是假命题，则实数k 的取值范围是___________.
16．已知12,25a b -<<<<，则2a b -的取值范围____
三、解答题
17．已知二次函数()221f x x mx =-++，且满足()()13f f -=.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若函数()f x 的定义域为()1,2-，求()f x 的值域.
18．设{}2(1)0A x x a x a =-++<，{}
260B x x x =--<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.
19．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-.
(1)求(1),(2)f f -的值；
(2)求()f x 的解析式；
(3)画出()y f x =的简图；写出()y f x =的单调区间（只需写出结果，不要解答过程）. 20．已知函数2()(,R)1
ax b f x a b x +=
∈+，且()112f =，()225f =. （1）求a ，b ；
（2）判断()f x 在[)1,+∞上的单调性并证明.
21．有甲乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p 万元和q 万元，它们
与投入资金x 万元的关系为：14p x =，q =4万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？
22．已知f (xy )＝f (x )＋f (y ).
(1)若x ，y ∈R ，求f (1)，f (－1)的值；
(2)若x ，y ∈R ，判断y ＝f (x )的奇偶性；
(3)若函数f (x )在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x )＋f (x －6)≤4，求x 的取值范围.
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.
【详解】
∈R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，∈π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，
∈正确的个数为1 .
故选:D.
2．B
【解析】
【分析】
利用集合的运算求解.
【详解】
∈A＝{2，3}，B＝{1，3，4}，
又∈A－B＝{x|x∈A且x∉B}，
∈A－B＝{2}．
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
利用元素与集合，集合与集合的关系求解.
【详解】
因为M＝{x|x>－1}，
所以{0}⊆M，
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
首先利用根的判定式判断方程的解，即可得到集合含有2个元素，从而得到其子集数；
【详解】
解：∈210x ax --=中240=∆+>a ，
故关于x 的一元二次方程210x ax --=有两个不等实根，
故集合{}20|1,x x ax a R --=∈一定有2个元素，
其子集有224=个．
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.
【详解】
a ＝3时，A ＝{1，3}，A ⊆B ，即充分性成立；
当A ⊆B 时，a ＝2或3，即必要性不成立；
故选：A.
6．D
【解析】
【分析】
A.先化简不等式判断；
B.求方程的解判断C .求方程的解判断；D .利用判别式判断．
【详解】
选项A 中，14<x <34
且x ∈Z ，不成立； 选项B 中，x ＝－15
，与x ∈Z 矛盾； 选项C 中，x ＝±1，与∈x ∈R 矛盾；
选项D 中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D 正确．
故选：D
【点睛】
本题主要考查全称量词命题，存在量词命题的真假判断，属于基础题.
7．D
【解析】
结合基本不等式可证明ABC 的正确与否，通过代入特殊值可证明D 选项不正确.
【详解】
解：A ： a b
+≥≥=A 正确；
B ：11()224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭
，故B 正确； C ()2222
a b a b a b ++≥≥=++，故C 正确；
D ：当1,2a b ==时，
2224123ab a b ⨯==++=2≥+ab a b 故选:D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了几种常见形式的不等式的证明.
8．C
【解析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
因为0,0a b c d >><<，
所以0,0a b c d ac bd ac bd >>->->⇒->-⇒<，故A 错误.
当1,2a b ==-时，11a b
>，故B 错误. 因为,a b c d a c b d ><⇒->-，
所以,a b c d a c b d >->-⇒->-，故C 正确.
当0c 时，22a b ac bc >⇒=，故D 错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.
9．A
【解析】
先求出a 2的范围，利用不等式的性质即可求出2
a b 的范围. 【详解】
因为－3<a <－2，所以a 2
∈(4，9)，而3<b <4，故2
a b 的取值范围为(1，3)，故选：A ． 10．B
【解析】
【分析】
将集合,M N 中表达式化为
21244
k k ++,，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可得出结果.
【详解】 对于集合121:,244k k M x k Z +=+=∈，对于集合12=,424k k N x k Z +=+∈：， 21k +是奇数，2k +是整数，所以M ⫋N .
故选：B.
11．A
【解析】
【分析】
利用作差法比较.
【详解】
M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝2a ＋1>0，
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
2
a b +转化为指数运算即可求解． 【详解】
由基本不等式可得
22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥当32a b ==等号成立）
【点睛】
本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础．
13．2,10x R x ∀∈+≥.
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题，直接写出答案即可.
【详解】
易知命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定是“2,10x R x ∀∈+≥”.
故答案为：2,10x R x ∀∈+≥.
14．{}6,5,4,3,2,1,0------
【解析】
【分析】
利用集合的表示法得{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------，再利用并、补集的混合运算计算得结论．
【详解】 由题意，{}{}66,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A x Z x =∈≤=------，
{}1,2,3,4,5,6B C =，(){}6,5,4,3,2,1,0A B C ∴
=------． ∈()A A B C {}6,5,4,3,2,1,0=------．
故答案为：{}6,5,4,3,2,1,0------
15．(]3,0-
【解析】
【分析】
由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论k 的取值即可求解.
【详解】
由题可得“x ∀∈R ，23208
kx kx +-<恒成立”是真命题
当0k =时，则有308
-<恒成立，符合题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩
，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-.
故答案为：(]3,0-
16．(7,2)-.
【解析】
【分析】
结合不等式的基本性质，即可求解.
【详解】
由1a 2-<<，可得224a -<<，
又由25b <<，可得52b -<-<-，
两式相加，可得722a b -<-<，即2a b -的取值范围(7,2)-.
故答案为：(7,2)-.
17．(1)()2241f x x x =-++；
(2)(]5,3-.
【解析】
【分析】
（1）根据()f x 的对称轴可求得m ，由此可得解析式；
（2）根据对称轴可得()f x 单调性，进而求得值域.
(1)
由()()13f f -=知：二次函数()f x 的对称轴31142
m x -===，解得：4m =， ()2241f x x x ∴=-++；
(2)
当()1,2x ∈-时，()f x 在()1,1-上单调递增，在()1,2上单调递减，
()()max 12413f x f ∴==-++=，又()12415f -=--+=-，
()f x ∴的值域为(]5,3-.
18．{}23a x -≤≤
【解析】
【分析】
先求得集合B ，再分1a >，1a =，1a <三种情况，分别求得集合A ，由此可求得实数a 的取值范围.
【详解】
解：∈260x x --<，解得23x -<<，∈{}23B x x =-<<.
由题意得2(1)(1)()0x a x a x x a -++=--<.
当1a >时，{}1A x x a =<<，
∈A B ⊆，∈13a ，
当1a =时，A =∅满足条件；
当1a <时，{}1A x a x =<<，
∈A B ⊆，所以21a -≤<，
综上，实数a 的取值范围是{}23a x -≤≤.
19．(1)(1)1f =-，(2)0f -=；
(2)222,0()2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (3)简图见详解，增区间是()(),1,1,-∞-+∞，减区间是[]1,1-．
【解析】
【分析】
小问1：根据函数的解析式和函数的奇偶性可求(1)f ，(2)f -的值；
小问2：利用函数的奇偶性的性质可求()f x 的解析式；
小问3：根据（2）的解析式可得()y f x =的简图，结合图象可求()y f x =的单调递增区间．
(1)
当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以(1)1f =-，
又(2)(2)0f f -=-=.
(2)
因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，
当0x ≥时，2()2f x x x =-；
当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=---=+，
所以2()()2f x f x x x =--=--，
所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
. (3)
因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
， 由此作出函数()f x 的图象如图：
结合图象，知()f x 的增区间是()(),1,1,-∞-+∞，减区间是[]1,1-．
20．（1）10
a b =⎧⎨=⎩；（2）单调递减，证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据()112f =，()225
f =列方程组，解方程组即可求解； （2）由（1）可得()f x 解析式，利用单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可求证.
【详解】
（1）因为()112f =，()225
f =， 所以122225
5a b a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩， （2）由（1）知：2()1
x f x x =+，()f x 在[)1,+∞上单调递减， 证明如下：在[)1,+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，
则()()()()()()()()()()
22122121121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， 因为121x x ≤<，
所以210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，
可得()()120f x f x ->，
所以()()12f x f x >，
所以()f x 在[)1,+∞上单调递减.
21．甲投入3万元，对乙投入1万元时，可获得最大利润，最大利润为54
万元. 【解析】
【分析】
根据题意求出函数y 关于x 的解析式，再换元化为二次函数，根据二次函数知识可求出结果.
【详解】
设甲乙两商品分别投入x 万元､(4)x -万元，总利润为y 万元
则14)4y p q x x =+=≤≤.
(0)t t ≥，则24x t =-，
()
221115()4(1)4244y f t t t t ==-+=--+， 1t ∴=，即413x =-=时，max 54
y =，
即对甲投入3万元，对乙投入1万元时，可获得最大利润，最大利润为54
万元. 22．(1)f (1)＝0，f (－1)＝0；
(2)偶函数；
(3)（6，8].
【解析】
【分析】
(1)利用赋值法可得f (1)，f (－1)的值；
(2)令y ＝－1 ,则可得f (－x )＝f (x )，即得结果,
(3)由题可得[()]()616f x x f -≤，再根据单调性化简不等式，解得结果.
(1)
令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，
所以f (1)＝0.
又令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
所以f (－1)＝0.
(2)
因为函数定义域为R ，关于原点对称，
令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，
由(1)知f (－1)＝0，
所以f (－x )＝f (x )，
即函数f (x )为偶函数．
(3)
因为f (4)= f (2)+f (2)= 1+1=2，
所以f (16)= f (4)+f (4) = 2 + 2 = 4，
因为f (x )＋f (x －6) ≤ 4，
所以[()]()616f x x f -≤，
因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，
所以0,60,(6)16,x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩
，
即
0,
6, 28,
x
x
x
>
⎧
⎪
>
⎨
⎪-≤≤
⎩
，
所以x的取值范围是(6 , 8].。